Egzamin końcowy z analizy matematycznej
WETI, AiR + EiT, 1 sem., r. ak. 2006/2007
1. Obliczyć całki nieoznaczone
a)
Z
1 + cos x
(cos x + sin x + 2) sin
2
x
dx
b)
Z
ln x
x
!
2
dx
2. a) Obliczyć całkę oznaczoną
1
Z
0
dx
4
√
2x + 2 +
√
2x + 2
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych wypro-
wadzić wzór na całkę
R
f
n
(x) · f
0
(x) dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Zbadać zbieżność całki
+∞
Z
−∞
dx
e
x
+ e
−x
4. a) Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX wykresu funkcji
f (x) =
(
2
x
, x ¬ 0
−x
2
+ 1, x > 0
dla x ∈ (−∞, 1]. Wykonać rysunek.
b) Omówić 2 przykłady (inne niż w punkcie a) tego zadania) zastosowań geometrycznych całek
oznaczonych (wykonać rysunki i podać odpowiednie wzory).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
a)
∞
X
n=1
(−1)
n
(n!)
2
3
n
(2n + 1)!
b)
∞
X
n=1
2n
2
− n + sin(n!)
√
n
5
+ 3n
2
− 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
P
n=0
x
n
(n + 1)5
n
oraz znaleźć jego sumę w tym prze-
dziale.
b) Wyznaczyć wartości parametru α, dla których szereg
∞
P
n=1
(−1)
n+1
4
√
n
α
jest zbieżny bezwzględnie.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] Stosując rozwinięcie funkcji e
x
w szereg Maclaurina obliczyć całkę
Z
e
−x
− 1
x
dx
Wynik zostawić w postaci szeregu.