Klas´
owka poprawkowa, matematyka A, 17 lutego 2005
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elektro-
nicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone!
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia udowodnione
na zaje
,
ciach.
Rozwia
,
zanie ka˙zdego zadania nale˙zy napisa´c na oddzielnej kartce. Ka˙zda
,
kartke
,
nale˙zy podpisa´
c
swoim nazwiskiem, imieniem, numerem grupy ´
cwiczeniowej i numerem swego indeksu
Pierwsze kolokwium — zadania 11,12,13;
drugie lub trzecie — zadania 21 – 26
11. Poda´c definicje
,
logarytmu liczby x przy podstawie a . Jakie warunki musza
,
spe lnia´c liczby a, x , by
mo˙zna by lo zdefiniowa´c log
a
x ?
Obliczy´c:
log
10
1
√
1000
,
log
5
5
5
√
5
,
log
0,25
2 ,
log
√
3
1
3
.
12. Poda´c definicje
,
sinusa dowolnego ka
,
ta dodatniego. Rozwia
,
za´c nier´owno´s´c 1 > | sin t| ≥
1
2
i zaznaczy´c
odpowiednie fragmenty okre
,
gu x
2
+ y
2
= 1 (przyja
,
wszy, ˙ze x = cos t , y = sin t ).
13. Znale´z´c granice lim
n→∞
3n−2n
3
+15n
2
√
n
3
+2
√
n
4
+3
√
n
5
+
√
4n
6
+1
oraz lim
n→∞
1 +
2n
n
2
+1
n
21. Znale´z´c liczby a, b, c takie, ˙ze lim
x→0
4
√
1+x−(a+bx+cx
2
)
x
2
= 0 , naste
,
pnie — granice
,
lim
x→0
4
√
1+x−(a+bx+cx
2
)
x
3
.
22. Niech f (t) = c cos ωt
√
13
+d sin ωt
√
13
+sin t dla t ∈ R . Obliczy´c f
0
(t) i f
00
(t) . Znale´z´c wszystkie
tr´ojki liczb ω, c, d ∈ R takie, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej t zachodzi r´owno´s´c
f
00
(t) + 13f (t) + 12 sin t = 0 .
23. Znale´z´c granice
lim
x→+∞
sin x
x
,
lim
x→+∞
√
x+1
x
oraz
lim
x→+∞
3
p
x +
√
x + 1 −
3
√
x + sin x
.
24. Znale´z´c najmniejsza
,
warto´s´c funkcji x
2
+
4x
2
(x−2)
2
na p´o lprostej otwartej (2, +∞) lub wykaza´c, ˙ze ta
funkcja na p´o lprostej (2, ∞) najmniejszej warto´sci nie ma.
25. Znale´z´c ca lke
,
nieoznaczona
,
R
x
3
e
−x
2
dx , a naste
,
pnie ca lke
,
oznaczona
,
niew la´sciwa
,
R
+1
−1
x
3
e
−x
2
dx .
26. Niech f (x) = (3 − x)
3
q
(x
2
−9)
2
(2−x)
2
dla wszystkich x 6= 2 .
Zachodza
,
r´owno´sci
f
0
(x) =
5
3
x(x − 1)
3
q
(3−x)
2
(2−x)
5
(x+3)
,
f
00
(x) =
10(x
4
−2x
3
−14x
2
+54x−27)
9
3
√
(x−2)
8
(x+3)
4
(3−x)
dla tych wszystkich liczb x ∈ R , dla kt´orych prawe strony wzor´ow maja
,
sens. Zachodzi r´owno´s´c
x
4
− 2x
3
− 14x
2
+ 54x − 27 = (x − x
1
)(x − x
2
)(x
2
+ px + q) , gdzie x
1
≈ −4, 37 i x
2
≈ 0, 6 i p
2
< 4q .
Funkcja nie ma asymptot poziomych, ani uko´snych.
a. Znale´z´c przedzia ly,
na kt´orych funkcja f jest rosna
,
ca i przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest maleja
,
ca;
na kt´orych ta funkcja jest wypuk la i przedzia ly, na kt´orych jest wkle
,
s la.
b. Znale´z´c punkty, w kt´orych funkcja f nie ma pierwszej pochodnej.
c. W jakich punktach funkcja f ma lokalne ekstrema?
d. Znale´z´c punkty przegie
,
cia wykresu funkcji f .
e. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f w ko´
ncach wszystkich przedzia l´ow sk ladaja
,
cych sie
,
na jej
dziedzine
,
.
f. Znale´z´c granice jednostronne funkcji f
0
(pochodnej funkcji f ) w ko´
ncach wszystkich przedzia l´ow
sk ladaja
,
cych sie
,
na jej dziedzine
,
.
Naszkicowa´
c wykres funkcji f uwzgle
,
dniaja
,
c otrzymane rezultaty.
inf. Informacje przer´o˙zne (po˙zyteczne lub zbe
,
dne):
sin
5π
6
=
1
2
;
sin
5π
4
= −
√
2
2
;
1 + x ≤ e
x
dla x ∈ R ;
sin x < x < tg x ,
gdy
π
2
> x > 0 ;
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x ;
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ;
cos
2
x + sin
2
x = 1 .