Microsoft Word - ćwicz

Ćwiczenia 1

WIL, BUDOWNICTWO, semestr 1, 2013/14

Na każde zajęcia proszę przynosić notatki z wykładów!

1. Rachunek wektorowy

Przeczytaj uważnie fragment wykładu dotyczący wektorów. Zapamiętaj wzory, które dla

przypomnienia są podane jeszcze raz poniżej. Następnie zacznij rozwiązywać zadania.

Wektor

w kartezjańskim układzie współrzędnych prostokątnych: trój- i dwuwymiarowym xy,

wersory

, , .

Wektor rozłożony jest na

wektory

składowe

(rzuty wektora w danym układzie współrzędnych) odpowiednio:

௫

௬

௭

oraz

௫

௬

Iloczyn skalarny

dwóch wektorów:

· | |cos ,

(wzór 1)

jest liczbą (nie

wektorem), jest przemienny, iloczyn wektorów prostopadłych jest równy zeru,

ଶ

, w

zależności od wielkości kąta jest dodatni lub ujemny.

Współrzędną wektora

na danej osi nazywamy iloczyn skalarny tego wektora i wersora tej osi.

௫

· cos ,

(wzór 2)

itd. Współrzędna wektora może być liczbą dodatnią lub ujemną.

Wartość

wektora:

௫

ଶ

௬

ଶ

௭

ଶ

(wzór 3).

Wektor możemy zapisać:

௫

௬

௭

௫

௬

௭

(wzór 4)

np.

௫

௬

௭

௫

௬

௭

Suma wektorów

௫

௬

௭

௫

௬

௭

(wzór 5)

Różnica wektorów

(wzór 6)

Iloczyn skalarny

௫

௬

௭

௫

௬

௭

(wzór 7)

Iloczyn wektorowy

dwóch wektorów: wartość iloczynu

| | | |sin , (wzór 8), a kierunek i zwrot

wyznaczamy z reguły śruby prawej.

௬

௭

௬

௭

௫

௭

௫

௬

௫

, (wzór 9)

ݒԦ

௫

ݒԦ

௬

ݒԦ

௭

ݒԦ

௫

ݒԦ

௬

wersory

|| ||

ݒԦ

௫

ݒԦ

௬

௫

௬

Zadania

Wyprowadź wzory na iloczyny: skalarny (wzór 7) i wektorowy (wzór 9) dwóch wektorów

i .

Rozwiązanie: Zapisujemy iloczyn skalarny dwóch wektorów:

௫

௬

௭

௫

௬

௭

௫

௬

௫

௭

Korzystając z definicji iloczynu skalarnego (wzór 1) obliczamy iloczyny wektorów jednostkowych:

· 1 · 1 · cos0° 1 , · 1 · 1 · cos90° 0 , · 1 · 1 · cos 90° 0 , …

Widzimy, że zostają tylko wyrazy z iloczynami tych samych współrzędnych:

௫

௬

௭

Podobnie postępujemy z iloczynem wektorowym:

௫

௬

௭

௫

௬

௭

௫

௬

௫

௭

Korzystając z definicji iloczynu wektorowego (wzór 8) obliczamy iloczyny wektorów jednostkowych:

| | 1 · 1 · sin 0° 0 | | | |,

Odpowiednio grupując wyrazy iloczynu dostajemy:

௬

௭

௬

௭

௫

௭

௫

௬

௫

Praca

஺஻

wykonana przez stałą siłę & podczas przemieszczenia ciała z punktu A do B, jest dana wzorem:

஺஻

& · ∆(

஺஻

. Oblicz pracę wykonaną przez siłę 15,0 N podczas przesuwania skrzyni z położenia

(

஺

1,0 2,0 m do położenia (

஻

4,0 2,0 m, jeśli siła była skierowana pod kątem 30

do poziomu.

Rozwiązanie: Obliczamy przemieszczenie

∆(

஺஻

(

஻

(

஺

3,0 4,0m, a następnie pracę

஺஻

& · ∆(

஺஻

& · |∆(

஺஻

| cos 30° 15,0 N5,0 m cos30° 65 J.

Kolejne położenia krążka hokejowego dane są wektorami położenia:

(

ଵ

4,0 3,0 m i (

ଶ

2,0

4,0 0,10 m. a. Oblicz wartość każdego z wektorów (wzór 3). b. Oblicz przemieszczenie krążka (różnicę
wektorów)

(wzór 6)

. c. Znajdź kąt α między wektorami

(wzór 1)

korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny wektorów

(wzór 7)

. d. Narysuj w układzie kartezjańskim wektor

(

ଵ

Dane są dwa wektory siły:

ଵ

i &

ଶ

(patrz: rys. obok).(a ) Rozłóż te

wektory na składowe i znajdź ich współrzędne. Zapisz je w postaci

danej wzorem 4. (b) Narysuj wektory:

ଵ

ଶ

ଵ

Rozwiązanie: a. Współrzędne wektorów znajdziemy z definicji:

Współrzędną wektora

na danej osi nazywamy iloczyn skalarny tego

wektora i wersora tej osi.

௫

· cos ,

(wzór 2)

itd.

ଵ௫

ଵ

· &

ଵ

cos

ଵ

4,0N cos 120° 2,0N,

ଵ௬

ଵ

· &

ଵ

cos

ଵ

90° 4,0N cos 30° 3,5N,

ଵ

2,0 3,5 N .

[N]

ଵ

ଶ

=120

=315

ଵ

4,0N

ଶ

5,0N

[N]

Analogiczne obliczamy współrzędne drugiego wektora

ଶ௫

ଶ௬

i zapisujemy wektor w postaci

ଶ

… N .

Uwaga: Wszystkie wyniki obliczeń zostały zaokrąglone zgodnie z regułami działania na liczbach
przybliżonych.
Uwaga: Wszystkie wyniki obliczeń zostały zaokrąglone zgodnie z regułami działania na liczbach
przybliżonych.

Sumę zaokrąglamy do miejsca znaczącego odpowiadającego najmniej dokładnemu składnikowi.

W iloczynie lub ilorazie liczb przybliżonych zachowujemy co najwyżej tyle cyfr znaczących, ile
jest w czynniku który ma ich najmniej.

b. Różnica wektorów:

ଵ

ଶ

2,0 3,5 N … N ?

Wektor o zwrocie przeciwnym do

ଵ

… N

Wartość wektora położenia ciała A wynosi r

=5,0cm, a kąt jaki tworzy z osią

2 jest równy 240

. a. Znajdź jego

współrzędne. b. Zapisz ten wektor stosując wersory. c. Narysuj ten wektor.

Wskazówka: Przeglądnij rozwiązanie poprzedniego zadania.

Moment siły

3 punktu materialnego zdefiniowany jest iloczynem wektorowym wektora położenia ( i siły &:

3 ( &. a. Znajdź moment siły, gdy ( 3,0 2,0 cm i & 4,0 5,0) N. b. Wykaż, że jeśli siła dana
jest wyrażeniem postaci

& 4((, to moment siły jest równy zeru.

Rozwiązanie: a. Moment siły

3 ( & (

௬

௭

(

௭

௬

(

௭

௫

(

௫

௭

(

௫

௬

(

௬

௫

52,0cm3,0N 1,5cm4,0N6

12,0 · 10

ିଶ

m · N

3 ( & ( 4(( 4(( ( 4((( sin 0° 0.

Zapamiętaj ten przypadek! Siły postaci

& 4(( noszą nazwę sił centralnych; należy do nich siła

grawitacji i siła Coulomba:

௚

(

ଶ

(̂,

(̂ :; <=:;( >=?@;A:;<B ; C=(D@D C E<(;FC= <=:;( (

2. Różniczkowanie funkcji

Na wykładzie została podana definicja pochodnej, wzory na pochodne funkcji, z którymi będziemy mieć do
czynienia w zadaniach. Uważnie przeczytaj ten fragment wykładu, a potem oblicz pochodne następujących
funkcji:

42 52 2

ଷ

3, b. 42 √22, c. 42 22 1

ଶ

, d. 42 3 sin2

ଶ

, e. 42 √3 2,

W fizyce często oblicza się szybkość zmian pewnej wielkości fizycznej w czasie – wówczas traktuje się czas

: jak

zmienną (zamiast zmiennej

2 mamy zmienną :). Jeśli wzór zapisany jest ogólnie, to mogą występować w nim

stałe parametry, zwykle oznacza się je przez

, , … , H, …. Przećwicz obliczanie pochodnych następujących

funkcji:

2: sinH:, (, H A: ł=, b. B: J :

భ
మ

ଶ

, (J, K, A: ł=, c. 2: L L cos:,

(

L, H A: ł=,

Wyobraźmy sobie sytuację, że w czasie zamieci śnieżnej polarnik traci orientację i błądzi wokół bieguna

południowego, a jego położenie dane jest wektorem:

(: cosH: F sinH: ,

gdzie ω 1,60rad · h

ିଵ

2,5km, F 3,0km

a. Znajdź w tym przypadku przyspieszenie

i prędkość polarnika .

Do swobodnego końca podwieszonej pod sufitem sprężyny przymocowano jabłko, a następnie pociągnięto go

w dół. Jabłko zaczęło wykonywać ruch drgający z częstością

H H

ଶగ

்

, V okres drgań, a jego chwilowe

położenie względem punktu równowagi opisane było funkcją

B: B

଴

cos H:, B

଴

- amplituda drgań. a. Zapisz

wektor położenia jabłka przyjmując, że oś

B jest skierowana pionowo w dół. b. Znajdź wektor prędkości jabłka

oraz przyspieszenia

. c. Oblicz położenie, prędkość i przyspieszenie po czasie : V/4.

Literatura

D.Halliday,R.Resnick,J.Walker: Podstawy fizyki, t.1.

B.Oleś: Wykłady z fizyki , Wydawnictwo PK.
A.Januszajtis: Fizyka dla politechnik, t.1.