Dynamika Budowli
– laboratorium
Ćwiczenie 4
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów
1
A. Obliczyć przemieszczenie u(t), prędkość v(t) i przyspieszenie a(t) układu o jednym
stopniu swobody obciążonego siłą p(t). Do całkowania równania ruchu w środowisku
MATLAB zastosować metodę różnic centralnych (funkcja mrc). Obliczyć krytyczny krok
całkowania. Dobrać krok całkowania.
Dane: E,
L, b, h,
, u
0
, v
0,
p
o,
t
d
Dynamika Budowli
– laboratorium
Ćwiczenie 4
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów
2
Rozwiązanie:
a) Otworzyć nowy plik m-file, zadeklarować wszystkie dane materiałowe i geometryczne.
b=10/100;
% szerokosc [m]
h=20/100;
% wysokosc [m]
L=5;
% dlugosc [m]
E=200e+9;
% modul sprezystosci [Pa]
ro=7850;
% gestosc [kg/m3]
u0= 0 ;
% przemieszczenie poczatkowe [m]
v0= 0;
% predkosc poczatkowa [m/s]
ksi=0.03;
% liczba tłumienia
td=0.01
% czas trwania impulsu [s]
po=2000;
% amplituda impulsu [N]
b) Obliczyć moment bezwładności przekroju
x
I .
c) Obliczyć sztywność k układu wymodelowanego za pomocą jednego stopnia swobody.
d) Obliczyć masę m poprzez skupienie masy z ½ długości belki.
e) Obliczyć częstość kołową drgań własnych
n
k
m
.
f) Obliczyć tłumienie
kr
c
c
,
2
kr
n
c
m
.
Dynamika Budowli
– laboratorium
Ćwiczenie 4
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów
3
g) Dobrać krok całkowania dt z warunku stabilności metody różnic centralnych
2
kr
n
dt
dt
.
dt_mrc=2/(wn)
Dla powyższych danych
dt_mrc = 0.0175
. Przyjęto krok czasowy jako:
dt=0.001
h) Utworzyć wektor czasu
t=[0:dt:tk]
Czas końcowy tk dobrać tak, by zaobserwować przejście układu do spoczynku
(ewentualnie skorygować go po przeprowadzeniu pierwszej próby całkowania).
Aby określić długość wektora czasu t użyć funkcji length
nt = length(t)
i) Utworzyć wektor obciążenia p(t) na podstawie zadanego wykresu. Uwaga: wektor
obciążenia musi mieć taką samą długość jak wektor czasu.
j) Wykonać numeryczne całkowanie równania ruchu.
Do całkowania w programie MATLAB zastosować funkcję mrc. Funkcja mrc wykonuje
całkowanie równania ruchu metodą różnic centralnych. W wyniku całkowania otrzymuje
się wektor przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.
Uwaga: funkcję mrc ściągnąć na dysk i umieścić w katalogu bieżącym. W niniejszym
przykładzie liczba stopni swobody wynosi n = 1.
Dynamika Budowli
– laboratorium
Ćwiczenie 4
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów
4
[u,v,a]=mrc(m,c,k,p,t,u0,v0);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% funkcja calkowania rownan ruchu metoda roznic centralnych
% [u,v,a]=mrc(M,C,K,P,t,u0,v0)
%---------------------------------------------------------
% WEJSCIE:
% M - macierz mas (n x n)
% C - macierz tlumienia (n x n)
% K - macierz sztywnosci (n x n)
% P - wektor obciazen zewnetrznych (n x nt)
% t - wektor czasu (1 x nt)
% u0 - wektor przemieszczen poczatkowych (1 x n)
% v0 - wektor predkosci poczatkowych (1 x n)
%----------------------------------------------------------
% WYJSCIE:
% u - wektor przemieszczen (n x nt)
% v - wektor predkosci (n x nt)
% a - wektor przyspieszen (n x nt)
%----------------------------------------------------------
Dynamika Budowli
– laboratorium
Ćwiczenie 4
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów
5
k) Wykreślić przebieg przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia w czasie, opisać osie
wykresów
figure(1);
subplot(311); plot(t,u); xlabel(
't'
);ylabel(
'u [m]'
)
subplot(312); plot(t,v); xlabel(
't'
);ylabel(
'v [m/s]'
)
subplot(313); plot(t,a); xlabel(
't'
);ylabel(
'a [m/s^2]'
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2
0
2
x 10
-4
t [s]
u
[
m
]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.02
0
0.02
t
v
[
m
/s
]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-5
0
5
t [s]
a
[
m
/s
2
]
Dynamika Budowli
– laboratorium
Ćwiczenie 4
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów
6
B. Obliczyć przemieszczenie u(t) stosując przybliżone rozwiązanie dla „impulsu
krótkiego”.
Rozwiązanie:
a) Obliczyć wartość impulsu:
J=0.5*td*po;
b) Sprawdzić, czy impuls spełnia warunek krótkiego impulsu
/
0.5
d
n
t
T
c) Obliczyć przemieszczenie układu
1
( )
sin(
)
n
t
d
d
u t
J
t e
m
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2
-1
0
1
2
x 10
-4
t [s]
u
[
m
]
metoda różnic centralnych
rozwiązanie przybliżone dla impulsu "krótkiego"
Dynamika Budowli
– laboratorium
Ćwiczenie 4
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów
7
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
Wykonać obliczenia dla różnych wartości t
d
:
t
d
= 0.001 s; t
d
= 0.01 s; t
d
= 0.05 s; t
d
= 0.1 s.
Porównać wyniki u(t) dla różnych szerokości impulsu.
Porównać wyniki u(t) dla rozwiązania metodą różnic centralnych oraz przybliżonego
rozwiązania dla „impulsu krótkiego”.