Rząd A
Kolokwium z analizy matematycznej nr 1
1.12.2008r.
Zadanie 1. Proszę obliczyć całkę podwójną
RR
D
|y − lnx|dxdy,
gdzie
D = [e
−1
, e] × [0, 2]
Zadanie 2. Proszę obliczyć pole płata z =
√
2
3
(x
2
+ y
2
)
3
4
wyciętego przez walec x
2
+ y
2
− 2x ¬ 0.
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę potrójną
RRR
V
x
2
y
2
(x
2
+y
2
)
2
dxdydz,
gdzie
V = {(x, y, z) ∈ R
3
; x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 4; z
√
3
p
x
2
+ y
2
}
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę krzywoliniową
R
Γ
ye
−x
dl,
gdzie Γ jest krzywą zadaną przez x(t) = ln(1 + t
2
), y(t) = 2arctgt − t + 3, z(t) =
√
3t.
Zadanie 5. Proszę obliczyć całkę krzywoliniową
R
Γ
(e
x
y
2
+ y)dx + (2e
x
y + x)dy,
gdzie Γ jest łamaną (0, 0) → (1, 0) → (1, 2) → (ln2, 3).
Kolokwium z analizy matematycznej nr 2
26.01.2009
Zadanie 1. Proszę uzasadnić, że objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y =
m
p
1 −
n
√
x
dookoła osi x w przedziale [0,1] wyraża się wzorem
V
m,n
=
2mn!Γ(
2
m
)
(mn+2)Γ(n+
2
m
)
Wykorzystując ten wzór proszę obliczyć V
1,4
. Podać dokładny wynik.
Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną
RR
S
zdS,
gdzie S jest częścią powierzchni z = 1 + x
2
+ y
2
, odciętą płaszczyzną z = 3.
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną
RR
Σ
xdydz − ydzdx + zdxdy,
gdzie Σ jest powierzchnią zadaną parametrycznie
Σ =
x = cosϕ − tsinϕ
y = sinϕ + t cos ϕ
z = t,
n
0 ¬ ϕ ¬ 2π
0 ¬ t ¬ 1,
zorientowaną na zewnątrz. Pytanie bonusowe: Co to za powierzchnia?
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną
RR
Σ
(
1
3
x
3
+ y
2
+ z
2
)dydz + (3y −
1
4
x
2
y + xz)dzdx + (z −
3
4
x
2
z + xy)dxdy.
gdzie Σ-dolna strona dolnej półsfery z = −
p
a
2
− x
2
− y
2
(a 0)
1
Zadanie 5 Wykorzystując twierdzenie Stokesa, proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną
H
K
zdx + xdy + ydz,
gdzie K jest łamaną A → B → C → A, A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1).
Zadanie 6 Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = |x| na przedziale [−π, π], a następnie
wykorzystując równość Parsevala udowodnić, że
P
∞
n=1
1
(2n−4)
4
=
π
4
96
(* Należało wybrać tylko pięć zadań)
Rząd A
Egzamin z analizy matematycznej
3.02.2009r.
Zadanie 1. a) Proszę sformułować twierdzenie Greena, a następnie sprawdzić, czy można zastosować
to twierdzenie do policzenia poniższej całki:
H
K
y
x
2
+y
2
dx −
x
x
2
+y
2
dy,
gdzie K jest okręgiem x
2
+ y
2
= 2 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
b) Proszę obliczyć tę całkę.
Zadanie 2. a) Proszę podać warunki Dirichleta (warunki wystarczające aby funkcja f była rozwijalna w szereg Fouriera)
b) Rozwinąć funkcję f : [0, π] → R daną wzorem f (x) =
1
2
x w szereg sinusów.
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę
H
K
(e
x
+ y + z
2
)dx + (−z +
1
2
z
2
+ cosy + x)dy + (yz + z
2
+ 2xz)dz,
gdzie K jest okręgiem {x
2
+ y
2
= R
2
, z = 0} zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę
1
R
0
dx
R
1
x
e
y 2
dy
Zadanie 5. Proszę obliczyć objętość części wspólnej kuli x
2
+ y
2
+ z
2
¬ 9 oraz walca x
2
+ (y −
3
2
)
2
¬
9
4
Rząd A
Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej
16.02.2009r.
Zadanie 1. a) Proszę sformułować twierdzenie Greena, a następnie sprawdzić, czy można zastosować
to twierdzenie do policzenia poniższej całki:
H
K
y
x
2
+y
2
dx −
x
x
2
+y
2
dy,
gdzie K jest okręgiem x
2
+ y
2
= 2 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
b) Proszę obliczyć tę całkę.
Zadanie 2. a) Proszę podać warunki Dirichleta (warunki wystarczające aby funkcja f była rozwijalna w szereg Fouriera)
b) Rozwinąć funkcję
f : [−π, π] → R
daną wzorem
f (x) = x + 1
w szereg sinusów.
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę
H
K
(e
x
+ y + z
2
)dx + (−z +
1
2
z
2
+ cosy + x)dy + (yz + z
2
+ 2xz)dz,
2
gdzie K jest okręgiem {x
2
+ y
2
= R
2
,
x = 0
} zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę
1
R
0
dx
R
1
x
e
y 2
dy
Zadanie 5. Proszę obliczyć objętość bryły ograniczonej przez powierzchnie:
x
2
+ y
2
= 1, x + z = 4, 2x − z = 4
.
Kolokwium z analizy matematycznej (W.Uss lub R.Krawczyk)
18.12.2009
Zadanie 1. Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej
∞
R
0
cos
4
x
x
2
+
√
x
dx.
Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę podwójną
RR
D
(1 +
y
x
)
2
dxdy,
gdzie D jest obszarem ograniczonym prostymi y = x, y = 3x, x + y = 1, x + y = 4.
Zadanie 3. Proszę obliczyć całkę potrójną
RRR
V
((arcctg
x
y
)
2
+ y
2
z)dxdydz,
gdzie V = {(x, y, x) ∈ R
3
;
√
3
3
p
x
2
+ y
2
¬ z ¬
p
R
2
− x
2
− y
2
; x, y 0}.
Zadanie 4 Proszę obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną
R
Γ
yzdl,
jeżeli krzywa Γ ma parametryzację x(t) = e
t
, y(t) = e
−t
, z(t) =
√
2t, t ∈ [0, ln2].
Zadanie 5 Proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną
H
Γ
−ydx + x
2
dy,
gdzie Γ jest okręgiem x
2
+ (y − 2)
2
= 4, zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Zadanie 6. Proszę obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną
RR
S
√
1 + x + ydS,
gdzie S jest płatem powierzchniowym z =
2
3
√
x
3
+
2
3
p
y
3
dla 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ x − 1.
(* Należało wybrać tylko pięć zadań)
Kolokwium z analizy matematycznej (dr G.Graff )
Zadanie 1. Obliczyć długość krzywej: x(t) = e
t
cost, y(t) = e
−t
sin(t), z(t) = e
(
− t), t ∈ [0, +∞]
Zadanie 2. Objętość kuli x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 (nie wiem czy dokładnie takiej; możliwe, że była przesunięta)
za pomocą współrzędnych sferycznych.
Zadanie 3. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi: xy = 1, xy = 2, y = 5x, y = 8x.
Zadanie 4. Oblicz całkę krzywoliniową
R
K
(x + y)dx + y
2
dy,
gdzie K jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach: A = (−1, −1), B = (1, −1), C = (1, 1), D(−1, 1).
Oblicz ją wykorzystując twierdzenie Greena, a następnie sprawdź wynik obliczając tę całkę bezpośrednio.
3
Kolokwium z analizy matematycznej (K.Wroński)
Zadanie 1.(2pkt) Zmienić kolejność całkowania w całce podwójnej
1
R
0
dx
R
1−x
√
1−x
2
f (x, y)dy
Zadanie 2.(4pkt) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
= xyz
i zawartej w pierwszej ósemce układu współrzędnych.
Zadanie 3.(3pkt) Obliczyć długość krzywej opisanej równaniami: x(t) = t, y(t) = cost, z(t) = sint, t ∈ [0; 3π]
Zadanie 4.(4pkt) Sformułować twierdzenie Greena, uzasadnić, że można je zastosować do obliczenia całki:
R
L
x
3
dx + xy
2
dy,
gdzie L jest krzywą złożoną z odcinka prostej y = x od (1, 1) do (0, 0) i odcinka krzywej y
2
= x
3
od (0, 0) do (1, 1).
Tą metodą obliczyć daną całkę.
Zadanie 5.(2pkt) Sprawdzić, że dla całki
R
(2,1)
(2,0)
(y − 1)e
y
dx + xye
y
dy
można zastosować metodę różniczki zupełnej i obliczyć ją tą metodą.
Kolokwium z analizy matematycznej (M.Styborski)
Zadanie 1. Korzystając z kryterium porównawczego proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej:
∞
R
2
x−1
x
4
+x+1
dx.
Zadanie 2. Proszę wykazać, że pole obszaru
∆ = {(r, ϕ) : 0 ¬ r ¬ r(ϕ), ϕ
1
¬ ϕ ¬ ϕ
2
}
opisanego we współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem:
|∆| =
1
2
ϕ
2
R
ϕ
1
r
2
(ϕ)dϕ.
Korzystając z tego wzoru proszę policzyć pole wycinka koła wyciętego promieniami
π
3
oraz
7π
3
.
Zadanie 3. Proszę wykazać, że pole obszaru D ograniczonego krzywą dodatnio zorientowaną Γ można wyrazić wzorem:
|D| =
1
2
H
Γ
(y
2
− 2y)dx + 2xydy
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę
R
γ
f (x, y), gdzie f (x, y) = (3x
2
+ y
2
+ 2x)dx + (2xy − 4y + 1)dy,
a γ: x(t) = 2t, y(t) = tsint,
π
2
¬ t ¬ π.
Zadanie 5. Korzystając z twierdzenia Gaussa – Ostrogradskiego proszę policzyć całkę
RR
Σ
(x − y)dydz + (y − z)dzdx + (z − x)dxdy,
gdzie Σ jest zewnętrzną stroną stożka x
2
+ y
2
¬ z
2
, 0 ¬ z ¬ H.
4
Egzamin z analizy matematycznej
3.02.2010r.
Zadanie 1. Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej
∞
R
0
cos
2
x
x
2
+
√
x
dx.
Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę potrójna
RRR
V
x
2
z
2
dxdydz,
gdzie V = {(x, y, z) ∈ R
3
;
p
x
2
+ y
2
¬ z ¬
p
R
2
− x
2
− y
2
}.
Zadanie 3. a) Proszę sformułować twierdzenie Greena.
b) W oparciu o powyższe twierdzenie proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną
H
Γ
xydx + dy,
gdzie Γ jest okręgiem (x − 1)
2
+ y
2
= 1 zorientowanym dodatnio.
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną
RR
S
(x + y + z)dS,
gdzie S jest płaszczyzna 3x + 2y + z − 6 = 0 położoną w I oktancie układu współrzędnych.
Zadanie 5. a) Niech ~
F : R
3
→ R
3
będzie polem wektorowym klasy C
2
.
Proszę udowodnić tożsamość div(rot ~
F )=0.
b) Niech µ : F → [0, ∞] będzie miarą określoną na σ-ciele zbiorów F.
Proszę udowodnić wykorzystując definicję miary, że
∀
A,B∈F
A ⊂ B ⇒ µ(A) ¬ µ(B).
Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej
17.02.2010r.
Zadanie 1. Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej
∞
R
0
1
x
3
+
3
√
x
dx.
Zadanie 2. Proszę obliczyć całkę potrójna
RRR
V
(x
2
+ y
2
)dxdydz,
gdzie V = {(x, y, z) ∈ R
3
;
√
3
3
p
x
2
+ y
2
¬ z ¬
p
1 − x
2
− y
2
}.
Zadanie 3. a) Proszę sformułować twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania na płaszczyźnie.
b) Proszę obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną
H
Γ
(3x
2
y
2
− y)dx + (2x
3
y − x + 1)dy,
gdzie Γ we współrzędnych biegunowych określona jest wzorem Γ = {(r, ϕ); r =
√
2, ϕ ∈ [
π
2
,
9π
4
]}.
5
Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną
RR
Σ
x
3
dydz + ydzdx + zdxdy,
gdzie Σ jest górną stroną płata z = y
2
, dla −1 ¬ x ¬ 1, 0, ¬ y ¬ 1.
Zadanie 5. a) Niech f : R
3
→ R
3
będzie funkcją klasy C
2
.
Proszę udowodnić tożsamość rot(grad f)=~0.
b) Proszę obliczyć całkę Lebesguea
R
[0,1]
f dλ,
gdzie f jest funkcja Dirichleta określoną wzorem
Σ =
1 dla x ∈ Q ∩ [0, 1]
0 dla x ∈ IQ ∩ [0, 1]
.
Rząd A
Kolokwium z analizy matematycznej (W.Uss)
8.12.2010r.
Zadanie 1. Obliczyć całkę niewłaściwą
s
D
1
√
x
2
+y
2
dxdy
w obszarze D = {(x, y) ∈ R
2
: 0 < x
2
+ y
2
< 4, y > 0}.
Zadanie 2. Oblicz objętość obszaru przestrzennego V ⊂ R
3
ograniczonego powierzchniami
x
2
+ y
2
= 1, x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 i zawierającego punkt (0, 0, 0).
Zadanie 3. Oblicz długość łuku γ : x = 3t, y = 3t
2
, z = 2t
3
, gdzie 0 ¬ t ¬ 1.
Zadanie 4. Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F (x, y) = (y
2
, −x
2
) po okręgu γ : (x − 1)
2
+ y
2
= 1.
Zadanie 5. Sprawdzić, że całkę krzywoliniową
(2,2,
3π
2
)
R
(1,1,
π
2
)
y sin zdx + x sin zdy + xy cos zdz
nie zależy od kształtu krzywej całkowania i obliczyć ją.
Rząd B
Kolokwium z analizy matematycznej (W.Uss)
8.12.2010r.
Zadanie 1. Obliczyć całkę niewłaściwą
s
D
e
−(x
2
+y
2
)
dxdy
w obszarze D = {(x, y) ∈ R
2
: y > 0}.
Zadanie 2. Oblicz objętość obszaru przestrzennego V ⊂ R
3
ograniczonego powierzchniami
x
2
+ y
2
= 4, x
2
+ y
2
+ z
2
= 9 i zawierającego punkt (0, 0, 0).
Zadanie 3. Oblicz masę łuku γ : y = ln x, gdzie 1 ¬ x ¬ e, o gęstości liniowej masy ρ(x, y) = x
2
.
Zadanie 4. Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F (x, y) = (−y
2
, x
2
) po okręgu γ : x
2
+ (y − 1)
2
= 1.
Zadanie 5. Sprawdzić, że całkę krzywoliniową
(2,
3π
2
,2)
R
(1,
π
2
,1)
z sin ydx + xz cos ydy + x sin ydz
nie zależy od kształtu krzywej całkowania i obliczyć ją.
6
Egzamin z analizy matematycznej
24.01.2011r.
Zadanie 1. Proszę obliczyć objętość bryły
V = {(x, y, z) ∈ R
3
;
p
1 − x
2
− y
2
¬ z ¬
p
9 − x
2
− y
2
,
p
x
2
+ y
2
¬ z ¬
√
3 ·
p
x
2
+ y
2
, 0 ¬ y ¬ x}.
Zadanie 2. Niech ~
F : R
3
→ R
3
będzie polem wektorowym klasy C
2
.
Proszę udowodnić tożsamość rot(grad f)=0 oraz div(rot ~
F )=0.
Zadanie 3. Oblicz masę łuku γ ⊂ R
3
leżącego na przecięciu powierzchni walcowej x
2
+ y
2
= 4 z paraboloidą
z = 1 − x
2
− y
2
, mającego gęstość liniową masy równą ρ(x, y, z) = e
x
2
+y
2
+5
.
Zadanie 4.
a) Proszę podać treść twierdzenia Stokesa.
b) Stosując twierdzenie Stokesa proszę obliczyć całkę:
R
K
ydx + z
2
dy + x
3
dz,
gdzie K jest dodatnio zorientowaną krzywą będącą przecięciem płaszczyzny z = 1 − 2x + 3y z walcem x
2
+ y
2
= 2y.
Zadanie 5. Niech f : [−π, π] → R będzie dana wzorem:
f (x) =
1 dla x ∈ [−π, 0)
x dla x ∈ [0, π]
.
Proszę napisać szereg Fouriera funkcji f oraz ustalić w jakich punktach przedziału [−π, π] szereg ten jest
zbieżny do wartości funkcji f.
Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej
7.02.2011r.
Zadanie 1. Proszę obliczyć całkę podwójną
RR
D
xdxdy,
gdzie D jest obszarem ograniczonym przez krzywe y = 1, y = x
2
, y =
8
x
.
Zadanie 2. Niech f,g: R
3
→ R będą funkcjami klasy C
2
. Uzasadnić równości:
a) rot(gradf )=0 oraz grad(f · g)=g· gradf + f ·grad g.
Zadanie 3. Oblicz masę łuku γ ⊂ R
3
leżącego na przecięciu powierzchni walcowej x
2
+ y
2
= 4 z paraboloidą
z = x
2
+ y
2
+ 7, mającego gęstość liniową masy równą ρ(x, y, z) =
p
x
2
+ y
2
+ 5.
Zadanie 4.
a) Proszę sformułować twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego.
b) Korzystając z powyższego twierdzenia proszę obliczyć całkę:
RR
Σ
xdydz + ydzdx + (
1
2
z
2
+ z)dxdy,
gdzie Σ jest zorientowaną na zewnątrz powierzchnią całkowitą stożka −4 ¬ z ¬ −
px
2
+ (y − 2)
2
.
Zadanie 5. Niech f : [−π, π] → R będzie dana wzorem:
f (x) =
1 dla x ∈ [−π, 0]
−1 dla x ∈ (0, π]
.
Proszę napisać szereg Fouriera funkcji f oraz ustalić w jakich punktach przedziału [−π, π] szereg ten jest
zbieżny do wartości funkcji f.
7