POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY

KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I NAPĘDÓW

ELEKTRYCZNYCH

Instrukcje do zajęć laboratoryjnych dla studentów

WYDZIAŁU MECHANICZNEGO

studiów dziennych i zaocznych

z przedmiotów:

ELEKTROTECHNIKA

ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ĆWICZENIE 11M

ELEMENTY TECHNIKI CYFROWEJ

Opracował

dr inż. Marian Dubowski

BIAŁYSTOK 2000

2

Instrukcja jest własnością Katedry Energoelektroniki i Napędów Elektrycznych.

Do użytku wewnętrznego katedry.

Powielanie i rozpowszechnianie zabronione

Redakcja: dr inż. Zofia Daszuta
Opracowanie graficzne: inż. Aleksandra Matulewicz

3

I. WPROWADZENIE

Wiadomości niezbędne do realizacji ćwiczenia:

- podstawowe funkcje logiczne,

- główne prawa logiki matematycznej,

- system binarny zapisu liczb.

II. CEL I ZAKRES ĆWICZENIA LABORATORYJNEGO

Zapoznanie studentów z podstawami algebry logiki oraz analizą, syntezą

i realizacją praktyczną podstawowych układów cyfrowych.

III. PODSTAWY TEORETYCZNE

Wiele zjawisk fizycznych i procesów można częściowo lub całkowicie

opisać w sposób cyfrowy (określenie anglosaskie „Digital”). Oznacza to, że stan

danego procesu zmienia się skokowo lub krok po kroku. Na przykład liczenie na

palcach umożliwia przedstawienie liczb całkowitych 1, 2, 3 itd. bez możliwości

uzyskania wartości pośrednich. Przykładem instrumentu cyfrowego może być

fortepian, w którym wysokość tonu między kolejnymi klawiszami zmienia się

w sposób skokowy. Jeżeli stan procesu lub urządzenia cyfrowego opisać można

przy pomocy tylko dwóch stanów, to mówimy o binarnym procesie cyfrowym.

Przykładem takich elementów mogą być: styk wyłącznika (zamknięty –

otwarty), żarówka (świeci – nie świeci), zawór (otwarty – zamknięty).

Podstawą matematycznego opisu binarnych systemów cyfrowych jest

algebra logiki. U podstaw jej leży algebra boolowska opracowana przez George

Boole’a (1815-1865).

Rozważmy na wstępie kilka problemów podstawowych. Bazą do każdej

algebry jest zbiór wartości i określona liczba działań w tym zbiorze.

W tradycyjnej algebrze bazą są liczby przedstawione najczęściej w pozycyjnym

4

systemie dziesiętnym. Algebra logiki opisująca binarne systemy cyfrowe bazuje

na dwuelementowym zbiorze wartości B = {0, 1}. Wartości zbioru B mogą mieć

znaczenie symboliczne, można bowiem przypisać im określone, binarne,

cyfrowe stany fizyczne. W algebrze logiki występują 3 podstawowe działania:

suma logiczna (alternatywa), iloczyn logiczny (koniunkcja) i negacja (inwersja).

Dwa pierwsze, to działania co najmniej dwuargumentowe. Weźmy pod uwagę

dwie zmienne logiczne a, b (wartości tych zmiennych należą do zbioru B). Suma

logiczna a + b jest określona następująco:

a

b

a+b

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Iloczyn logiczny a b określony jest następująco:

a

b

a b

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Negacja zmiennej a czyli a określona jest następująco:

a

a

0

1

1

0

Jak widać, działanie negacji powoduje zmiany wartości zmiennej logicznej

w dopełnienie zbioru B. Jest to działanie jednoargumentowe.

Zauważmy, że

1

b

a

jeżeli

1

a

lub

1

b

. Iloczyn logiczny

1

b

a

jeżeli

1

a

i

1

b

. Często zamiast określenia suma logiczna oraz iloczyn

logiczny używa się odpowiednio angielskich określeń LUB-OR oraz I-AND.

5

Tak, jak w klasycznej algebrze, w algebrze logiki w ramach poszczególnych

działań obowiązują określone prawa i reguły.

1

o

Prawa przemienności

a b = b a

a + b = b + a

2

o

a a a a ... a = a

a + a + a+ a....+ a = a

3

o

a b c 1 = a b c

a b c 0 = 0

a + b + c + 1 = 1

a + b + c + 0 = a + b + c

4

o

0

a

a

a +

a

= 1

5

o

a

= a

6

o

Prawa rozdzielności

a b + a c = a (b + c)

(a + b) (a + c) = a + b c

7

o

Prawa łączności

a (b c) = (a b) c

a + (b + c) = (a + b) + c

8

o

a +

a

b = a + b

a

b

+ b = a + b

a

+ a b =

a

+ b

a

b + b =

a

+ b

9

o

Prawa negacji (twierdzenia de Morgana)

x

...

c

b

a

x

.......

c

b

a

x

...

c

b

a

x

.......

c

b

a

6

Te ostatnie (9

o

) mają bardzo ważne znaczenie praktyczne.

Prawdziwość wymienionych reguł udowodnić można korzystając z tzw. tabeli

prawdy. Liczba wierszy takiej tabeli zależy od liczby zmiennych rozpatrywanej

funkcji logicznej. Ogólnie dla funkcji n – argumentowej możliwych jest

n

2

k

wariacji z powtórzeniami wartości jej argumentów i tyleż wierszy zawiera

tabela. Dla przykładu, sprawdźmy prawidłowość reguły 8.

a

b

a +

a

b =

a + b =

0

0

1

1

0

1

0

1

0 + 1 0 = 0

0 + 1 1 = 1

1 + 0 0 = 1

1 + 0 1 = 1

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 0 = 1

Zwróćmy uwagę, że stosując reguły algebry logiki można funkcję logiczną

przekształcić do innej, czasami wygodniejszej do realizacji postaci.

Najczęściej mamy do czynienia z dwoma rodzajami problemów.

Pierwszy z nich występuje, gdy znana jest struktura układu, który

realizuje określoną funkcję logiczną, a interesuje nas analityczna postać tej

funkcji. Działanie takie nazywamy analizą funkcji logicznej.

Drugi rodzaj problemów występuje wtedy, gdy znany jest sposób

działania danego urządzenia logicznego (dany np. poprzez słowny opis lub

analityczną postać funkcji logicznej), a poszukiwana jest struktura urządzenia,

które musi tę funkcję zrealizować. Działanie takie nazywamy syntezą funkcji

logicznej.

Podstawę do rozwiązania obu tych problemów stanowić może tabela

prawdy. W kolejnych wierszach tabeli prawdy wpisuje się stany

zmiennych/sygnałów

wejściowych

i

odpowiadające

im

wartości

funkcji/sygnałów wyjściowych.

7

Rozpatrzmy bliżej tabelę prawdy dla pewnej funkcji logicznej trzech

zmiennych

)

c

,

b

,

a

(

f

x

. Tabela ta zawiera

8

2

k

3

wierszy. Ze względów

porządkowych kolejne stany zmiennych wejściowych warto zapisywać w tabeli

prawdy w pewien usystematyzowany sposób. Zwróćmy uwagę, że dziesiętny

numer porządkowy wiersza (liczony od numeru 0 do 7) spełnia zależność

0

1

2

2

c

2

b

2

a

d

. O takim systemie numerowania kolejnych stanów

zmiennych wejściowych mówimy, że tworzą one kolejny numer porządkowy

wiersza w naturalnym kodzie binarnym (NKB). Z praktycznego punktu

widzenia warto zauważyć, że kolejne zmienne wejściowe poczynając od

wartości 0 zmieniają swój stan odpowiednio w każdym (kolumna a), w co

drugim wierszu (kolumna b), w co czwartym wierszu (kolumna c) itd. Ten

sposób numeracji (kodowania) kolejnych wierszy pozwala w prosty sposób

uzyskać wszystkie stany zmiennych wejściowych bez powtórzeń.

Nr wiersza

(dziesiętny)

2

2

2

1

2

0

x

d

a

b

c

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

2

0

1

0

0

3

0

1

1

1

4

1

0

0

0

5

1

0

1

1

6

1

1

0

1

7

1

1

1

1

Przeprowadźmy analizę funkcji logicznej

)

c

,

b

,

a

(

f

x

, której wartości

zapisane są w kolumnie x tabeli prawdy. Z tabeli tej wynika, że przybiera ona

wartość 1 gdy: (

0

a

i

1

b

i

1

c

) lub (

1

a

i

0

b

i

1

c

) lub (

1

a

i

1

b

i

0

c

) lub (

1

a

i

1

b

i

1

c

). Analityczną postać funkcji logicznej uzyskać

8

można wstawiając w miejsce spójników w powyższym opisie odpowiadające im

działania logiczne. Tak więc:

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

x

.

Zagadnienie syntezy funkcji logicznej poprzedzone zostanie pewnymi

wiadomościami wstępnymi. W nowoczesnych rozwiązaniach technicznych

funkcje logiczne realizowane są najczęściej przy pomocy scalonych układów

mikroelektronicznych o różnej skali integracji, tzw. funktorów. Do realizacji

ćwiczenia używane będą układy średniej skali integracji typu TTL.

Podstawowym funktorem logicznym na stanowisku laboratoryjnym jest

trójwejściowy element NAND. Nazwa pochodzi od angielskich słów NOT–

AND co oznacza nie – i (negację iloczynu). Funkcja logiczna realizowana przez

trójwejściowy funktor NAND ma postać:

c

b

a

y

.

Łatwo wykazać, że przy pomocy funktora NAND zrealizować można wszystkie

trzy działania logiczne. Symbol funktora NAND przedstawia rys. 1.

Rys. 1. Symbol graficzny funktora NAND.

Przeprowadźmy proces syntezy funkcji logicznej:

c

b

a

c

b

a

z

,

oraz jej realizacji przy pomocy funktorów NAND. Stosując kolejno regułę 5

oraz 9 funkcję tę przekształcić można do postaci:

)

c

b

a

(

)

c

b

a

(

)

c

b

a

(

)

c

b

a

(

z

Funkcja ta może być zrealizowana bezpośrednio przy użyciu pięciu funktorów

NAND połączonych zgodnie z rys. 2.

9

Rys.2. Realizacja funkcji

c

b

a

c

b

a

z

przy pomocy funktorów NAND.

IV. OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO

Stanowisko do modelowania układów cyfrowych zawiera 12

3-wejściowych funktorów NAND oraz zadajnik stanów 4 zmiennych

wejściowych sterowany ręcznie lub automatycznie. Wskaźnikami stanów

logicznych są diody elektroluminescencyjne, przy czym stan „1” odpowiada

świeceniu diody, „0” logiczne odpowiada diodzie nieświecącej.

V. PROGRAM ĆWICZENIA

1. Przebadać (stosując tabele prawdy dla 3 zmiennych) dowolny funktor

NAND.

2. Sprawdzić, modelując jednocześnie obie strony równości, słuszność kilku

wskazanych przez prowadzącego reguł algebry logiki.

3. Rozwiązać zadania sformułowane przez prowadzącego zajęcia.

VI. WYMAGANIA BHP

Podczas wykonywania ćwiczenia należy stosować się do zasad BHP

obowiązujących w Laboratoriach Katedry Energoelektroniki i Napędów

Elektrycznych.

VII. LITERATURA

1. Siegfried H.J.: Od teorii mnogości do algebry logiki. WKiŁ, W-wa, 1977.

2. Watson J.: Elektronika. WKiŁ, W-wa, 1999.

3. Hempowicz P. inni: Elektrotechnika i elektronika dla nieelektryków. WNT,

Warszawa 1999