12_WMiMB_w4

wmimb2011@gmail.com

hasło: 2011wmimb

Wydz. In

ynierii

rodowiska

Politechniki Warszawskiej

WYTRZYMAŁO

ŚĆ

MATERIAŁÓW I MECHANIKA BUDOWLI

Wykład 4

zy nieidealne, tarcie

1. Tarcie po

lizgowe - definicja, podział, prawa tarcia, modele tarcia

2. Tarcie toczne - definicja, podział, prawa tarcia

3. Analiza stanu równowagi granicznej układów z tarciem

Opracowanie : dr in

. Szymon Imiełowski

prof. Zbigniew Kowalewski

W przypadku gdy wi

zy nie s

powierzchniami idealnie gładkimi (wi

zy nieidealne), z wi

zami

stowarzyszona jest składowa styczna siły reakcji - siła tarcia.

Podstawowe przypadki tarcia

- tarcie po

lizgowe

- tarcie toczne
- tarcie ci

giem o kr

ąż

≠

zy nieidealne, tarcie

- składowa normalna siły nacisku równa sile reakcji w przypadku wi

zów idealnych

- siła tarcia po

lizgowego, jest opisana wektorem stycznym do powierzchni wi

zów

- wypadkowa sił czynnych

- wypadkowa sił reakcji

- ci

ęż

- siła zewn

trzna









−

∑

(*)

∑

−

Tarcie Po

lizgowe

•

Tarcie suche:

wyst

puje w przypadku, gdy powierzchnie tr

ce stykaj

ze sob

bez po

rednictwa

rozdzielaj

cej jej warstwy smarów

•

Tarcie płynne:

wyst

puje w przypadku, gdy pomi

dzy stykaj

cymi si

ciałami znajduje si

warstwa smaru

(ciecz)

•

Tarcie półpłynne:

jest przypadkiem po

rednim mi

dzy wy

ej wymienionymi typami tarcia po

lizgowego

Typy tarcia po

lizgowego

Podział tarcia po

lizgowego ze wzgl

du na mo

liwo

ść

ruchu ciał

1. Tarcie statyczne

– ciało pozostaje w spoczynku

●

siła tarcia statycznego równowa

y składow

styczn

obci

ąż

enia,

przeciwdziała mo

liwemu ruchowi ciała;

●

jej zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora mo

liwego przesuni

cia;

●

jej warto

ść

i warto

ść

graniczna zale

żą

od aktualnej warto

ci obci

ąż

enia i rodzaju podło

- jest wyznaczanym do

wiadczalnie

współczynnikiem tarcia statycznego

2. Tarcie kinetyczne

– ciało porusza si

●

siła tarcia przyjmuje stała warto

ść

równ

- jest wyznaczalnym do

wiadczalnie

współczynnikiem tarcia kinetycznego

●

zwrot wektora siły tarcia kinetycznego jest przeciwnym do zwrotu wektora pr

dko

Analiza zachowania ciała przy wzrastaj

cej warto

ci siły zewn

trznej F

≤

Zało

enie:

Warto

ci współczynników tarcia f

i f

zale

żą

tylko od rodzaju powierzchni tn

cych

nie zale

żą

od:

warto

ci siły nacisku

;

wielko

ci powierzchni tr

cych;

dko

ci po

lizgu;

1. Wi

zy punktowe

a) Siła tarcia statycznego

równanie jest równie

warunkiem stanu równowagi (spoczynku) ciała

b) Siła tarcia kinetycznego wyst

puje podczas ruchu ciała

gdzie: f

, f

– współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego, N – siła nacisku

2. Wi

zy ci

głe (powierzchniowe lub liniowe)

- Siły tarcia s

siłami ci

głymi o intensywno

ci t.

- Prawa tarcia maj

posta

tarcie statyczne
tarcie kinetyczne

gdzie:

– intesywno

ść

sto

ść

) sił nacisku [ N / m ]

- intesywno

ść

sto

ść

) sił tarcia [ N / m ]

≤

Prawa tarcia

- okre

laj

warto

ść

siły tarcia statycznego i kinetycznego

⇒









- Miejscem geometrycznym poło

reakcji R w granicznym poło

eniu równowagi jest pole powierzchni

bocznej sto

ka zwanego sto

kiem tarcia,

- W przypadku gdy reakcja R znajduje si

wewn

trz sto

ka tarcia mamy zachowany stan równowagi,

- Gdy natomiast reakcja R le

y na powierzchni bocznej sto

ka tarcia otrzymujemy graniczny przypadek

równowagi.

Przypadek rozwini

tej siły tarcia

N i T s

składowymi siły R,

wypadkowej siły tarcia

1. Stała warto

ść

współczynnika tarcia - w przypadku, gdy ciała s

nieruchome (tarcie statyczne)

oraz w ruchu przypadek a) i b)

2. Współczynnik tarcia zmienia si

i zale

y od pr

dko

ci wzgl

dnego przemieszczenia si

ciał,

gdy ciała przesuwaj

wzgl

dem siebie (tarcie kinetyczne) – przypadek c)

Modele tarcia po

lizgowego

•

przy modelu idealnie sztywnego podlo

a nie jest spełnione równanie równowagi:

•

dlatego w analizie uwzgl

dnia si

odkształcalno

ść

podło

a poprzez przesuni

cie wektora

siły reakcji o odcinek „k”

•

długo

ść

odcinka k [m] jest nazywana współczynnikiem tarcia tocznego

Siła tarcia tocznego

wyst

puje podczas toczenia bryły po powierzchni (bryle)

•

Wektor siły jest równoległy do wektora pr

dko

ci, zwrot przeciwny

•

powoduje odchylenie od kierunku prostopadłego wektora reakcji

≠

−

∑

Tarcie toczne

–

siły tarcia tocznego – analiza styczna (spoczynek)

•

zwi

kszenie obci

ąż

enia powoduje zwi

kszenie warto

ci siły tarcia

•

koło pozostaje w spoczynku dopóki

•

mimo

ród przyło

enia siły AA’ wzrasta, a

osi

gnie wielko

ść

graniczn

[m]

–

siły tarcia tocznego – analiza kinematyczna (toczenie)

•

warto

ść

siły tarcia

i współczynnika tarcia

stałe

Tarcie toczne

−

∑

Opór toczenia jest wprost proporcjonalny do współczynnika tarcia k oraz odwrotnie proporcjonalny

do promienia koła r .

Uwaga: Analogicznie rozwa

ania mo

na prowadzi

w przypadku

obci

ąż

enia momentem skupionym

(momentem nap

dowym M) zaczepionym w

rodku koła

Tarcie toczne

Uwaga 1.

Siła tarcia po

lizgowego jako składowa reakcji wewn

trznej

Przypadki szczególne tarcia

liwo

ść

ruchu kr

ąż

ka powoduje,

e w miejscu kontaktu powstaje

składowa styczna reakcji wewn

trznej – siła tarcia

Stan równowagi granicznej rozumiemy jako stan przej

cia z poło

enia równowagi do stanu

ruchu mo

e by

osi

gni

ty wskutek:

osi

gni

cie przez siły tarcia warto

ci granicznej

(warunek statyczny)

utrat

stateczno

(warunek geometryczny)

gdy pion wyprowadzimy ze

rodka ci

ęż

ci bryły sztywnej wychodzi poza pole

powierzchni podstawy

sin

Uwaga 2.

≤

Przypadki szczególne tarcia

2 niewiadome statyczne: - ?

Uwaga 3.

W zadaniach statystyki, w których uwzgl

dniono siły tarcia, stan równowagi jest mo

liwy gdy

siły tarcia T

≤

- układ jest stacjonarny (nie ma mo

liwo

ci ruchu) . Jest to mo

liwe gdy

a) obci

ąż

enie Q nie przekracza warto

ci granicznej

min

< Q < Q

max

b) nachylenie równi pochyłej

nie przekracza warto

ci granicznej

min

max

(w ogólnym przypadku

jest parametrem geometrycznym opisuj

cym poło

enie układu)

Etap 1.

Poło

enie równowagi gdy T = Qsin

< T

→

2 r.r.

= LNS – LRR = 2 – 2 = 0 .

Etap 2.

Stan graniczny dla Q = Q

oraz T = Qsin

= T

. Nale

uwzgl

dni

dodatkowe równanie, prawo tarcia (PT). Gdy T > T

ęż

arek zsuwa si

po równi (układ geometrycznie zmienny)

2 r.r. + prawo tarcia

= LNS – (LRR+PT) = 2 – (2+1) = -1 .

Przypadki szczególne tarcia

Aby rozwi

zadanie do niewiadomych statycznych nale

doda

1 parametr geometryczny (LNG) k

wtedy :

= (LNS+LNG) – (LRR+PT) = (2+1) - 3 = 0 .

Ad a)

obci

ąż

enie Q wzrasta od zera ale nie przekracza warto

ci granicznej 0 < Q < Q

max

Siły tarcia wyst

puj

w punktach A i B : T

i T

B .

Etap 1.

Poło

enie równowagi gdy obydwie siły tarcia

T < T

→

3 r.r (płaski dowolny uklad sił),

= LNS – LRR = 4 – 3 = 1 ,

układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.

Etap 2.

Jedna z sił tarcia osi

gnie warto

ść

graniczn

= T

lub T

= T

. Nale

y uwzgl

dni

jedno dodatkowe równanie,

prawo tarcia (PT), wtedy układ jest statycznie wyznaczalny

= LNS – (LRR+PT) = 4 – (3+1) = 0 .

Przypadki szczególne tarcia

4 niewiadome statyczne:

- ?

Ad b)

αααα

wzrasta ale nie przekracza warto

ci granicznej O

≤

αααα

≤

αααα

Etap 3.

Obydwie siły tarcia osi

warto

ść

graniczn

dla

. Nale

y uwzgl

dni

dwa

dodatkowe równania prawa tarcia. Dla

t zsuwa si

(układ geometrycznie zmienny)

3 r.r + 2 prawa tarcia S

= LNS – (LRR+PT) = 4 - ( 3 + 2) = -1 .

Aby rozwi

zadanie do niewiadomych nale

y doda

1 parametr geometryczny k

wtedy :

= (LNS+LNG) – (LRR+PT) = (4+1) - (3+2) = 0 .

Wniosek :

Przy okre

laniu stopnia statycznej niewyznaczalno

ci równanie prawa tarcia mo

uwzgl

dnione jako dodatkowe równanie równowagi w przypadku

- zada

statyki przy okre

laniu stanu granicznego równowagi

- zada

dynamiki przy uwzgl

dnieniu rozwini

tej siły tarcia kinetycznego

Przypadki szczególne tarcia