opracował: Radek Kołkowski
Funkcja Blocha
W sieci krystalicznej w każdej komórce elementarnej prawdopodobieństwo przebywania elektronu jest takie
samo – co wynika z periodyczności sieci:
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
r
r
R
r
R
r
ψ
ψ
ψ
ψ
⋅
=
+
⋅
+
Jednak nie możemy na tej podstawie powiedzieć, że:
)
(
)
(
r
R
r
ψ
ψ
=
+
Jak porównać ze sobą
)
(r
ψ
i
)
(
R
r
+
ψ
?
Zadziałajmy na
)
(r
ψ
operatorem translacji
)
(
1
R
T
)
, tzn. przesuwamy się w sieci do innej komórki
elementarnej, zmieniając położenie o wektor
3
3
2
2
1
1
1
a
n
a
n
a
n
R
+
+
=
, gdzie
3
2
1
,
,
a
a
a
to stałe sieciowe,
a
C
n
n
n
∈
3
2
1
,
,
.
Jeśli dwie funkcje mają równe kwadraty, mogą się różnić co najwyżej o czynnik fazowy:
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
R
f
i
e
r
R
r
r
R
T
ψ
ψ
ψ
=
+
=
)
Wykonując ponownie translację o jakiś inny wektor
2
R
otrzymujemy:
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
1
2
2
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
R
f
i
R
f
i
R
f
i
R
f
i
e
e
r
e
R
r
e
r
R
T
r
R
T
R
T
ψ
ψ
ψ
ψ
=
+
=
=
)
)
)
Operacja ta jest równoważna przesunięciu o sumę wektorów
1
R
i
2
R
:
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
R
T
R
T
R
R
T
)
)
)
=
+
)
(
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
R
R
f
i
e
r
R
R
r
r
R
R
T
+
=
+
+
=
+
ψ
ψ
ψ
)
Wynika stąd, że
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
)
(
)
(
R
R
f
i
R
f
i
R
f
i
e
r
e
e
r
+
=
ψ
ψ
,
a więc
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
R
R
f
R
f
R
f
+
=
+
Jedyną funkcją spełniającą powyższy warunek jest funkcja liniowa:
R
k
R
f
⋅
=
)
(
Tym sposobem dochodzimy do funkcji Blocha, która ma następującą postać:
)
(
)
(
r
u
e
r
k
r
k
i
⋅
=
ψ
, gdzie funkcja
)
(r
u
k
jest periodyczna:
)
(
)
(
r
u
R
r
u
k
k
=
+
| |
funkcja funkcja
wolnozmienna szybkozmnienna
Funkcja Blocha spełnia narzucone warunki:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
R
f
i
R
k
i
k
R
k
i
r
k
i
k
R
r
k
i
e
r
e
r
r
u
e
e
R
r
u
e
R
r
⋅
=
⋅
=
⋅
=
+
⋅
=
+
+
ψ
ψ
ψ