dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Uniwersytet Jagielloński
Instytut Informatyki
———
ul. Łojasiewicza 6
30-348 Kraków
Algebra Liniowa I
Semestr zimowy
Zestaw ćwiczeń 10
Kraków, 11.12.2013
1
X. Układy równań liniowych
Zadanie 10.1. (Układy równań; [2, 117/10.1, 10.2])
Stosując twierdzenie Kroneckera-Capellego określić liczbę rozwiązań układu równań, a następnie rozwiązać
układy równań stosując różne metody (sprowadzenie do układu Cramera, metodę eliminacji Gaussa):
(a)
x
− 2y +
z =
4
x +
y +
z =
1
2x
− 3y + 5z = 10
5x
− 6y + 8z = 19
(b)
x + 2y +
z +
t = 7
2x
−
y
−
z + 4t = 2
5x + 5y + 2z + 7t = 1
(c)
x + 2y +
3z +
t = 1
2x + 4y
−
z + 2t = 2
3x + 6y + 10z + 3t = 3
x +
y +
z +
t = 0
(d)
x
−
y +
z
− 2s +
t =
0
3x + 4y
−
z
+
s + 3t =
1
x
− 8y + 5z − 9s +
t =
−1
(e)
3x + 2y + z
−
t =
0
5x
−
y + z
+ 2t =
−4
7x + 8y + z
− 7t =
6
x
−
y + z
+ 2t =
4
(f )
2x + 3y +
z
− 2s −
t =
6
4x + 7y + 2z
− 5s +
t = 17
6x + 5y + 3z
− 2s −
9t =
1
2x + 6y +
z
− 5s − 10t = 12
(g)
3x +
y
− 2t =
1
5x + 2y + 2z
−
t =
5
x
−
y
− 2t = −5
5x +
y +
z
− 3t =
0
−7x − 3y +
z
+ 5t =
−4
4x
−
y
− 2z − 5t = −2
(h)
x
− 3y +
z
− 2s + t =
−5
2x
− 6y
− 4s + t = −10
2z
+ t =
0
−2x + 6y + 2z + 4s
=
10
−2x + 6y + 4z + 4s + t =
10
−x + 3y +
z
+ 2s
=
5
Zadanie 10.2. (Układy równań; [2, 117/10.3], [1, 35/IX.A.2, IX.B.3; 36/IX.C.4, IX.D.1])
Rozwiązać układ równań w zależności od parametru p
∈ R:
(a)
x +
py
−
z = 1
x + 10y
− 6z = p
2x
−
y + pz = 0
(b)
x +
4y
− 2z = −p
3x +
5y
− pz =
3
px + 3py +
z =
p
(c)
x
−
y + 3z =
5
3x
−
y
− pz =
1
x + py +
z = 13
(d)
px
−
y
− 2z =
1
x + 2y +
z = 13
x
−
y + pz =
5
(e)
px + 3y
−
z =
1
x +
y
− pz = 13
3x +
y
−
z =
5
(f )
2x
− py −
z =
1
−px +
y
−
z =
5
x +
y + 2z = 13
Zadanie 10.3. (Układy równań; [2, 117/10.4])
Wykonanie pewnego pojemnika wymaga czterech czynności: narysowanie formy, wycięcie, złożenie modelu
i jego pomalowanie. Liczby poszczególnych czynności w kolejnych dniach pracy pewnego pracownika podaje
tabelka:
rysowanie wycinanie składanie malowanie
poniedziałek
30
20
10
5
wtorek
20
15
15
10
środa
40
25
20
20
czwartek
30
20
20
20
Obliczyć czas wykonywania poszczególnych czynności, jeśli w kolejnych dniach łączny czas pracy wynosił:
2h 10min, 2h 15min, 3h 55min, 3h 30min.
