1
Prawdopodobieństwo warunkowe
Przykład
Rzucamy 1 raz kostką do gry, przy czym interesuje nas rpawdopodobieństwo zdarzenia A - wypadnie liczba
oczek ¬ 3. Oczywiście Ω = {ω
1
, ω
2
, ω
3
, ω
4
, ω
5
, ω
6
} oraz A = {ω
1
, ω
2
, ω
3
} Zgodnie z klasyczną definicją prawdo-
podobieństwa ?? mamy
P [A] =
n(A)
n
=
3
6
=
1
2
Przypuścmy teraz, że nie znamy dokłądnego wyniku rzutu ale ktoś inny poinformował naz, że zaszło zdarzenie
B - na kostce wypadła niepażysta liczba oczek. Czy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest teraz takie samo?
Zauważmy, że jako pzestrzeń zdarzeń elementarnych można w tej sytuacji przyjąć B = {ω
1
, ω
3
, ω
5
}, natomiast
zajścio zdarzenia A sprzyjają 2 zdarzenia elementarne ze zbioru B, tj {ω
1
, ω
2
} = A ∩ B. Tak więc naturalną
rzeczą jest przyjąć, że prawdopodobieństwo zdarzenia A przy warunku, że zaszło zdarzenie B kest równe
P [A|B] =
n(A ∩ B)
n(B)
=
2
3
=
n(A∩B)
n
n(B)
n
=
P [A ∩ B]
P [B]
Niech B ∈ F będzie wolnym zdarzeniem o dodatnik prawdopodobieństwie, P [B] > 0. Wtedy prawdopodobieńś-
two dowolnego zdarzenia A ∈ F przy warunku, że zdarzenie B definiujemy wzorem
P [A|B] =
P [A ∩ B]
P [B]
(1.1)
Tw. Dla ustalonego zdarzenia B ∈ F takiego, że P [B] > 0, funkcja P [.|B] : F → R spełnia aksjomaty prawdopo-
dobieństwa (oczywiście zakładając, że wyjściowe funkcje P : F → R spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa).
Dowód
??
V
A∈F
P [A|B] 0
Rzeczywiście P [A|B] =
P [A∩B]
P [B]
0 dla każdego A ∈ F
?? Niech A
1
, A
2
, . . . ∈ F , oraz A
i
∩ A
j
= ∅ dla i 6= j. Wtedy A
1
∩ B, A
2
∩ B, . . . ∈ F i są to zbiory roz-
łączne (A
i
∩ B) ∩ (A
j
∩ B) = (A
i
∩ A
j
) ∩ B = ∅ dla i 6= j.
Kożystając z ?? aksjomaty prawdopodobieństwa dla funkcji P stwierdzamy, że
P [
∞
[
n=1
A
n
|B] =
P [(
∞
S
n=1
A
n
) ∩ B]
P [B]
=
P [
∞
S
n=1
(A
n
∩ B)]
P [B]
??
=
∞
P
n=1
P [A
n
∩ B]
P [B]
=
∞
X
n=1
P [A
n
∩ B]
P [B]
=
∞
X
n=1
P [A
n
|B]
?? P [Ω|B] =
P [Ω∩B]
P [B]
=
P [B]
P [B]
= 1
1