24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
1
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
1
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
2
Podstawy
matematyczne
Podstawy
matematyczne
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
3
Podstawy matematyczne
Podstawy matematyczne
Teoria układów cyfrowych oparta jest na podstawach
logiki matematycznej.
Wykorzystuje się rachunek zdań i zbiorów oraz algebrę
Boole’a
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
4
Rachunek zdań
Rachunek zdań
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
5
Rachunek zdań
Rachunek zdań
Rachunek zdań jest częścią logiki matematycznej.
Zajmuje się on zdaniami, którym można przyporządkować wartość logiczną
prawdy albo fałszu
Zdaniu p prawdziwemu przyporządkowujemy wartość logiczną w(p)
1
lub T(ang.
True).
Zdaniu p fałszywemu przyporządkowujemy wartość logiczną w(p)
0
lub F(ang.
False).
np.
3+7= 10
zdanie prawdziwe
w(p) = 1
Tydzień ma 5 dni
zdanie fałszywe
w(p) = 0
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
6
Rachunek zdań
Rachunek zdań
Zdania łączą spójniki zdaniowe.
Spójniki mogą być zwrotami dwuargumentowymi, np..:
• i
zdanie p i q nazywamy
koniunkcją
• lub
zdanie p lub q nazywamy
alternatywą
• jeżeli ... to ...
zdanie jeżeli p to q nazywamy
implikacją
• ... wtedy i tylko wtedy ...
zdanie p wtedy i tylko wtedy q nazywamy
równoważnością
lub zwrotem jednoargumentowym:
•
nieprawda, że ...
zdanie nieprawda, że p nazywamy
negacją
p
i
q
nazywamy zmiennymi zdaniowymi
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
7
Rachunek zdań
Rachunek zdań
Spójniki oznacza się symbolami.
• Koniunkcja
p q, pq, pq,
pq
• Alternatywa
p q, pq,
p+q
•
• Implikacja
p q,
pq
, pq
• Równoważność
p q,
pq
, pq
• Negacja
¬p , p,
p’,
p
_
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
8
Rachunek zdań
Rachunek zdań
Definicje spójników zdaniowych
Zdanie
Koniunkcja Alternatywa Implikacja
Równoważność
Negacja
Zmienne
zdaniowe
p
q
p q
p q
pq
pq
p’
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
9
Rachunek zdań
Rachunek zdań
W rachunku zdań formułuje się następujące prawa i twierdzenia:
Prawa
Koniunkcja
Alternatywa
Idempotentność
p p p p
p p
Przemienność
p q q p p
q q p
Łączność
p(qr) (pq)r p(qr) (pq)r
Pochłanianie
p (p q) p p
(p q) p
Własności stałych
p 0 0
p 1 p
p 0 p
p 1 1
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
10
Rachunek zdań
Rachunek zdań
W rachunku zdań formułuje się następujące prawa i twierdzenia:
Prawa
Prawo koniunkcji względem alternatywy
p (q r) (p q) (p r)
Prawo alternatywy względem koniunkcji
p (q r) (p q) (p r)
Prawo podwójnego przeczenia
(p’)’ p
Prawo wyłączonego środka
p p’ 1
Prawo sprzeczności
p p’ 0
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
11
Rachunek zdań
Rachunek zdań
W rachunku zdań formułuje się następujące prawa i twierdzenia:
Prawa De Morgana
(p q)’ p’ q’ (p
q)’ p’ q’
p
q
p q (p q)’
p’
q’
p’ q’
0
0
O
1
1
1
1
0
1
O
1
1
0
1
1
0
O
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
p
q
p q (p q)’
p’
q’
p’ q’
0
0
O
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
12
Rachunek zbiorów
Rachunek zbiorów
Podstawy matematyczne
Podstawy matematyczne
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
13
Rachunek zbiorów
Rachunek zbiorów
W rachunku zbiorów formułuje się podobne prawa i twierdzenia jak w
rachunku zdań.
A B
A B
B-A
A-B
(A B)’ = A’ B’
A
B
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
14
Rachunek zbiorów
Rachunek zbiorów
Jeżeli w danej przestrzeni U znajduje się n nierozłącznych podzbiorów to
całą przestrzeń można podzielić na 2
n
rozłącznych podzbiorów
1
4
3
2
A
B
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
15
Rachunek zbiorów
Rachunek zbiorów
Czy każdy rozłączny podzbiór można zapisać w postaci iloczynu zbiorów
nierozłącznych?
A B
A’ B
A B’
A’ B’
A
B
Całą przestrzeń U można zapisać jako sumę podzbiorów rozłącznych.
U = A’ B’ + A’ B + A B’ + A B
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
16
Rachunek zbiorów
Rachunek zbiorów
Czy każdy rozłączny podzbiór można zapisać w postaci sumy zbiorów
nierozłącznych?
(A’
B’)’
(A B’)’
(A’ B)’
(A B)’
A
B
Całą przestrzeń U można zapisać jako iloczyn podzbiorów nierozłącznych.
U = (A’+B’)’+(A’+B)’+(A+B’)’+(A+B)’=
= [
(A’+B’)(A’+B)(A+B’)(A+B)]’
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
17
Algebra Boole’a
Algebra Boole’a
Podstawy matematyczne
Podstawy matematyczne
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
18
Algebra Boole’a
Algebra Boole’a
Nazwa pochodzi od nazwiska jednego z jej twórców –
George’a Boole’a
Algebra Boole’a operuje na:
• zbiorze 2-elementowym
U = {0, 1}
•
określonych w nim dwóch działaniach (operatorach)
dwuargumentowych: mnożeniu (AND)
•
i dodawaniu (OR)
+
, oraz
jednym działaniu jednoargumentowym: dopełnieniu (NOT)
'
,
•
dla wszystkich elementów zbioru U spełniony jest zespół spójnych
aksjomatów i praw
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
19
Aksjomaty i twierdzenia
Aksjomaty i twierdzenia
Aksjomaty i twierdzenia
Domkniętość (closure)
działań w zbiorze
Dla każdej pary elementów x i y
ze zbioru U zachodzi:
x + y U
x y U
Elementy stałe
(identity elements)
Dla każdego elementu x ze zbioru
U zachodzi:
x + 0 = x
x 1 = x
Rozdzielność
(distributivity)
Dla dowolnych elementów x, y i z
ze zbioru U zachodzi:
x (y+z) = xy + xz
x+(yz) = (x+y)(x+z)
Komplementarność
(complement)
Dla każdego elementu x ze zbioru
U zachodzi:
x + x’ = 1
x x’ = 0
Zasada dualności
W obrębie danego prawa każdy
związek można otrzymać przez
zamianę operatorów binarnych i
stałych:
+
+
O 1 1 0
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
20
Aksjomaty i twierdzenia
Aksjomaty i twierdzenia
Aksjomaty i twierdzenia
Idempotentność
Dla każdego elementu x ze
zbioru U zachodzi:
x + x = x
x x = x
Jednoznaczność
negacji
Jeżeli x U, to istnieje tylko
jeden element x’ U
Podwójna negacja
Dla każdego elementu x ze
zbioru U zachodzi:
(x’)’ = x
Dominacja
Dla każdego elementu x ze
zbioru U zachodzi:
x + 1 = 1
x 0 = 0
Upraszczanie
Dla każdej pary elementów x i y
ze zbioru U zachodzi:
x + (x’ y) = x + y
x (x’+ y) = x y
Prawa De Morgana
Dla każdej pary elementów x i y
ze zbioru U zachodzi:
(x y)’ = x’ + y’
(x +y)’ = x’ y’
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
21
Zasady działania funkcji (operatorów)
Zasady działania funkcji (operatorów)
+ (OR)
x
y
z
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
• (AND)
x
y
z
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
‘ (NOT)
x
z
0
1
1
0
Kolejność działania operatorów:
(1) nawiasy
(2) NOT
(3) AND
(4) OR
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
22
Funkcje logiczne (przełączajace)
Funkcje logiczne (przełączajace)
Funkcją logiczną jest
przyporządkowanie każdej n-elementowej kombinacji wejściowej
x
n
.... x
2
x
1
, x
i
U
pewnej m-elementowej kombinacji wyjściowej
y
m
.... Y
2
y
1
, y
i
U
. . .
Funkcja
logiczna
. . .
1
2
n
1
2
m
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
23
Funkcja logiczna
Funkcja logiczna
Każdą funkcję logiczną można jednoznacznie określić
podając tylko dla jakich wartości zmiennych przyjmuje
wartość 1.
Dla wszystkich pozostałych wartości zmiennych funkcja logiczna musi
przyjąć wartości 0
Każdą funkcję logiczną można jednoznacznie określić
podając tylko dla jakich wartości zmiennych przyjmuje
wartość 0.
Dla wszystkich pozostałych wartości zmiennych funkcja logiczna musi
przyjąć wartości 1
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
24
Funkcja logiczna MINTERM
Funkcja logiczna MINTERM
Minterm jest funkcją logiczną n zmiennych, która przyjmuje wartość 1 tylko
dla jednej kombinacji tych zmiennych
Dla n zmiennych istnieje 2
n
mintermów
Dec. x
2
x
1
x
0
Minterm
0
0
0
0
x’
2
x’
1
x’
0
1
0
0
1
x’
2
x’
1
x
0
2
0
1
0
x’
2
x
1
x’
0
3
0
1
1
x’
2
x
1
x
0
4
1
0
0
x
2
x’
1
x’
0
5
1
0
1
x
2
x’
1
x
0
6
1
1
0
x
2
x
1
x’
0
7
1
1
1
x
2
x
1
x
0
F
1
1
0
0
0
1
1
1
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
25
Funkcja logiczna MAXTERM
Funkcja logiczna MAXTERM
Maxterm jest funkcją logiczną n zmiennych, która przyjmuje wartość 0 tylko
dla jednej kombinacji tych zmiennych
Dla n zmiennych istnieje 2
n
maxtermów
Dec.
x
2
x
1
x
0
F
Maxterm
0
0
0
0
1
x
2
+x
1
+x
0
1
0
0
1
1
x
2
+x
1
+x’
0
2
0
1
0
0
x
2
+x’
1
+x
0
3
0
1
1
0
x
2
+x’
1
+x’
0
4
1
0
0
0
x’
2
+x
1
+x
0
5
1
0
1
1
x’
2
+x
1
+x’
0
6
1
1
0
1
x’
2
+x’
1
+x
0
7
1
1
1
1
x’
2
+x’
1
+x’
0
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
26
Forma funkcji
Forma funkcji
Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:
1) Algebraiczna (standardowa)
F = x
0
x’
1
x
2
+ x
1
’x’
2
+ x
1
x
2
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
27
Forma funkcji
Forma funkcji
Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:
2) Tablica prawdy
Dec.
x
2
x
1
x
0
F
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
0
4
1
0
0
0
5
1
0
1
1
6
1
1
0
1
7
1
1
1
1
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
28
Forma funkcji
Forma funkcji
Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:
3) Kanoniczna (decymalna)
De
c
x
2
x
1
x
0
F
Minterm
0
0
0
0
1
x’
2
x’
1
x’
0
1
0
0
1
1
x’
2
x’
1
x
0
2
0
1
0
0
x’
2
x
1
x’
0
3
0
1
1
0
x’
2
x
1
x
0
4
1
0
0
0
x
2
x’
1
x’
0
5
1
0
1
1
x
2
x’
1
x
0
6
1
1
0
1
x
2
x
1
x’
0
7
1
1
1
1
x
2
x
1
x
0
F = x’
2
x’
1
x’
0
+ x’
2
x’
1
x
0
+
+ x
2
x’
1
x
0
+ x
2
x
1
x
’
0
+
+ x
2
x
1
x
0
= (
0,1,5,6,7
)
Każdą funkcję logiczną można zapisać
jednoznacznie jako sumę mintermów
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
29
Forma funkcji
Forma funkcji
Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:
3) Kanoniczna (decymalna)
De
c.
x
2
x
1
x
0
F
Maxterm
0
0
0
0
1
x
2
+x
1
+x
0
1
0
0
1
1
x
2
+x
1
+x’
0
2
0
1
0
0
x
2
+x’
1
+x
0
3
0
1
1
0
x
2
+x’
1
+x’
0
4
1
0
0
0
x’
2
+x
1
+x
0
5
1
0
1
1
x’
2
+x
1
+x’
0
6
1
1
0
1
x’
2
+x’
1
+x
0
7
1
1
1
1
x’
2
+x’
1
+x’
0
F = (x
2
+x’
1
+x
0
)(x
2
+x’
1
+x’
0
)
(x’
2
+x
1
+x
0
) = (
2,3,4
)
Każdą funkcję logiczną można zapisać
jednoznacznie jako iloczyn maxtermów
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
30
Forma funkcji
Forma funkcji
D
x
2
x
1
x
0
F
Minterm
0
0
0
0
1 x’
2
x’
1
x’
0
1
0
0
1
1
x’
2
x’
1
x
0
2
0
1
0
0
x’
2
x
1
x’
0
3
0
1
1
0
x’
2
x
1
x
0
4
1
0
0
0
x
2
x’
1
x’
0
5
1
0
1
1
x
2
x’
1
x
0
6
1
1
0
1
x
2
x
1
x’
0
7
1
1
1
1
x
2
x
1
x
0
Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:
4) Tablice Karnaugh
Tablica Karnaugh jest uporządkowaną strukturą prostokątną złożoną z 2
n
kratek, z
których każda reprezentuje jeden minterm;
dowolne dwie sąsiednie kratki różni tylko wartość jednej zmiennej
x
3
x
2
x
1
x
0
00 01 11 10
00
0
4
12
8
01
1
5
13
9
11
3
7
15
11
10
2
6
14
10
x
2
x
1
x
0
0
1
00
0
4
01
1
5
11
3
7
10
2
6
x
1
x
0
0
1
0
0
2
1
1
3
1
0
1
1
0
1
0
1
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
31
Symbole
Symbole
Podstawy matematyczne
Podstawy matematyczne
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
32
Symbole
Symbole
Schemat logiczny funkcji można otrzymać bezpośrednio z jej
analitycznej postaci przez zastąpienie operatorów symbolami bramek
NOT
NOT
AND
AND
OR
OR
Np. F = xy + z’
Np. F = xy + z’
X
X
X
X
X
X
YY
YY
FF
FF
FF
x
Y
z
F
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
33
Symbole bramek
Symbole bramek
+ (OR)
x
y
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
• (AND)
x
y
F
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Bufor
x
F
0
0
1
1
Bufor
Bufor
AND
AND
OR
OR
X
X
X
X
YY
FF
FF
X
X
YY
FF
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
34
Symbole bramek
Symbole bramek
+ (NOR)
x
y
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
• (NAND)
x
y
F
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Inverter
x
F
0
1
1
0
Zaprzeczenie (NOT)
Zaprzeczenie (NOT)
Układy cyfrowe częściej są konstruowane z bramek NAND i NOR niż z bramek AND i
OR. Wynika to z faktu, że bramki NAND i NOR zbudowane są z mniejszej ilości
tranzystorów, przez co są tańsze i łatwiejsze w produkcji.
NOT
NOT
NAND
NAND
NOR
NOR
X
X
X
X
X
X
YY
YY
FF
FF
FF
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
35
Symbole bramek
Symbole bramek
Exclusive-NOR (XNOR)
x
y
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Exclusive-OR (XOR)
x
y
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
X
X
YY
FF
X
X
YY
FF
XOR = x’y +xy’
XNOR = x’y’ +xy
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
36
Inverter zbudowany z bramki NAND
Inverter zbudowany z bramki NAND
x
F
x=y
F
0
1
0
1
1
0
1
0
xx
xx
FF
FF
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
37
Inverter zbudowany z bramki NOR
Inverter zbudowany z bramki NOR
x
F
x=y
F
0
1
0
1
1
0
1
0
xx
FF
xx
FF
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
38
AND zbudowana z bramek NAND
AND zbudowana z bramek NAND
x
y
F
x
1
F
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
[(xy)’]’ = xy
[(xy)’]’ = xy
xx
yy
FF
xx
yy
x1
x1
FF
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
39
OR zbudowana z bramek NOR
OR zbudowana z bramek NOR
x
y
F
x
1
F
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
[(x+y)’]’ = x + y
[(x+y)’]’ = x + y
x1
x1
FF
X
X
YY
xx
yy
FF
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
40
OR z budowana z bramek NAND
OR z budowana z bramek NAND
Na podstawie prawa De Morgana
(x +y)’ = x’ y’ [(x +y)’]’ = [x’ y’]’
x + y = [x’ y’]’
Na podstawie prawa De Morgana
(x +y)’ = x’ y’ [(x +y)’]’ = [x’ y’]’
x + y = [x’ y’]’
x
y
F
x
1
y
1
F
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
FF
x1
x1
y1
y1
xx
yy
xx
yy
FF
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
41
AND zbudowana z bramek NOR
AND zbudowana z bramek NOR
Na podstawie prawa De Morgana
(x y)’ = x’ + y’ [(x y)’]’ = [x’ + y’]’
xy = [x’ + y’]’
Na podstawie prawa De Morgana
(x y)’ = x’ + y’ [(x y)’]’ = [x’ + y’]’
xy = [x’ + y’]’
x
y
z
x
1
y
1
z
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
xx
x1
x1
yy
y1
y1
FF
xx
yy
FF
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
42
XOR zbudowana z bramek NOT, OR i
AND
XOR zbudowana z bramek NOT, OR i
AND
Na podstawie sumy mintermów
XOR = x’y + xy’
x’y
x’y
xy’
xy’
FF
xx
yy
x
y
Minterm
F
0
0
x’y’
0
0
1
x’y
1
1
0
xy’
1
1
1
xy
0
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
43
XOR zbudowana z bramek NAND
XOR zbudowana z bramek NAND
XOR = x’y + xy’ = x’y +
yy’
+ xy’ +
xx’
=
= (x’+y’)y +(x’+y’)x = (xy)’y +(xy)’x =
= [((xy)’y)’ ((xy)’x)’]’
(xy)’
(xy)’
XOR
XOR
xx
yy
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
44
XNOR zbudowana z bramek NOT, OR i
AND
XNOR zbudowana z bramek NOT, OR i
AND
Na podstawie sumy mintermów
XNOR = x’y’ +xy
x’y’
x’y’
xy
xy
FF
xx
yy
x
y
Minterm
F
0
0
x’y’
0
0
1
x’y
1
1
0
xy’
1
1
1
xy
0
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
45
XNOR
XNOR
Na podstawie sumy mintermów
XNOR = (XOR)’
(xy)’
(xy)’
XNOR
XNOR
xx
yy
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
46
Przykład zastosowania
Przykład zastosowania
F = xy + z’ = [(xy)’z]’
F = xy + z’
zz
xx
yy
FF
z
x
y
F
xx
yy
x
y
zzz
FFF
X X
X
X
xx
YY
FF
zz
x
Y
F
z
24 kwietnia 2013
Wojciech Kucewicz
47
Przykład zastosowania
Przykład zastosowania
F = xy + z’ = [[(x’ + y’)’ + z’]’]’ = (x’ + y’)’ + z’
F = xy + z’
F = xy + z’
zz
xx
yy
FF
z
x
y
F
xx
yy
x
y
zzz
FFF
F = x’
2
x’
1
x’
0
+ x’
2
x’
1
x
0
+ x
2
x’
1
x
0
Przykład zastosowania MINTERMów
D
ec x
2
x
1
x
0
F
Minterm
0
0
0
0
1
x’
2
x’
1
x’
0
1
0
0
1
1
x’
2
x’
1
x
0
2
0
1
0
0
x’
2
x
1
x’
0
3
0
1
1
0
x’
2
x
1
x
0
4
1
0
0
0
x
2
x’
1
x’
0
5
1
0
1
1
x
2
x’
1
x
0
6
1
1
0
0
x
2
x
1
x’
0
7
1
1
1
0
x
2
x
1
x
0
Każdą funkcję logiczną można zapisać jednoznacznie jako sumę mintermów
Każdy minterm można zastąpić bramką AND, a sumę mintermów zrealizować przy
pomocy bramki OR
x
2
x
1
x
0
x
2
x
1
x
0
FF
F = x’
2
x’
1
x’
0
+ x’
2
x’
1
x
0
+ x
2
x’
1
x
0
= x’
2
x’
1
x’
0
+ x’
1
x
0
Przykład zastosowania MINTERMów
D
ec x
2
x
1
x
0
F
Minterm
0
0
0
0
1
x’
2
x’
1
x’
0
1
0
0
1
1
x’
2
x’
1
x
0
2
0
1
0
0
x’
2
x
1
x’
0
3
0
1
1
0
x’
2
x
1
x
0
4
1
0
0
0
x
2
x’
1
x’
0
5
1
0
1
1
x
2
x’
1
x
0
6
1
1
0
0
x
2
x
1
x’
0
7
1
1
1
0
x
2
x
1
x
0
Każdą funkcję logiczną zapisaną jako sumę mintermów można uprościć
x
2
x
1
x
0
x
2
x
1
x
0
FF
Przykład zastosowania MINTERMów
Zadanie:
Zrealizować funkcję
F = x’
2
x’
1
x’
0
+ x’
1
x
0
przy pomocy bramek NOR
x
2
x
1
x
0
x
2
x
1
x
0
FF
Przykład zastosowania MINTERMów
Zadanie: Zrealizować funkcję
F = x’
2
x’
1
x’
0
+ x’
1
x
0
przy pomocy bramek NOR
x
2
x
1
x
0
x
2
x
1
x
0