Kolokwium IA
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
26 listopada 2008 r.
1A.
• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyźnie
{z ∈ C : 0 ¬ Im(iz) < 1, 0 ¬ arg(¯z) ¬ π/2}.
• (2 pkt.) Rozwiąż równanie z
2
+ i − 1 = 0.
• (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w = i
−
√
3. Wyznacz związek
między argumentami liczb z oraz zw. Z jakiego twierdzenia wynika ta odpowiedź? Zaznacz na
płaszczyźnie w, ¯
w, iw.
2A.
(a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x − a)(x − b), gdzie a i b są rzeczywiste. Jak wyznaczyć współczynniki
reszty z dzielenia dowolnego wielomianu w(x) przez wielomian u(x) bez wykonywania dzielenia
wielmianów?
(b) (2 pkt.) Niech a 6= 0. Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną 1/(x−a)
2
? Po-
daj układ równań liniowych, z którego można wyznaczyć współczynniki tych ułamki prostych.
Nie wyznaczaj ułamków prostych.
3A.
Niech
A
n
=
1
1
1
· · ·
1
1
2
1
· · ·
1
1
1
3
· · ·
1
· · · · · · · · · · · · · · ·
1
1
1
· · ·
n
będzie macierzą stopnia n.
(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego
det(A
n
) = 1 · 2 · 3 · · · · (n − 1), czyli det(A
n
) = (n − 1)!.
(b) (2 pkt.) Sprawdź, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 4.
4A.
(5 pkt.) Oblicz trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do
A =
3
1
1
0
2
3
0 −3 3
na dwa sposoby: za pomocą dopełnień algebraicznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu
równań liniowych? Jakiego?
5A.
Niech
A =
"
1 1
0 1
#
.
(a) (3 pkt.) Oblicz A
2
, A
3
, A
4
i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się A
n
dla dowolnej
liczby naturalnej n.
(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A
−1
)
n
?
(1 pkt.) Podaj jakąś własność macierzy odwrotnych.
Kolokwium IB
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
26 listopada 2008 r.
1B.
• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyźnie
{z ∈ C : Re(z + i) = 2, 0 ¬ arg(i¯z) ¬ π/2}.
• (2 pkt.) Rozwiąż równanie z
2
− i − 1 = 0.
• (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w = i
−
√
3. Wyznacz związek między
argumentami liczb z oraz z/w. Z jakiej własności liczb zespolonych wynika ta odpowiedź?
Zaznacz na płaszczyźnie w, ¯
w, iw.
2B.
(a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x − i)(x − 1 + i). Podaj wielomian rzeczywisty w(x) możliwie niskiego
stopnia taki, że wielomian u(x) dzieli go bez reszty.
(b) (2 pkt.) Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną x/(x
2
+ 1)
2
? Podaj układ
równań liniowych, z którego będzie można wyznaczyć współczynniki tych ułamków prostych.
Nie wyznaczaj ułamków prostych.
3B.
Niech
A
n
+1
=
1
a
1
a
2
· · ·
a
n
1
a
1
+ b
1
a
2
· · ·
a
n
1
a
1
a
2
+ b
2
· · ·
a
n
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1
a
1
a
2
· · · a
n
+ b
n
będzie macierzą stopnia n + 1.
(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego
det(A
n
+1
) = b
1
· b
2
· b
3
· · · · b
n
.
(b) (2 pkt.) Sprawdź, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 3.
4B.
(5 pkt.) Oblicz trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do
A =
3 1 1
1 2 3
0 0 3
na dwa sposoby: za pomocą dopełnień algebraicznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu
równań liniowych? Jakiego?
5B.
Niech
A =
"
a 1
0 a
#
,
gdzie a 6= 0.
(a) (3 pkt.) Oblicz A
2
, A
3
, A
4
i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się A
n
dla dowolnej
liczby naturalnej n.
(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A
−1
)
n
?
(1 pkt.) Podaj definicję macierzy odwrotnej.
Kolokwium IC
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
26 listopada 2008 r.
1C.
• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyźnie
{z ∈
C
: Im(¯
z + 1) = 3, 0 ¬ arg(−iz) ¬ π/2}.
• (2 pkt.) Rozwiąż równanie z
2
+ i + 1 = 0.
• (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w =
√
3 + i. Podaj związek między ar-
gumentami liczb z = zw. Z jakiego twierdzenia wynika ta odpowiedź? Zaznacz na płaszczyźnie
w, ¯
w, iw.
2C.
(a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x + 1 − i)(x + 2i). Jak wybrać możliwie niskiego stopnia wielomian
v(x), żeby wielomian w(x) = u(x)v(x) miał wszystkie współczynniki rzeczywiste?
(b) (2 pkt.) Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną x/(x
2
− x + 3)
2
? Podaj
układ równań liniowych, z którego można wyznaczyć współczynniki tych ułamków prostych.
Nie wyznaczaj ułamków prostych.
3C.
Niech
A
n
+1
=
−a
1
a
1
0
· · ·
0
0
0
−a
2
a
2
· · ·
0
0
0
0
−a
3
· · ·
0
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
0
· · · −a
n
a
n
1
1
1
· · ·
1
1
będzie macierzą stopnia n + 1.
(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego
det(A
n
+1
) = (−1)
n
(n + 1)a
1
· a
2
· a
3
· · · · a
n
.
(b) (2 pkt.) Sprawdź, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 3.
4C.
(5 pkt.) Oblicz trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do
A =
3 1 1
4 2 3
0 0 3
na dwa sposoby: za pomocą dopełnień algebraicznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu
równań liniowych? Jakiego?
5C.
Niech
A =
"
2 2
0 2
#
.
(a) (3 pkt.) Oblicz A
2
, A
3
, A
4
i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się A
n
dla dowolnej
liczby naturalnej.
(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A
−1
)
n
?
( 1 pkt.) Podaj jakąś własność macierzy odwrotnych.
Kolokwium ID
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
26 listopada 2008 r.
1D.
• (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyźnie
{z ∈ C : 0 ¬ Im(¯z − 1) ¬ 2, 0 ¬ arg(−iz) ¬ π/2}.
• (2 pkt.) Rozwiąż równanie z
2
− i + 1 = 0.
• (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w =
−
√
3i + 1. Wyznacz związek
między argumentami liczb z i z/w. Z jakiej własności liczb zespolonych wynika ta odpowiedź?
Zaznacz na płaszczyźnie w, ¯
w, iw.
2D.
(a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x − i + 1)(x − i). Podaj wielomian rzeczywisty w(x) możliwie niskiego
stopnia taki, że wielomian u(x) dzieli go bez reszty.
(b) (2 pkt.) Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną x/(x
2
− 4)? Podaj układ
równań liniowych, z którego można wyznaczyć współczynniki tych ułamków prostych. Nie
wyznaczaj ułamków prostych.
3D.
Niech
A
n
+1
=
1
a
1
a
2
· · ·
a
n
1
a
1
+ b
a
2
· · ·
a
n
1
a
1
a
2
+ b · · ·
a
n
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
1
a
1
a
2
· · · a
n
+ b
będzie macierzą stopnia n + 1.
(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego
det(A
n
+1
) = b
n
.
(b) (2 pkt.) Sprawdź, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 3.
4D.
(5 pkt.) Niech
A =
3 0 0
0 2 1
0 3 3
.
Oblicz trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do A na dwa sposoby: za pomoca dopełnień algebra-
icznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu równań liniowych.
5D.
Niech
A =
"
a 1
0 a
#
.
(a) (3 pkt.) Oblicz A
2
, A
3
, A
4
i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się A
n
dla dowolnej
liczby naturalnej.
(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A
−1
)
n
?
(1 pkt.) Podaj definicję macierzy odwrotnej.