17. RÓWNANIA MAXWELLA
Wstęp
Równania Maxwella to inaczej połączone w spójną całość (przez Jamesa Clerka Maxwella) prawa
rządzące zjawiskami elektromagnetycznymi. Prawa te stanowią układ czterech równań i opisują
ogół zjawisk elektromagnetycznych. Równania Maxwella odgrywają w elektromagnetyzmie
podobną rolę jak prawa Newtona w dynamice.
Równania
Pierwsze równanie Maxwella
(prawo Faradaya dla indukcji elektromagnetycznej) mówi, że
zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne, które może wywoływać prąd
elektryczny. Z pierwszego równania Maxwella wynika też, że gdy brak jest pola magnetycznego,
bądź pole magnetyczne jest słabe, to istniejące pole elektryczne jest bezwirowe. Takie pole to pole
elektrostatyczne wywoływane przez stacjonarne ładunki elektryczne.
Postać całkowa:
∮
E d l=−
d
B
dt
, gdzie:
B
=
∫
S
B d S
Postać różniczkowa: rot E
=− ∂
B
∂ t
Przejście z postaci całkowej do różniczkowej:
Z twierdzenia Stokesa (o zamianie całki wzdłuż konturu
na całkę powierzchniową po dowolnej
powierzchni
S
rozpiętej na tym konturze) mamy:
∮
E d l=
∫
S
rot E d S .
Z drugiej strony:
−
d
B
dt
=−
d
dt
∫
S
B d S=−
∫
S
∂ B
∂t
d S
Ponieważ powierzchnia
S
nie zmienia się w czasie, to różniczkowanie po czasie w powyższej
równości dotyczy jedynie pola magnetycznego i można zamienić kolejność różniczkowania
i całkowania. Zamiana pochodnej zwykłej na cząstkową wynika z tego, że B może być nie tylko
funkcją czasu, ale również i współrzędnych przestrzennych
x , y , z . A zatem:
∫
S
rot
E d S
=−
∫
S
∂ B
∂ t
d S
Ponieważ powierzchnia
S
jest dowolną powierzchnią rozpiętą na konturze
, to funkcje
podcałkowe po obu stronach równania muszą być równe, a stąd otrzymujemy prawo indukcji
Faradaya w postaci całkowej: rot E
=− ∂
B
∂ t
.
Drugie równanie Maxwella
(uogólnione prawo Ampere'a) mówi, że prąd elektryczny lub zmienne
pole elektryczne wytwarza wirowe pole magnetyczne.
Postać całkowa:
∮
H d l
=I I
p
, gdzie: I =
∫
S
j d S , I
p
=
d
D
dt
,
D
=
∫
S
D d S
Postać różniczkowa: rot
H
=j ∂
D
∂t
1
I
p
jest to hipotetyczny prąd przesunięcia. Jest on wprowadzany w celu usunięcia nieciągłości
jaka się pojawia w przypadku linii prądu przewodzenia. (Prąd wpływając do jednej z płytek
kondensatora ładuje ją dodatnio. Wypływając z płytki drugiej ładuje ją ujemnie. Prąd przewodzenia
nie płynie między płytkami kondensatora, gdyż w przestrzeni między nimi nie jest przenoszony
żadem ładunek. Z tego powodu linie prądu przewodzenia są nieciągłe między płytkami
kondensatora).
Przejście z postaci całkowej do różniczkowej:
Z twierdzenia Stokesa mamy:
∮
H d l
=
∫
S
rot
H d S .
Z drugiej strony: I I
p
=
∫
S
j d S
∫
S
∂ D
∂t
d S
=
∫
S
j ∂
D
∂t
d S
Ponieważ powierzchnia
S
jest dowolną powierzchnią rozpiętą na konturze
, to wyrażenia
podcałkowe z prawych stron powyższych równości muszą być sobie równe, czyli:
rot
H
=j ∂
D
∂t
Trzecie równanie Maxwella
(prawo Gaussa dla pola elektrycznego) mówi, że źródłami pola
elektrycznego są ładunki. Jeżeli brak jest ładunków elektrycznych to linie pola elektrycznego są
liniami zamkniętymi.
Postać całkowa:
∮
S
D d S=Q
Postać różniczkowa: div
D
=
Przejście z postaci całkowej do różniczkowej:
Jeśli wewnątrz powierzchni zamkniętej znajduje się ładunek o gęstości przestrzennej
x , y , z
to ładunek całkowity jest równy Q=
∫
V
dV i prawo Gaussa ma postać:
∮
S
D d S=
∫
V
dV .
Stosując następnie dla
D twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:
∮
S
D d S=
∫
V
div
D d
V ,
otrzymujemy równanie:
∫
V
div
D d
V
=
∫
V
dV , które będzie prawdziwe dla dowolnej objętości
V
wtedy i tylko wtedy, gdy: div
D
= . Widać zatem, że pole elektrostatyczne posiada źródła
(dodatnie i ujemne) i tymi źródłami są ładunki (dodatnie i ujemne) rozmieszczone z pewną
gęstością
x , y , z .
Czwarte równanie Maxwella
(prawo Gaussa dla pola magnetycznego) mówi, że nie istnieją
w przyrodzie ładunki magnetyczne. Linie indukcji pola magnetycznego są liniami zamkniętymi.
Postać całkowa:
∮
S
Bd S=0
Postać różniczkowa: div B=0
Przejście z postaci całkowej do różniczkowej:
Zamieniając (zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego) całkę powierzchniową w prawie
Gaussa na całkę objętościową otrzymujemy:
∮
S
B d S=
∫
V
div B d
V
=0 .
Tak otrzymany warunek powinien być spełniony dla dowolnie wybranej objętości
V
. Jest to
możliwe tylko w takim przypadku, gdy funkcja podcałkowa jest w każdym punkcie równa zeru.
2
A więc pole magnetyczne ma tę własność, że jego dywergencja jest wszędzie równa zeru:
div B
=0 . Takie pole nazywamy polem bezźródłowym.
Pełny układ równań Maxwella zawiera także:
–
równania materiałowe czyli związki między wektorami indukcji i natężenia pola, odpowiednio
dla pola elektrycznego i magnetycznego:
D=
0
E
B=
0
H
–
wzór na siłę działającą na ładunek w polu elektromagnetycznym
F =qEv×B
–
prawo Ohma w postaci różniczkowej
j= E
Równania Maxwella dla próżni
Równania Maxwella dla próżni otrzymujemy przy następujących założeniach:
–
względna przenikalność elektryczna
=1 i magnetyczna =1
–
przewodnictwo elektryczne
=0 i w związku z tym j=0
–
nie istnieją ładunki elektryczne w związku z czym
=0
Postać całkowa:
∮
E d l=−
d
B
dt
∮
H d l
=
d
D
dt
∮
S
E d S=0
∮
S
B d S=0
Postać różniczkowa:
rot E
=− ∂
B
∂ t
rot
H
=
0
∂ E
∂ t
div E
=0
div B
=0
3