Całka podwójna
DEFINICJA
Podziałem prostok ta
{{{{
}}}}
2
R : ( x, y )
: a x b, c y d
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
nazywa si zbiór
P zło ony
z prostok tów
1
n
R ,...,R , n
,
∈
∈
∈
∈
które całkowicie wypełniaj prostok t
R i maj parami
rozł czne wn trza.
Przyjmujemy nast puj ce oznaczenia:
1
k
k
x , y , k
,...,n
∆
∆
====
- wymiary prostok ta
k
R
(((( )))) (((( ))))
2
2
1
k
k
k
d :
x
y
, k
,...,n
∆
∆
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
- długo przek tnej prostok ta
k
R
(((( ))))
{{{{
}}}}
1
k
P : max d : k
,...,n
δ
=
=
=
=
=
=
=
=
- rednica podziału
P
((((
))))
{{{{
}}}}
1
k
k
k
:
x , y
R : k
,...,n
Θ
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
=
∈
=
=
∈
=
=
∈
=
=
∈
=
- zbiór punktów po rednich podziału P
DEFINICJA
Niech
f : R →
→
→
→ b dzie ograniczona na prostok cie R oraz niech P b dzie podziałem tego
prostok ta, a
Θ zbiorem punktów po rednich. SUM CAŁKOW FUNKCJI f
odpowiadaj c podziałowi
P oraz punktom po rednim Θ nazywa si liczb
((((
))))
((((
))))
(((( ))))(((( ))))
1
n
k
k
k
k
k
f , P :
f x , y
x
y
σ
∆
∆
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
====
====
Interpretacja geometryczna sumy całkowej
z f ( x, y )
=
R
k
R
k
y
∆
k
x
∆
k
y
∗
k
x
∗
(
)
k
k
k
z
f x , y
∗
∗
∗
=
•
( )
∗
x
z
y
0
•
UWAGA
Suma całkowa funkcji po prostok cie jest przybli eniem obj to ci bryły ograniczonej
wykresem funkcji
z = f (x , y), le cym nad prostok tem R oraz płaszczyzn XOY, przez
sum obj to ci prostopadło cianów o podstawach
k
R
i wysoko ciach
((((
))))
1
k
k
f x , y , k
,...,n, n
.
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
DEFINICJA
CAŁK PODWÓJN PO PROSTOK CIE R Z FUNKCJI f ograniczonej na
prostok cie
R definiuje si wzorem
((((
))))
(((( ))))
((((
))))
(((( ))))(((( ))))
0
1
n
k
k
k
k
P
k
R
f x, y dxdy : lim
f x , y
x
y
δ
∆
∆
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
→
→
→
→
====
====
o ile granica jest wła ciwa i nie zale y od wyboru podziału
P prostok ta R
i punktów po rednich
Θ
.
Mówimy wtedy, e
FUNKCJA f JEST CAŁKOWALNA
NA PROSTOK CIE R.
Interpretacja geometryczna całki podwójnej
(i) Je eli
((((
))))
((((
))))
((((
))))
{{{{
}}}}
3
2
0
B
x, y,z
: x, y
R
,
z f x, y
=
∈
∈ ⊂
≤ ≤
=
∈
∈ ⊂
≤ ≤
=
∈
∈ ⊂
≤ ≤
=
∈
∈ ⊂
≤ ≤
, to
((((
))))
R
V
f x, y dxdy
====
.
(ii) Je eli
((((
))))
((((
))))
((((
))))
{{{{
}}}}
3
2
0
B
x, y,z
: x, y
R
, f x, y
z
=
∈
∈ ⊂
≤ ≤
=
∈
∈ ⊂
≤ ≤
=
∈
∈ ⊂
≤ ≤
=
∈
∈ ⊂
≤ ≤
, to
((((
))))
R
V
f x, y dxdy
= −
= −
= −
= −
.
UWAGA
(i) Je eli funkcja
f jest całkowalna na prostok cie R, to dla dowolnego podziału tego
prostok ta na prostok ty
1
2
R ,R
o rozł cznych wn trzach zachodzi równo
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
1
2
1
2
R
R R
R
R
f x, y dxdy
f x, y dxdy
f x, y dxdy
f x, y dxdy
∪
∪
∪
∪
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
z f ( x, y )
=
R
x
z
y
0
2
R
1
R
( )
R
V
f x, y dxdy
=
( )
1
1
R
V
f x, y dxdy
=
( )
2
2
R
V
f x, y dxdy
=
1
2
V V V
= +
(ii) Niech funkcje
f, g b d całkowalne na prostok cie R oraz niech
,
α β ∈
∈
∈
∈
. Wtedy
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
R
R
R
f x, y
g x, y dxdy
f x, y dxdy
g x, y dxdy
α
β
α
β
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
(iii) Funkcja ci gła na prostok cie
R jest na nim całkowalna.
TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki podwójnej po prostok cie)
(o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Je eli funkcja
f : R →
→
→
→
jest całkowalna na prostok cie
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
R : a,b
c,d
=
×
=
×
=
×
=
×
oraz dla ka dego
[[[[ ]]]]
x
a,b
∈
∈
∈
∈
istnieje całka
((((
))))
d
c
f x, y dy,
to istnieje całka iterowana
((((
))))
b
d
a
c
f x, y dy dx
i zachodzi równo
((((
))))
((((
))))
b
d
R
a
c
f x, y dxdy
f x, y dy dx
====
DEFINICJA (całki podwójnej po dowolnym obszarze)
Niech
2
D ⊂
⊂
⊂
⊂
b dzie obszarem ograniczonym. Niech
f : D →
→
→
→ b dzie ograniczona na D
oraz niech
R D
⊃
⊃
⊃
⊃ b dzie prostok tem zawieraj cym obszar D. Ponadto niech funkcja
((((
))))
((((
)))) ((((
))))
((((
))))
0
f x, y , x, y
D
f x, y :
, x, y
R \ D
∗∗∗∗
∈
∈
∈
∈
====
∈
∈
∈
∈
CAŁK PODWÓJN Z FUNKCJI f PO OBSZARZE D definiuje si wzorem
((((
))))
((((
))))
D
R
f x, y dxdy :
f x, y dxdy
∗∗∗∗
====
o ile całka po prawej stronie istnieje. Mówimy wtedy, e
FUNKCJA f JEST
CAŁKOWALNA NA OBSZARZE D.
UWAGA
Całka
((((
))))
R
f x, y dxdy
∗∗∗∗
nie zale y od wyboru prostok ta
R.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
((((
))))
B
D
V
f x, y dxdy
====
((((
))))
((((
))))
((((
))))
{{{{
}}}}
3
0
B
x, y,z
: x, y
D,
z f x, y
=
∈
∈
≤ ≤
=
∈
∈
≤ ≤
=
∈
∈
≤ ≤
=
∈
∈
≤ ≤
DEFINICJA (obszarów normalnych wzgl dem osi OX, OY)
(i) Obszar domkni ty
2
D ⊂
⊂
⊂
⊂
nazywa si
OBSZAREM NORMALNYM WZGL DEM
OSI OX, gdy
((((
))))
{{{{
}}}}
2
D
x, y
: a x b, ( x ) y
( x ) ,
ϕ
ψ
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
gdzie
,
ϕ ψ s funkcjami okre lonymi i ci głymi w [a,b] takimi, e
[[[[ ]]]]
( x )
( x ), x
a,b
ϕ
ψ
≤
∈
≤
∈
≤
∈
≤
∈
.
(ii) Obszar domkni ty
2
D ⊂
⊂
⊂
⊂
nazywa si
OBSZAREM NORMALNYM WZGL DEM
OSI OY, gdy
((((
))))
{{{{
}}}}
2
D
x, y
: c y d , h( y ) x g( y ) ,
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
gdzie
h, g s funkcjami okre lonymi i ci głymi w [c,d] takimi, e
[[[[ ]]]]
h( y ) g( y ), y
c,d
≤
∈
≤
∈
≤
∈
≤
∈
.
TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki podwójnej po obszarze normalnym wzgl dem OX)
Je eli funkcja
f : D →
→
→
→
jest całkowalna w obszarze
2
D ⊂
⊂
⊂
⊂
normalnym wzgl dem osi
OX, to
((((
))))
((((
))))
( x )
b
D
a
( x )
f x, y dxdy
f x, y dy dx
ψ
ϕ
====
UWAGA (o całce po prostok cie)
Je eli funkcja
f : R →
→
→
→
jest całkowalna w prostok cie
{{{{
}}}}
2
R : ( x, y )
: a x b, c y d
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
=
∈
≤ ≤
≤ ≤
to
((((
))))
((((
))))
b
d
R
a
c
f x, y dxdy
f x, y dy dx
====
DEFINICJA (obszaru regularnego)
Obszar
2
D ⊂
⊂
⊂
⊂
nazywa si
OBSZAREM REGULARNYM, gdy mo na go podzieli na
sko czon ilo obszarów normalnych wzgl dem osi
OX lub OY o wn trzach parami
rozł cznych.
TWIERDZENIE (o całce podwójnej po obszarze regularnym)
Niech obszar regularny
2
D ⊂
⊂
⊂
⊂
b dzie sum obszarów normalnych
1
n
D ,..., D
o wn trzach
parami rozł cznych oraz niech funkcja
f b dzie całkowalna na tym obszarze. Wtedy
1
k
n
k
D
D
f ( x, y )dxdy
f ( x, y )dxdy
====
====
DEFINICJA
Niech
, D
∆
b d obszarami odpowiednio na płaszczyznach
uOv, xOy.
PRZEKSZTAŁCENIEM OBSZARU ∆ W OBSZAR D nazywa si funkcj
:
D
∆
ℑ
→
ℑ
→
ℑ
→
ℑ
→
okre lon wzorem
((((
))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
((((
))))
(((( ))))
x, y
u,v
u,v ,
u,v , u,v
ϕ
ψ
∆
= ℑ
=
∈
= ℑ
=
∈
= ℑ
=
∈
= ℑ
=
∈
OBRAZEM ZBIORU ∆ przy przekształceniu ℑ
ℑ
ℑ
ℑ nazywa si zbiór
(((( ))))
((((
))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
{{{{
}}}}
:
x, y : x
u,v , y
u,v , u,v
∆
ϕ
ψ
∆
ℑ
=
=
=
∈
ℑ
=
=
=
∈
ℑ
=
=
=
∈
ℑ
=
=
=
∈
Przekształcenie
ℑ
ℑ
ℑ
ℑ nazywa si RÓ NOWARTO CIOWYM, gdy ró nym punktom
z
∆ przyporz dkowane s ró ne punkty z D.
DEFINICJA
JACOBIANEM PRZEKSZTAŁCENIA
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
((((
))))
(((( ))))
u,v
u,v ,
u,v , u,v
ϕ
ψ
∆
ℑ
=
∈
ℑ
=
∈
ℑ
=
∈
ℑ
=
∈
nazywa si funkcj okre lon wzorem
(((( ))))
((((
))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
u,v
u,v
,
u
v
J u,v
: det
u,v
u,v
u,v
u
v
ϕ
ϕ
ϕ ψ
ψ
ψ
ℑ
ℑℑ
ℑ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
TWIERDZENIE (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Niech
(i) przekształcenie
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
x
u,v
:
, u,v
y
u,v
ϕ
∆
ψ
====
ℑ
∈
ℑ
∈
ℑ
∈
ℑ
∈
====
odwzorowuje ró nowarto ciowo wn trze
obszaru regularnego
∆
na wn trze obszaru regularnego
D
(ii) funkcje
,
ϕ ψ
maj ci głe pochodne cz stkowe rz du pierwszego na pewnym zbiorze
otwartym zawieraj cym obszar
∆
(iii) funkcja
f b dzie ci gła na obszarze D
(iv) jacobian
J
ℑ
ℑℑ
ℑ
przekształcenia
ℑ
ℑ
ℑ
ℑ
jest ró ny od zera wewn trz
∆
Wtedy
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
D
f ( x, y )dxdy
f (
u,v ,
u,v ) J u,v dudv
∆
ϕ
ψ
ℑ
ℑℑ
ℑ
====
DEFINICJA (współrz dnych biegunowych)
Poło enie punktu
P na płaszczy nie XOY mo na opisa przy pomocy pary liczb
(((( ))))
, ,
ϕ ρ
gdzie
ϕ oznacza miar k ta mi dzy dodatni cz ci osi OX a promieniem wodz cym punktu
P
[[[[
]]]]
[[[[
]]]]
((((
))))
0 2
,
lub
,
;
ϕ
π
ϕ
π π
∈
∈ −
∈
∈ −
∈
∈ −
∈
∈ −
Natomiast
ρ oznacza odległo punktu P od pocz tku
układu współrz dnych
((((
))))
0
.
ρ ≥≥≥≥
Par liczb
(((( ))))
,
ϕ ρ nazywa si WSPÓŁRZ DNYMI
BIEGUNOWYMI PUNKTU PŁASZCZYZNY.
UWAGA (o całce podwójnej we współrz dnych biegunowych)
(i) Współrz dne
((((
))))
x, y
punktu płaszczyzny
XOY danego we współrz dnych biegunowych
(((( ))))
,
ϕ ρ
okre lone s wzorami
x
cos
:
y
sin
ρ
ϕ
β
ρ
ϕ
====
====
(ii) Przekształcenie
β , które ka demu punktowi
(((( ))))
,
ϕ ρ przyporz dkowuje punkt
((((
))))
x, y
okre lony powy szymi wzorami nazywa si
PRZEKSZTAŁCENIEM
BIEGUNOWYM.
(iii)
(((( ))))
0
sin
cos
J
,
det
cos
sin
β
ρ
ϕ
ϕ
ϕ ρ
ρ
ρ
ϕ
ϕ
−−−−
=
= >
=
= >
=
= >
=
= >
wewn trz prostok ta
(((( ))))
{{{{
}}}}
0
2
0
, :
,
r
∆
ϕ ρ
α ϕ β
π
ρ
=
≤ < < ≤
≤ ≤
=
≤ < < ≤
≤ ≤
=
≤ < < ≤
≤ ≤
=
≤ < < ≤
≤ ≤
(iv)
((((
))))
((((
))))
D
f x, y dxdy
f
cos , sin
d d
∆
ρ
ϕ ρ
ϕ ρ ϕ ρ
====
,
(((( ))))
D β ∆
====