opracował: Radek Kołkowski

Funkcja Blocha

W sieci krystalicznej w każdej komórce elementarnej prawdopodobieństwo przebywania elektronu jest takie
samo – co wynika z periodyczności sieci:

)

(

*

)

(

)

(

*

)

(

r

r

R

r

R

r

ψ

ψ

ψ

ψ

⋅

=

+

⋅

+

Jednak nie możemy na tej podstawie powiedzieć, że:

)

(

)

(

r

R

r

ψ

ψ

=

+

Jak porównać ze sobą

)

(r

ψ

i

)

(

R

r

+

ψ

?

Zadziałajmy na

)

(r

ψ

operatorem translacji

)

(

1

R

T

)

, tzn. przesuwamy się w sieci do innej komórki

elementarnej, zmieniając położenie o wektor

3

3

2

2

1

1

1

a

n

a

n

a

n

R

+

+

=

, gdzie

3

2

1

,

,

a

a

a

to stałe sieciowe,

a

C

n

n

n

∈

3

2

1

,

,

.

Jeśli dwie funkcje mają równe kwadraty, mogą się różnić co najwyżej o czynnik fazowy:

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

R

f

i

e

r

R

r

r

R

T

ψ

ψ

ψ

=

+

=

)

Wykonując ponownie translację o jakiś inny wektor

2

R

otrzymujemy:

)

(

)

(

)

(

2

)

(

2

1

2

2

1

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

R

f

i

R

f

i

R

f

i

R

f

i

e

e

r

e

R

r

e

r

R

T

r

R

T

R

T

ψ

ψ

ψ

ψ

=

+

=

=

)

)

)

Operacja ta jest równoważna przesunięciu o sumę wektorów

1

R

i

2

R

:

)

(

)

(

)

(

1

2

2

1

R

T

R

T

R

R

T

)

)

)

=

+

)

(

2

1

2

1

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

R

R

f

i

e

r

R

R

r

r

R

R

T

+

=

+

+

=

+

ψ

ψ

ψ

)

Wynika stąd, że

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

)

(

)

(

R

R

f

i

R

f

i

R

f

i

e

r

e

e

r

+

=

ψ

ψ

,

a więc

)

(

)

(

)

(

1

2

2

1

R

R

f

R

f

R

f

+

=

+

Jedyną funkcją spełniającą powyższy warunek jest funkcja liniowa:

R

k

R

f

⋅

=

)

(

Tym sposobem dochodzimy do funkcji Blocha, która ma następującą postać:

)

(

)

(

r

u

e

r

k

r

k

i

⋅

=

ψ

, gdzie funkcja

)

(r

u

k

jest periodyczna:

)

(

)

(

r

u

R

r

u

k

k

=

+

| |
funkcja funkcja
wolnozmienna szybkozmnienna

Funkcja Blocha spełnia narzucone warunki:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

R

f

i

R

k

i

k

R

k

i

r

k

i

k

R

r

k

i

e

r

e

r

r

u

e

e

R

r

u

e

R

r

⋅

=

⋅

=

⋅

=

+

⋅

=

+

+

ψ

ψ

ψ