DYNAMIKA
Prawa ruchu Newtona
1)
a
= 0
gdy
F
= 0
2)
F
wyp
= m
a
inaczej
F
wyp
= d
p
/dt
definicja pędu:
p
≡ m
v
;
d
p
/dt = m d
v
/dt = m
a
3)
F
1
→2
=
F
2
→1
DYNAMIKA
Prawa ruchu Newtona
1)
a
= 0
gdy
F
= 0
2)
F
wyp
= m
a
inaczej
F
wyp
= d
p
/dt
definicja pędu:
p
≡ m
v
;
d
p
/dt = m d
v
/dt = m
a
3)
F
1
→2
=
F
2
→1
Inercjalne układy odniesienia
Układ jest inercjalny, jeżeli ciało w tym układzie, na które nie działają siły
zewnętrzne, spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym
(zasada Galileusza) - tzn. spełnione jest 1-sze prawo dynamiki Newtona.
Natomiast gdy na ciało w układzie inercjalnym działa niezrównoważona siła,
to ciało to porusza się ruchem przyśpieszonym, zgodnie z 2-gim prawem
dynamiki Newtona.
Każdy układ odniesienia poruszający się ruchem jednostajnym względem
układu inercjalnego, jest również układem inercjalnym. Wszystkie prawa
fizyczne mają taką samą postać we wszystkich układach inercjalnych
(zasada względności).
Czy powierzchnia Ziemi jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego ?
Na równiku :
a
n
=
R
z
≅ 6,4 10
6
m ; T
≅ 24 godz. ≅ 8,6 10
4
s =>
a
n
≅ 3,4 cm/s
2
= 0,034 m/s
2
Gwiazdy stałe - wzorcowy układ odniesienia bez przyspieszenia - układ
inercjalny.
2
2
4
V
R
R
T
z
z
= π
Przekształcenie Galileusza
t
’
= t
x
’
= x - vt
y
’
= y
z
’
= z
Przyjmijmy, że dla t = 0 układy pokrywają się.
1.
Bieg czasu we wszystkich układach inercjalnych poruszających się
względem siebie z prędkościami nierelatywistycznymi:
<<1
ma charakter bezwzględny (t
’
= t).
2.
Odległość między dwoma punktami jest taka sama we wszystkich
układach inercjalnych w zakresie prędkości nierelatywistycznych.
V
C
2
4.
Przyspieszenie ciała względem wszystkich układów inercjalnych jest takie
samo.
(gdyż
stałe,
= 0; t=t
’
)
d V
dt
d V
V
dt
d V
d t
→
→
→
→
=
+
=
1
2
2
(
)
'
V
→
d V
dt
→
3.
Prędkości ruchu ciał mierzone względem różnych układów inercjalnych
poruszających się względem siebie podlegają prawu składania (dodawania
wektorowego).
- prędkość względem układu pierwszego
- „ - „ - „ - „ - „ - „ drugiego
- prędkość układu drugiego względem pierwszego
= +
(warunek :
, ,
- prędkości nierelatywistyczne).
→
V 1
→
V 2
→
V
→
V 1
→
V 2
→
V
→
V 1
→
V 2
→
V
Ograniczenie stosowalności przekształcenia (transformacji) Galileusza
Prędkość światła mierzona w różnych układach inercjalnych ma zawsze taką samą
wartość:
c
= 2,998
× 10
8
m s
-1
Pierwsze potwierdzenie doświadczalne: Michelson i Morley (1880 - 1887), pomiary
prędkości światła w kierunku zgodnym i poprzecznym do ruchu Ziemi.
A.Einstein, 1905r. Stałość prędkości światła względem wszystkich inercjalnych
układów odniesienia jest jednym z podstawowych praw przyrody, jego stosowalności
nie podlega żadnym ograniczeniom (postulat Einsteina).
⇓
Przekształcenie Lorentza
Dylatacja czasu, skrócenie długości w kierunku ruchu: relatywistyczna koncepcja
przestrzeni i czasu.
2-gie prawo Newtona jest słuszne tylko dla obserwatora związanego z układem
inercjalnym.
W postaci F = ma słuszne przy założeniu niezależności masy od prędkości (słuszne
dla prędkości v
<0,01
c
; dla wyższych prędkości masa rośnie z prędkością - masa
relatywistyczna).
Konieczne jest zawsze obliczenie siły wypadkowej
3-cie prawo Newtona dotyczy sił oddziaływania między ciałami (np. siły
grawitacyjne lub elektryczne). Siła reakcji nie może działać na to samo
ciało, na które działa siła akcji.
Przykład 1:
F
k
- siła kontaktowa (oddziaływanie
elektromagnetyczne między atomami)
F
g
- siła ciężkości
F
g
= - F
k
= -
= (ciężar ciała m)
- działa na podłoże
- działa na ciało o masie m , więc z 2-go prawa Newtona:
=
czyli:
=
?
→
k
F
'
→
k
F
→
k
F
'
→
g
F
'
k
F
k
F
→
k
F
m a
→
→
a
m
k
F
→
nie
, bo siła wypadkowa działająca na ciało m :
=
+
= 0
czyli: =
=
0
→
wyp
F
.
→
g
F
→
k
F
→
a
→
wyp
F
m
Przykład 2:
(bez tarcia)
Działamy siłą
na ciało A, więc A działa siłą
na ciało B i zgodnie z
3-cim prawem Newtona ciało B działa z siłą -
na ciało A.
Siła wypadkowa działająca na A: =
-
= 0 czyli
= 0
?
Nie
, bo ciało A nie przenosi całej siły na ciało B.
→
F
→
F
→
F
→
wyp
F
.
→
F
→
F
→
a
→
F
→
k
F
'
W rzeczywistości:
=
=
+
wartość skalarna
=
wartość skalarna
→
k
F
'
−
→
k
F
→
F
wyp
A
→
F
→
k
F
→
F
wyp
B
wyp
A
k
F
F F
= −
wyp
B
k
k
F
F
F
=
=
'
czyli: F - F
k
= m
A
a
= czyli:
F
k
= m
B
a
F - m
B
a = m
A
a ; F = m
A
a + m
B
a ; F = (m
A
+m
B
)a
a =
wyp
B
F
wyp
A
A
F
m a
=
B
m a
F
m
m
A
B
+
Przykład 3: Bloczek
Jeśli zakładamy, że lina i bloczek są
nieważkie, oraz że nie ma tarcia, to:
=
=
(napięcie liny)
F
W1
= T - F
g1
= T - m
1
g
F
W1
= m
1
a
m
1
a = T - m
1
g
(*)
F
W2
= F
g2
- T = m
2
g - T
F
W2
= m
2
a
m
2
a = m
2
g - T
(**)
Dodając stronami równania (*) i (**):
m
1
a + m
2
a = T - m
1
g + m
2
g - T
=>
a(m
1
+ m
2
) = g(m
2
- m
1
)
a =
→
1
T
→
2
T
→
T
2
1
2
1
m
m
m
m
g
−
+
Napięcie liny : m
1
= T - m
1
g
=> T =
gdy: m
1
=m
2
=m
to: a = 0 oraz: T = mg
2
1
2
1
m
m
m
m
g
−
+
2
1
2
1
2
m m
m
m
g
+
Siły tarcia
Siła tarcia jest siłą kontaktową, leżącą w płaszczyźnie powierzchni styku
dwu ciał, skierowaną przeciwnie do kierunku ruchu.
Gdy przyłożona siła F jest
mniejsza od krytycznej wartości
siły tarcia statycznego, ciało
spoczywa nieruchomo, mimo
przyłożonej z zewnątrz siły F
F + F
T
+ F
N
+ F
G
= 0
Ciało porusza się, gdy siła F przekroczy wartość krytyczną F
TS
, tzn. wartość
siły tarcia statycznego.
Siła tarcia statycznego zależy od siły nacisku F
N
:
F
TS
=
µ
S
F
N
µ
S
- współczynnik tarcia statycznego, zdefiniowany powyższym wzorem,
tzn.:
µ
S
= F
TS
/F
N
Z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że
µ
S
nie zależy od F
N
i od pola
powierzchni styku.
Gdy F przekroczy wartość F
TS
, wypadkowa sił działających na ciało jest
różna od zera i ciało zaczyna się poruszać. Przeciwdziałać ruchowi będzie
wówczas siła tarcia kinetycznego F
TK
(na ogół nieco mniejsza od F
TS
):
F
TK
=
µ
K
F
N
gdzie:
µ
K
= F
TK
/F
N
jest współczynnikiem tarcia kinetycznego
Zazwyczaj
µ
K
< µ
S
Powyżej podane zależności dla sił tarcia są prawami empirycznymi;
zjawisko tarcia jest bardzo złożone, związane z elektromagnetycznymi
oddziaływaniami między atomowymi.
Jakie siły działają na podłoże ?
= -
= -
Przykład 1
: Przy podnoszeniu jednego końca deski leżący na niej
klocek zaczął się zsuwać gdy deska tworzyła kąt
α
z podłożem.
Ile wynosi
µ
S
?
F
g
+ F
N
+ F
TS
= 0
W momencie gdy klocek
zaczął się zsuwać:
F
TS
- krytyczne
Jeśli siła wypadkowa równa zero, to
µ
S
=
= tg
α
.
→
N
F
'
→
N
F
T
F
'
T
F
TS
N
F
F
Przykład 2:
Jakie będzie przyspieszenie ciała dla kąta
Θ
>α
kr
?
=
= F
g
sin
Θ
= -
F
N
= F
g
’’
= F
g
cos
Θ
F
TK
=
µ
K
F
N
=
µ
K
F
g
cos
Θ
=
+
=
+
= -
+
= 0
=
+
; =
F
W
= F
g
sin
Θ
-
µ
K
f
g
cos
Θ
= F
g
(sin
Θ
-
µ
K
cos
Θ
) =
= mg(sin
Θ
-
µ
K
cos
Θ
)
ma = mg(sin
Θ
-
µ
K
cos
Θ
)
a = g(sin
Θ
-
µ
K
cos
Θ
)
bez tarcia,
µ
K
=0, => a = g sin
Θ
→
g
F
m g
→
g
g
F
F
"
cos
=
Θ
g
F
'
→
N
F
→
g
F
''
→
W
F
F
W //
→
F
Wp
→
F
Wp
→
→
N
F
→
g
F
''
→
g
F
''
→
g
F
''
F
W //
→
→
g
F
'
→
TK
F
F
W //
→
m a
→
F
Wp
→
- składowa prostopadła
do podłoża
F
W //
→
- składowa równoległa
do podłoża
F - F
TS
= m
1
a
F
TS
= m
2
a
Przykład 3: Dla jakiego
ciało m
2
zsunie się z m
1
?
µ
s(1-2)
≠
0
µ
K(1-p)
= 0
F
TS
=
µ
s(1-2)
F
N
=
µ
s(1-2)
F
g2
=
µ
s(1-2)
m
2
g
→
F
m
2
a nie może być większe od F
TS
maksymalnego
a
m
=
=
=
µ
s(1-2)
g
a
m
- maksymalne przyspieszenie, powyżej którego m
2
zacznie się zsuwać.
F
m
= F
TS
+ m
1
a
m
=
µ
s(1-2)
m
2
g +
µ
s(1-2)
m
1
g =
=
µ
s(1-2)
g(m
1
+m
2
)
TS
F
m
2
s
m g
m
(
)
1 2
2
2
−
µ
Zasada zachowania pędu
Definicja pędu
=
Rozpatrzmy dwie cząstki m
1
i m
2
oddziałujące ze sobą w układzie
odosobnionym (zamkniętym), tzn. takim, że nie działają żadne siły
zewnętrzne.
Z 3-ciego prawa Newtona:
= -
Z 2-go prawa Newtona (
=
) :
→
P
:
→
P
m V
→
→
→
1 2
F
→
→
2 1
F
→
F
d P
dt
→
= -
+
= 0;
(
+
) = 0
+
= = const.
dla n cząstek : = const
d P
dt
→
2
d P
dt
→
1
d P
dt
→
2
d P
dt
→
1
d
dt
→
2
P
→
1
P
→
1
P
→
2
P
→
P
ca kowite
ł
→
=
∑
j
j
n
P
1
inaczej: (t
o
) =
(t)
→
=
∑
j
j
n
P
1
→
=
∑
j
j
n
P
1
Pęd całkowity układu
odosobnionego jest stały
Przykład 1:
Rozpad dwuciałowy
= 0
+ = =
0
- współliniowe;
-m
1
V
1
+ m
2
V
2
= 0
m
2
V
2
= m
1
V
=
→
p
→
1
p
→
2
p
→
p
→
1
V ,
→
2
V
1
2
V
V
2
1
m
m
Przykład 2:
Zderzenie niesprężyste
p
całk
= p
1
+ p
2
p
całk
= m
1
v
1
- m
2
v
2
p
całk
= (m
1
+m
2
)v
m
1
v
1
- m
2
v
2
= (m
1
+ m
2
)V
v =
jeśli v=0
⇒ m
1
v
1
- m
2
v
2
= 0
⇒ m
1
v
1
= m
2
v
2
=
m
m
v
m
v
m
2
1
2
2
1
1
+
−
v
v
2
1
2
1
m
m
Strata energii kinetycznej
∆
K:
∆
K = m
1
+
m
2
-
(m
1
+ m
2
)
v
2
=
=
1
2
v
2
1
1
2
v
2
2
1
2
1
2
+
−
+
−
+
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
)
)(
(
m
m
v
m
v
m
m
m
v
m
v
m
1
2
2
2
1
2
1
2
1
)
(
v
v
m
m
m
m
+
+
Prawo zachowania środka masy
Układ punktów materialnych
m
1,
m
2
, ..... m
i
; o wektorach położenia
, ,
..... .
Jego środkiem masy nazywamy punkt o wektorze położenia:
=
Środek masy układu odosobnionego porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym lub spoczywa.
→
1
r
→
2
r
→
i
r
→
R
SM
→
R
SM
i i
i
i
i
m r
m
→
∑
∑
d R
dt
S M
→
→
V
SM
d
dt
i
i
i
i
i
m r
m
→
∑
∑
i
i
i
i
i
m
d r
dt
m
→
∑
∑
∑
∑
→
i
i
i
i
m
v
m
i
→
∑
∑
i
i
i
i
P
m
→
p
m
cał
ca ł
= = = =
= = = const.
→
V
SM
ca
m
ł
→
p
ca ł
i
i
m
∑
d p
dt
ca
→
ł .
→
F
ze wn.
Prawo addytywności masy :
=
m
cał
=
-------------------------------------------------------
Gdy układ nie odosobniony:
=
-równanie ruchu postępowego układu (tzn. jego środka masy)
Położenie środka masy nie
zależy od wyboru układu
współrzędnych
x
SM
=
Jeśli np.
m
1
= 9g,
m
2
= 1g,
d = 10 cm
x
SM
=
= 10cm = 1 cm
Przykład 1:
1
2
2
1
2
0
m
m x
m
m
+
+
'
2
1
2
m
m
m
d
+
1
1
9
10
g
g
g
cm
+
1
10
R
SM
=
1 1
2 2
1
2
m r
m r
m
m
+
+
Przykład 2:
Zderzenie dwóch cząstek całkowicie niesprężyste
a) Pęd przed zderzeniem
=
+
=
Pęd po zderzeniu
= (m
1
+m
2
)
Z prawa zachowania pędu :
=
=
(m
1
+ m
2
)
(
,
- współliniowe )
wartość skalarna:
V
’
=
b) Z prawa zachowania środka masy
V
SM
= =
=
V
1
= const =
→
p
ca ł
→
1
p
→
2
p
1 1
m V
→
→
p
ca ł
'
→
'
V
→
p
ca ł
→
p
ca ł
'
1 1
m V
→
→
'
V
→
1
V
→
'
V
1
1
2
1
m
m
m
V
+
i
i
i
i
i
m V
m
∑
∑
1
1
2
1
2
0
m V
m
m
m
+
+
1
1
2
m
m
m
+
S M
V
V
'
'
=
Przykład 3:
Rozpad jądra promieniotwórczego
=
=
+
+
W układzie związanym ze środkiem masy
= 0, więc:
+
+
= 0
Znając z doświadczenia
i
można wyznaczyć kąt
γ.
→
V
1
→
V
S M
→
1
p
→
2
p
→
e
p
→
ν
p
→
1
'
V
→
2
p
→
e
p
→
ν
p
→
2
'
p
→
e
p
'
m
o
- wzorzec masy
m
≡
m
o
Definicja pędu:
≡
Definicja siły
: jeżeli do ciała m przyłożona jest tylko siła F, to
≡
przy założeniu stałej masy:
=
= m
=
W fizyce klasycznej stan punktu materialnego w ustalonej chwili t w
pełni określają jego współrzędne położenia
x,y,z oraz składowe
prędkości
V
x
, V
y
, V
z
czyli:
wektor jego położenia i wektor prędkości
(zamiast prędkości można użyć pędów).
Definicja masy:
o
V
V
→
p
m V
→
→
F
d p
dt
→
→
F
d m V
dt
(
)
→
d V
dt
→
m a
→
→
r
→
V