32
V. ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ – ALGEBRA MACIERZY
5.1 Definicja macierzy.
Macierzą prostokątną m x n, gdzie m,n
∈N i oznaczają odpowiednio liczbę wierszy i kolumn,
nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j),
gdzie i = 1, 2, 3…m; j = 1, 2, 3,… n, liczbę a
ij
. Zatem macierz jest funkcją:
( )
ij
a
j
i
A
→
,
:
Macierz zapisujemy w postaci:
mn
m
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1
2
22
21
1
12
11
...
...
...
...
...
...
bądź krócej
[a
ij
]
5.2 Rodzaje macierzy.
A. Macierz nazywamy kwadratową gdy m = n; np.:
9
8
7
6
5
4
3
2
1
B. Macierz, której wszystkie elementy są zerami, nazywamy macierzą zerową, np.:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
lub
0
0
0
0
0
0
C. Macierz nazywamy diagonalną, jeżeli wszystkie elementy poza główną przekątną (tzn.
gdy i
≠ j) są równe zero, np.:
3
0
0
0
2
0
0
0
1
D. Macierz diagonalną, która na głównej przekątnej ma elementy równe 0, nazywamy
macierzą jednostkową, np.:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
E. Macierz kwadratową, dla której spełniony jest warunek: a
ij
= a
ji
, nazywamy macierzą
symetryczną, np.:
7
8
3
8
6
4
3
4
1
33
F. Macierz, którą otrzymujemy z danej macierzy A, poprzez zamianę wierszy na
kolumny, z zachowaniem ich kolejności, nazywamy macierzą transponowaną i
oznaczamy symbolem A
T
, np.: macierz transponowana powstała z macierzy
=
1
3
5
6
4
2
A
wygląda nst.:
=
1
3
5
6
4
2
T
A
5.3 Działania na macierzach oraz ich własności.
• Sumą (różnicą) macierzy A + B (A – B) tego samego wymiaru m x n nazywamy
macierz, której elementy równe są sumom (różnicom) odpowiednich elementów
macierzy A i B, np.: jeżeli
=
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A
=
9
8
7
5
4
3
6
5
4
B
to
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
18
16
14
11
9
7
9
7
5
9
9
8
8
7
7
5
6
4
5
3
4
6
3
5
2
4
1
B
A
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
0
0
0
1
1
1
3
3
3
9
9
8
8
7
7
5
6
4
5
3
4
6
3
5
2
4
1
B
A
• Iloczynem macierzy A przez liczbę k, nazywamy macierz, której elementami są
elementy macierzy A pomnożone przez liczbę k, np.:
=
1
5
9
8
6
5
4
3
1
A
, a k = 3, to
=
×
×
×
×
×
×
×
×
×
=
×
3
15
27
24
18
15
12
9
3
1
3
5
3
9
3
8
3
6
3
5
3
4
3
3
3
1
3
k
A
• Iloczynem macierzy A przez macierz B nazywamy macierz, której elementami są
sumy iloczynów kolejnych elementów i – tego wiersza macierzy A przez kolejne
elementy j – tej kolumny macierzy B, np.:
=
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A
=
9
8
7
5
4
3
6
5
4
B
to
=
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
=
×
163
131
115
103
88
73
43
37
31
9
9
5
8
6
7
8
8
4
8
5
7
7
9
3
8
4
7
9
6
5
5
6
4
8
6
4
5
5
4
7
6
3
5
4
4
9
3
5
2
6
1
8
3
4
2
5
1
7
3
3
2
4
1
B
A
• Mnożenie macierzy (o ile istnieje) jest rozdzielne względem dodawania
(odejmowania):
(
)
(
)
BC
AC
C
B
A
AC
AB
C
B
A
+
=
+
+
=
+
34
Ćwiczenia:
1) Napisać macierz transponowaną macierzy:
=
8
7
6
5
4
2
1
3
A
;
=
7
6
4
1
6
5
3
2
B
;
=
6
5
3
1
C
;
[
]
7
6
5
1
=
E
2) Dane są macierze:
=
0
2
3
1
2
1
A
;
=
1
9
8
7
6
5
B
;
=
7
5
2
6
4
2
C
Obliczyć: A + B; B – A; A + 3B – 4C; B
T
– A
T
3) Obliczyć iloczyny AB i BA, jeżeli:
=
1
2
7
6
3
1
A
;
=
1
6
2
9
1
3
B
4) Wykonać mnożenie macierzy:
×
3
2
9
7
1
2
0
2
3
1
2
1
;
×
6
5
2
1
2
9
7
6
4
5.4 Wyznaczniki – metody obliczania.
¾
Metoda wg twierdzenia Laplace’a.
Niech dana będzie macierz kwadratowa A
nxn
=
nn
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1
2
22
21
1
12
11
...
...
...
...
...
...
; wyznacznikiem
macierzy A nazywamy liczbę:
det A = a
i1
x D
i1
+ a
i2
x D
i2
+ a
i3
x D
i3
+ …+ a
in
x D
in
lub
det A = a
1j
x D
1j
+ a
2j
x D
2j
+ a
3j
x D
3j
+ …+ a
nj
x D
nj
gdzie D
ij
= (-1)
i+j
x M
ij
np.:
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
31
22
32
21
13
31
23
33
21
12
32
23
33
22
11
32
31
22
21
3
1
13
33
31
23
21
2
1
12
33
32
23
22
1
1
11
1
1
1
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
×
−
×
×
+
×
−
×
×
−
×
−
×
×
=
×
−
×
+
×
−
×
+
×
−
×
=
+
+
+
35
¾
Dla macierzy stopnia trzeciego można stosować metodę Sarrusa:
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
;
(
) (
) (
) (
)
(
) (
)
31
22
13
32
23
11
33
21
12
32
21
13
31
23
12
33
22
11
32
22
12
31
21
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
×
×
−
×
×
−
−
×
×
−
×
×
+
×
×
+
×
×
=
=
Ćwiczenia:
1) Obliczyć wyznaczniki:
=
5
4
3
2
1
0
1
1
2
A
;
−
=
6
6
3
7
2
5
2
2
1
B
;
−
−
−
=
2
4
1
2
1
4
0
3
2
C
;
−
−
=
2
0
2
0
3
3
0
0
4
D
;
=
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
E
;
−
−
−
−
=
3
2
1
4
1
2
3
2
2
1
3
4
2
7
5
1
F
;
−
=
2
3
5
0
1
1
2
3
4
1
5
4
1
2
3
7
G
;
−
−
−
=
3
2
0
0
1
2
0
0
2
1
5
0
2
7
3
7
H
5.5 Macierz odwrotna – metody wyznaczania.
1. Przy pomocy definicji:
A*A
-1
=A
-1
*A= I
gdzie: A – macierz dana (kwadratowa stopnia „n”)
A
-1
– szukana macierz odwrotna (kwadratowa stopnia „n”)
I – macierz jednostkowa
np.:
=
3
1
5
2
A
=
−
22
21
12
11
1
a
a
a
a
A
3
1
5
2
×
22
21
12
11
a
a
a
a
=
1
0
0
1
⇒
=
+
=
+
=
+
=
+
1
3
0
5
2
0
3
1
5
2
22
12
22
12
21
11
21
11
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
=
+
=
+
=
+
1
3
0
5
2
0
3
1
5
2
22
12
22
12
21
11
21
11
a
a
a
a
a
a
a
a
⇒
2
1
5
3
22
21
12
11
=
−
=
−
=
=
a
a
a
a
−
−
=
−
2
1
5
3
1
A
36
2. Zgodnie z twierdzeniem:
d
A
A
A
*
det
1
1
=
−
gdzie: A
d
– jest macierzą dołączoną macierzy A
A
d
= D
T
gdzie: D jest macierzą wyznaczników dopełnień algebraicznych poszczególnych elementów
macierzy A
np.: wyznacz macierz odwrotną do macierzy
=
1
1
3
1
0
2
2
0
1
A
(
)
3
4
1
*
)
1
(
1
2
2
1
*
)
1
(
*
1
1
1
3
1
0
2
2
0
1
det
5
=
−
−
=
−
=
=
A
;
⇒
3
1
det
1
=
A
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
, gdzie D
11
jest dopełnieniem algebraicznym elementu a
11
macierzy A,
D
12
jest dopełnieniem algebraicznym elementu a
12
macierzy A
itd.
( )
( )
( ) (
)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) (
)
( )
0
0
2
0
1
*
1
3
4
1
*
1
1
2
2
1
*
1
0
1
0
2
0
*
1
1
1
*
1
1
3
0
1
*
1
5
1
3
2
1
*
1
2
2
*
1
1
1
2
0
*
1
2
1
3
0
2
*
1
1
3
2
*
1
1
3
1
2
*
1
1
1
1
1
0
*
1
6
33
5
32
4
31
5
23
4
22
3
21
4
13
3
12
2
11
=
−
=
=
−
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
−
−
=
−
=
=
−
=
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
D
D
D
D
D
D
D
D
D
−
−
−
=
=
0
3
0
1
5
2
2
1
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
−
−
−
=
=
0
1
2
3
5
1
0
2
1
d
T
A
D
−
−
−
=
=
−
0
3
1
3
2
1
3
5
3
1
0
3
2
3
1
*
det
1
1
d
A
A
A
37
3. Za pomocą przekształceń elementarnych.
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy nst. działania:
pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę
różna od zera
zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy
dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny)
odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez
dowolną liczbę różną od zera
Jeżeli dokonujemy identycznych przekształceń elementarnych na wierszach nieosobliwej
macierzy kwadratowej A i macierzy jednostkowej I tego samego stopnia co macierz A, to po
przekształceniu macierzy A do macierzy jednostkowej I, macierz jednostkowa (pierwotna)
będzie przekształcona do macierzy odwrotnej A
-1
.
Przykład:
2 1 -1
5 2 4
7 3 2
2 1 -1
5 2 4
7 3 2
2 1 -1
5 2 4
1 0 5
2 1 -1
0 2-21
1 0 5
0 1-11
0 2-21
1 0 5
1 0 5
0 2-21
0 1-11
1 0 5
0 0 1
0 1-11
1 0 5
0 1-11
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
-3 0 1
1 0 0
15 1 -5
-3 0 1
7 0 -2
15 1 -5
-3 0 1
-3 0 1
15 1 -5
7 0 -2
-3 0 1
1 1 -1
7 0 -2
-3 0 1
7 0 -2
1 1 -1
-8 -5 6
18 11-13
1 1 -1
A=
A|J=
A|J=
A|J=
A|J=
A|J=
A|J=
A|J=
A|J=
*(-3)
*(-5)
*(-2)
*(-2)
*(11)
*(-5)
+
+
+
+
+
+
Zatem macierz odwrotna ma postać:
−
−
−
−
=
−
1
1
1
13
11
18
6
5
8
1
A
Ćwiczenia:
wyznacz macierz odwrotną do macierzy:
=
5
2
2
1
A
;
−
=
7
3
2
1
B
;
−
=
1
0
0
2
1
0
3
2
1
C
;
=
4
2
5
2
1
2
3
2
4
D
;
−
−
=
1
2
1
0
1
1
3
2
2
E
;
−
−
=
3
4
1
2
1
2
1
2
3
F
=
3
5
1
4
9
3
3
7
2
G
;
=
1
1
2
2
1
0
3
2
1
H
;
−
−
−
−
−
−
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
K
;
−
=
3
2
1
2
4
3
1
1
0
0
2
3
0
0
1
2
L
rozwiąż równania macierzowe, gdy:
=
3
1
5
2
A
;
−
=
1
2
6
4
B
;
=
4
3
2
1
C
¾
A * X + C = B
¾
B
T
– X * A
T
= C
¾
B
T
* X – A * X = C
38
5.6 Rząd macierzy – metody wyznaczania.
1. Zgodnie z definicją rzędem macierzy A (symbolicznie rz A) nazywamy maksymalną
liczbę liniowo niezależnych kolumn tej macierzy.
Np.:
=
4
1
3
4
2
2
1
0
1
A
; w podanej macierzy trzecia kolumna jest sumą dwóch pierwszych, zatem jest
od nich liniowo zależna – po dodaniu do kolumny 2 kolumny 1 otrzymujemy:
→
=
4
4
3
4
4
2
1
1
1
4
1
3
4
2
2
1
0
1
A
, stąd widać, że tylko dwie pierwsze kolumny są liniowo
niezależne, więc rz A = 2.
Dla ułatwienia można stwierdzić, że maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn jest
równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy, a do przekształcania ich w postać
„widocznej zależności” służą poznane wcześniej przekształcenia elementarne.
2. Mając daną macierz A, „szukamy” możliwie największej macierzy kwadratowej A
’
,
która jest podmacierzą macierzy A (pamiętając, że sama macierz A, również może być
traktowana jak podmacierz), takiej, że wyznacznik podmacierz A’ jest różny od zera.
Stopień takiej nieosobliwej podmacierzy A’ jest równy rzędowi macierzy A.
Np.:
=
3
1
2
1
1
0
3
2
1
A
, łatwo zauważyć, że rząd macierzy A może być równy co najwyżej 3.
(
) (
)
0
7
7
6
1
0
0
4
3
1
1
2
2
0
1
3
1
2
1
1
0
3
2
1
det
=
−
=
+
+
−
+
+
=
=
A
, zatem rząd macierzy A może być
już co najwyżej równy 2. Przykładową podmacierzą A’, może być podmacierz:
=
1
0
2
1
'
A
;
0
1
0
1
1
0
2
1
det
'
≠
=
−
=
=
A
, więc rząd macierzy A jest równy 2, bo największą podmacierzą
macierzy A, której wyznacznik jest różny od zera, jest podmacierz stopnia n = 2.
3. Za pomocą przekształceń elementarnych. Dla przypomnienia: przekształceniami
elementarnymi macierzy nazywamy nst. działania:
a. pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę
różna od zera
b. zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy
39
c. dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny)
odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez
dowolną liczbę różną od zera
Przy ich pomocy, każdą macierz m x n, możemy przekształcić w nst. postać:
2
1
0
0
R
I
k
którą nazywamy postacią kanoniczną macierzy.
I
k
– macierz jednostkowa stopnia k, gdzie k równe jest rzędowi macierzy m x n
R – macierz resztowa
0
1
i 0
2
– macierze zerowe
Uwaga
: jeżeli k = m to w postaci kanonicznej nie występują macierze zerowe, gdy k = n to w
postaci kanonicznej nie występuje macierz resztowa.
Np.:
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
→
+
−
−
→
+
−
−
−
→
+
−
−
−
→
+
−
−
→
+
−
−
→
←
→
−
−
→
+
−
−
→
+
−
−
→
+
−
−
−
→
+
−
−
−
→
+
−
−
−
−
=
0
0
0
0
7
1
0
0
1
0
1
0
3
0
0
1
4
2
*
3
14
2
0
0
7
1
0
0
1
0
1
0
3
0
0
1
4
)
11
(
*
2
3
2
11
0
7
1
0
0
1
0
1
0
3
0
0
1
2
)
5
(
*
3
3
2
1
0
7
1
5
0
1
0
1
0
3
0
0
1
3
4
3
2
1
0
10
3
4
0
1
0
1
0
3
0
0
1
2
4
3
2
1
0
10
3
4
0
4
2
0
0
3
0
0
1
3
2
3
1
2
0
10
4
3
0
4
0
2
0
3
0
0
1
4
)
2
(
*
1
3
1
2
2
10
4
3
0
4
0
2
0
3
0
0
1
3
1
3
1
2
2
7
4
3
1
4
0
2
0
3
0
0
1
3
2
3
3
2
2
7
1
3
1
4
2
2
0
3
0
0
1
2
)
1
(
*
1
3
3
0
2
7
1
2
1
4
2
2
0
3
0
1
1
1
2
3
3
0
2
7
1
2
1
4
2
2
0
1
2
1
1
w
w
w
w
k
k
w
w
w
w
k
k
w
w
w
w
k
k
k
k
w
w
A
Zatem: k = 3 = rz A,
=
7
1
3
R
,
[
]
0
0
0
0
1
=
,
[ ]
0
0
2
=
40
Ćwiczenia:
wyznaczyć rząd macierzy:
−
=
2
3
3
1
2
1
3
1
2
A
;
=
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
B
;
=
3
3
3
3
1
2
4
1
2
3
1
2
C
;
−
−
−
−
−
−
=
1
0
0
1
1
2
1
1
0
2
1
9
0
2
1
3
E
;
−
−
=
2
1
4
0
3
2
F
wyznaczyć rząd macierzy za pomocą postaci kanonicznej:
−
−
=
8
4
1
0
1
5
2
1
1
0
2
0
1
2
1
3
2
0
1
1
D
dla jakich wartości x rząd macierzy A jest równy 3?
=
3
2
1
8
4
3
2
1
x
A
5.7 Układy równań liniowych.
Niech dany będzie nst. układ m równań z n niewiadomymi:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
......
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
Macierzowy zapis powyższego układu przedstawia się jak poniżej:
=
•
m
n
mn
m
m
n
n
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
lub krócej:
b
x
A
=
•
Rozwiązaniem tego układu są
R
x
x
x
n
∈
;...
;
2
1
spełniające wszystkie równania układu
jednocześnie.
Przedstawiony układ może być układem:
sprzecznym – tzn. nie posiada rozwiązania, nie ma takich
R
x
x
x
n
∈
;...
;
2
1
, które
spełniłyby wszystkie równania układu jednocześnie
41
oznaczonym – tzn. posiada dokładnie jeden wektor
R
x
x
x
n
∈
;...
;
2
1
, który spełnia
wszystkie równania układu jednocześnie
nieoznaczonym – tzn. posiada nieskończenie wiele wektorów
R
x
x
x
n
∈
;...
;
2
1
, które w
zależności od wartości parametru t, od którego są zależne, spełniają wszystkie
równania układu
Rozwiązywanie układów równań:
1. Układ n równań z n niewiadomymi:
b
x
A
=
•
, w którym
0
det
≠
A
nazywamy
układem Cramera i możemy go rozwiązać za pomocą równania:
b
A
x
A
A
b
A
x
•
=
•
•
⇐
=
−
−
−
1
1
1
Np.: rozwiązać układ równań:
=
+
=
+
0
3
1
2
2
1
2
1
x
x
x
x
=
3
1
1
2
A
=
2
1
x
x
x
=
0
1
b
−
−
=
−
2
1
5
1
2
1
5
3
1
A
•
−
−
=
0
1
2
1
5
1
2
1
5
3
2
1
x
x
⇒
−
=
•
+
−
=
=
•
−
+
=
5
1
0
2
1
5
1
5
3
0
2
1
5
3
2
1
x
x
2. Jeżeli dany układ jest układem Cramera, to ma dokładnie jedno rozwiązanie
określone wzorami:
A
A
x
A
A
x
A
A
x
n
n
det
det
...
det
det
det
det
2
2
1
1
=
=
=
gdzie
(
)
n
j
A
j
,...
3
,
2
,
1
=
jest macierzą powstałą w wyniku zastąpienia j – tej kolumny, kolumną
wyrazów wolnych.
Np.: rozwiązać układ równań:
−
=
−
−
−
=
−
−
=
+
+
7
3
5
4
3
2
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
6
4
5
6
10
4
3
5
4
1
2
1
1
3
5
4
1
1
2
1
1
1
det
≠
−
=
+
−
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
A
6
7
0
9
15
7
0
5
7
1
3
1
0
3
5
7
1
1
3
1
1
0
det
1
=
−
+
−
+
+
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
A
0
12
7
0
14
0
9
7
4
3
2
0
1
3
7
4
1
3
2
1
0
1
det
2
=
+
−
+
−
+
=
−
−
−
−
−
−
=
A
42
6
0
15
14
0
12
7
5
4
1
2
1
1
7
5
4
3
1
2
0
1
1
det
3
−
=
+
−
+
+
−
=
−
−
−
−
−
−
=
A
1
6
6
0
6
0
1
6
6
3
2
1
=
−
−
=
=
−
=
−
=
−
=
x
x
x
3. Układy m równań z n niewiadomymi.
Niech dany będzie układ równań: (*)
b
x
A
=
•
, w którym
m
i
,...
2
,
1
=
oraz
n
j
,...
2
,
1
=
;
macierz postaci
[ ]
b
A
U
=
nazywamy macierzą uzupełnioną macierzy A, powstałą poprzez
dołączenie do macierzy A kolumny wyrazów wolnych b.
Twierdzenie Kroneckera – Capelli’ego: układ równań (*) ma rozwiązanie wtedy i tylko
wtedy, gdy
rzU
rzA
=
, przy czym gdy
n
r
rzU
rzA
=
=
=
to układ (*) ma dokładnie jedno
rozwiązanie (układ oznaczony), jeżeli zaś
n
r
rzU
rzA
<
=
=
, to układ (*) jest układem
nieoznaczonym, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n – r parametrów.
Gdy dla układu
b
x
A
=
•
,
n
r
rzU
rzA
=
=
=
, to rozpatrujemy (liczymy) układ zredukowany
postaci
'
'
b
x
A
=
•
z zastosowaniem wzorów Cramera
(
)
0
'
det
≠
A
.
Gdy dla układu
b
x
A
=
•
,
n
r
rzU
rzA
<
=
=
, to rozpatrujemy (liczymy) układ postaci
'
'
'
b
x
A
=
•
(wszystkie zmienne zależne przenosimy na stronę wyrazów wolnych) również z
zastosowaniem wzorów Cramera, ponieważ
0
'
det
≠
A
.
Jeżeli
rzU
rzA
≠
to układ jest układem sprzecznym, czyli nie posiada żadnego rozwiązania.
Np.: rozwiązać układ równań:
=
+
=
+
=
+
2
2
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
=
2
2
1
2
1
1
A
=
2
1
x
x
x
=
2
0
1
b
=
2
2
2
0
1
2
1
1
1
U
n
rzU
rzA
=
=
=
2
, zatem układ
b
x
A
=
•
przyjmuje postać
'
'
b
x
A
=
•
, czyli:
=
•
0
1
1
2
1
1
2
1
x
x
, stosując wzory Cramera otrzymujemy:
2
2
0
det
1
0
1
det
1
2
1
det
2
1
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
A
A
A
, zatem
2
1
2
1
1
1
2
1
=
−
−
=
−
=
−
=
x
x
Rozwiązać układ równań:
=
−
+
=
+
+
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
43
−
=
1
3
2
1
1
1
A
=
3
2
1
x
x
x
x
=
1
1
b
−
=
1
1
3
2
1
1
1
1
U
n
rzU
rzA
<
=
=
2
, zatem układ
b
x
A
=
•
przyjmuje postać
'
'
'
b
x
A
=
•
, czyli:
+
−
=
•
3
3
2
1
1
1
3
2
1
1
x
x
x
x
, stosując wzory Cramera otrzymujemy:
(
)
(
)
(
)
1
3
2
2
1
1
2
1
'
det
4
2
1
3
3
1
3
1
'
det
1
2
3
'
det
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
1
−
=
+
−
+
=
−
•
−
+
=
−
=
−
−
−
=
+
−
•
−
=
=
−
=
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
x
A
A
Zatem:
∈
−
=
−
=
−
=
−
=
R
x
x
x
x
x
x
x
3
3
3
2
3
3
1
1
3
1
1
3
4
2
1
4
2
Ćwiczenia:
A. Podane układy równań rozwiązać przy pomocy macierzy odwrotnej:
=
−
+
=
+
−
=
+
+
=
−
+
−
=
+
−
=
+
+
9
3
4
8
2
2
17
2
3
5
2
5
3
2
2
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B. Rozwiązać układy równań:
=
+
−
=
−
−
=
−
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
−
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
−
=
+
+
+
=
+
−
+
−
=
−
+
+
−
=
−
−
−
=
+
+
−
=
+
−
−
−
=
−
−
+
−
−
=
−
−
=
+
+
0
5
3
3
4
1
3
2
2
2
4
6
3
1
3
2
0
1
4
3
2
1
4
3
0
3
3
2
0
3
2
2
0
2
5
3
2
5
4
1
2
3
2
2
2
3
5
_
4
3
2
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
4
3
2
1
4
3
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C. Dla jakiej liczby
R
a
∈
następujące układy nie są sprzeczne:
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
−
+
=
+
=
−
=
+
1
5
2
2
0
4
1
2
2
3
0
3
1
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
44
PLAN ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ (m x n):
1) Układ n równań z n niewiadomymi
b
x
A
=
•
:
liczymy wyznacznik macierzy A, jeżeli:
a.
0
det
≠
A
, to mamy układ Cramera i obliczamy wartości poszczególnych niewiadomych
zgodnie ze wzorami
b.
0
det
=
A
I.
obliczamy rząd macierzy A, szukając nieosobliwej podmacierzy A’ (obliczamy
wyznaczniki wszystkich możliwych podmacierzy A’, aż do momentu otrzymania
wartości wyznacznika różnej od zera) lub za pomocą przekształceń elementarnych
doprowadzamy do wykreślenia danego wiersza (kolumny) i przeprowadzamy
obliczenia jak wyżej – mniej możliwych podmacierzy A’
II.
obliczamy rząd macierzy uzupełnionej U postępując jak wyżej
III.
jeżeli
rzU
rzA
=
to doprowadzamy układ do postaci
'
'
'
b
x
A
=
•
i za pomocą
wzorów Cramera obliczamy wartości zmiennych
IV.
jeżeli
rzU
rzA
≠
to układ jest sprzeczny
2) Układ m równań z n niewiadomymi
b
x
A
=
•
, przy czym n > m:
obliczamy rząd macierzy A, szukając nieosobliwej podmacierzy A’ (obliczamy
wyznaczniki wszystkich możliwych podmacierzy A’, aż do momentu otrzymania
wartości wyznacznika różnej od zera) lub za pomocą przekształceń elementarnych
doprowadzamy do wykreślenia danego wiersza (kolumny) i przeprowadzamy
obliczenia jak wyżej – mniej możliwych podmacierzy A’, jeżeli:
a.
m
rzA
=
, to układ sprowadzamy do postaci
'
'
'
b
x
A
=
•
i za pomocą wzorów Cramera
obliczamy wartości zmiennych
b.
m
rzA
<
I.
obliczamy rząd macierzy uzupełnionej U postępując jak wyżej
II.
jeżeli
rzU
rzA
=
to układ sprowadzamy do postaci
'
'
'
b
x
A
=
•
i za pomocą wzorów
Cramera obliczamy wartości zmiennych
III.
jeżeli
rzU
rzA
≠
to układ jest sprzeczny
3) Układ m równań z n niewiadomymi
b
x
A
=
•
, przy czym n < m:
I.
obliczamy rząd macierzy A, szukając nieosobliwej podmacierzy A’ (obliczamy
wyznaczniki wszystkich możliwych podmacierzy A’, aż do momentu otrzymania
wartości wyznacznika różnej od zera) lub za pomocą przekształceń elementarnych
doprowadzamy do wykreślenia danego wiersza (kolumny) i przeprowadzamy
obliczenia jak wyżej – mniej możliwych podmacierzy A’
II.
obliczamy rząd macierzy uzupełnionej U postępując jak wyżej; jeżeli:
a.
n
rzU
rzA
=
=
, to układ sprowadzamy do postaci
'
'
b
x
A
=
•
i za pomocą wzorów
Cramera obliczamy wartości zmiennych
b.
n
rzU
rzA
<
=
, to układ sprowadzamy do postaci
'
'
'
b
x
A
=
•
i za pomocą wzorów
Cramera obliczamy wartości zmiennych
c.
rzU
rzA
≠
to układ jest sprzeczny