Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 6
1
Zadanie 1 Obliczyć całki:
a)
π
2
Z
0
(cos t + 2ti) dt
b)
π
2
Z
0
(t
2
+ i sin t) dt
c)
1
Z
−1
(1 − e
t
i) dt
d)
2
Z
0
[1 + (1 + i)t
2
]dt
e)
π
Z
0
te
2it
dt
f)
2π
Z
0
e
it
dt
Zadanie 2 Naszkicować na płaszczyźnie krzywe o podanych równaniach:
a) z(t) = t +
i
t
b) z(t) = 1 + i + (2 − i)t, t ∈ [0, 1]
c) z(t) = 2 + i + 3e
it
, t ∈ [0, π]
d) z(t) = t + it
2
, t ∈ [0, ∞]
Zadanie 3 Napisać równania parametryczne podanych krzywych:
a) prostej przechodzącej przez punkty z
1
= 2i, z
2
= 1 − i
b) odcinka łączącego punkty z
1
= 2 + i, z
2
= −1
c) okręgu o środku z
0
= 2 − i i promieniu r = 1
d) części paraboli y = x
2
zawartej między punktami z
1
= 1 + i, z
2
=
√
3 + 3i
e) hiperboli y =
1
x
Zadanie 4 Obliczyć całki po zadanych krzywych:
a)
Z
C
Rez · Imz dz, C − odcinek o początku 0 i końcu 2 + i
b)
Z
C
|z| dz, C − lewy półokrąg łączący punkt −i z punktem i
c)
Z
C
¯
ze
Rez
dz, C − łamana o wierzchołkach kolejno 0, i, 1 + i
d)
Z
C
(z − ¯
z) dz, C − łuk paraboli y = x
2
o początku 1 + i i końcu 0
e)
Z
C
|z|¯
z dz, C − półokrąg |z| = 2, Rez 0 o początku 2i i końcu −2i
f)
Z
C
(3z + 1)¯
z dz, C − półokrąg {z ∈ C : |z| = 1, Rez 0} o początku −i i końcu i
g)
Z
C
¯
zRe(z
2
) dz, C − ćwiartka okręgu {z ∈ C : |z| = 2, Rez 0, Imz 0} o początku 2i i końcu 2
h)
Z
C
z
¯
z
dz, C − brzeg półpierścienia {z ∈ C : 1 ¬ |z| ¬ 2, Imz 0} zorientowany dodatnio
Odpowiedzi: 1. a) 1 +
π
2
4
i, b)
π
3
24
+ i, c) 2 − i
e −
1
e
, d)
14
3
+
8
3
i, e) −
π
2
i, f ) 0; 3. a) z(t) =
2i + (1 − 3i)t, t ∈ R, b) z(t) = 2 + i + (−3 − i)t, t ∈ [0, 1], c) z(t) = 2 − i + e
it
, t ∈ [0, 2π], d)
