dr Agnieszka Bobrowska
1
Ekonomia matematyczna II
Wykład 3
Modele wzrostu gospodarczego
3.1. Model Harroda-Domara
1
Model Harroda-Domara to jeden z klasycznych modeli wzrostu. Jego idea polega na okre
ś
leniu
ś
cie
Ŝ
ki czasowej dla zmiennych (wyst
ę
puj
ą
cych w tym modelu), jaka musi wyst
ą
pi
ć
, aby gospodarka
mogła si
ę
znale
źć
w stanie równowagi.
Zanim go przedstawimy, omówimy najpierw zale
Ŝ
no
ść
jaka wyst
ę
puje mi
ę
dzy inwestycjami
a tworzeniem kapitału. Najogólniej rzecz bior
ą
c, tworzenie kapitału polega na powi
ę
kszaniu danego
zasobu funduszy. O ile proces tworzenia kapitału potraktujemy jako ci
ą
gły w czasie, o tyle zasoby
kapitału
K
mo
Ŝ
emy uzna
ć
jako funkcj
ę
czasu
t
:
)
(t
K
K
=
.
Pochodna
dt
dK
okre
ś
la wówczas stop
ę
tworzenia kapitału, która w momencie
t
jest równa stopie
strumienia inwestycji netto
I
w chwili t, co opisuje to
Ŝ
samo
ść
:
)
(t
I
dt
dK
≡
.
Jednocze
ś
nie mo
Ŝ
emy powiedzie
ć
,
Ŝ
e
)
(t
K
jest całk
ą
pierwotn
ą
inwestycji netto
)
(t
I
, co pokazuje
nast
ę
puj
ą
ce równanie:
∫
∫
∫
=
=
=
dK
dt
dt
dK
dt
t
I
t
K
)
(
)
(
.
Nale
Ŝ
y napomnie
ć
, i
Ŝ
w niektórych modelach wzrostu oprócz inwestycji netto
I
mog
ą
wyst
ę
powa
ć
inwestycje brutto, oznaczane symbolem
g
I
. Zale
Ŝ
no
ść
mi
ę
dzy inwestycjami netto i brutto mo
Ŝ
na
wyrazi
ć
równaniem:
K
I
I
g
δ
+
=
,
gdzie:
δ
- stopa deprecjacji kapitału,
K
δ
- stopa reinwestycji kapitału.
1
Charakterystyk
ę
modelu przygotowano na podstawie A.C. Chiang: Podstawy ekonomii matematycznej, PWE,
Warszawa 1994, s. 464 i dalsze oraz R.G.D. Allen: Teoria makroekonomiczna, PWN, Warszawa 1975, rozdział
11, M. Garbicz, E. Golachowski, Elementarne modele makroekonomiczne, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa
1996, rozdział 9
dr Agnieszka Bobrowska
2
Ekonomia matematyczna II
W modelu wzrostu Harroda-Domara zakłada si
ę
,
Ŝ
e ka
Ŝ
da zmiana rocznej stopy strumienia
inwestycji
)
(t
I
(
dt
dK
≡
) wpływa na ukształtowanie si
ę
zagregowanego popytu (efekt popytowy),
a tak
Ŝ
e na zdolno
ś
ci produkcyjne gospodarki. Efekt popytowy jest natychmiastowy i powstaje za
po
ś
rednictwem procesu mno
Ŝ
nikowego. Mno
Ŝ
nik wynosi
const
s
k
=
=
1
, gdzie s oznacza dan
ą
kra
ń
cow
ą
skłonno
ść
do oszcz
ę
dzania. Wpływ zmiany stopy strumienia inwestycji
)
(t
I
na stop
ę
strumienia dochodów
)
(t
Y
mo
Ŝ
na zapisa
ć
za pomoc
ą
równo
ś
ci:
s
dt
dI
dt
dY
1
=
,
któr
ą
to równo
ść
interpretujemy nast
ę
puj
ą
co:
wzrost (spadek) stopy strumienia inwestycji
)
(t
I
powoduje wzrost (spadek) stopy strumienia
dochodów
)
(t
Y
o dan
ą
s
1
cz
ęść
przyrostu
)
(t
I
.
O
)
(t
I
zakłada si
ę
ponadto,
Ŝ
e jest jedynym strumieniem wydatków wpływaj
ą
cym na stop
ę
strumienia dochodu
)
(t
Y
.
Je
Ŝ
eli chodzi o wpływ zmiany rocznej stopy strumienia inwestycji
)
(t
I
na zdolno
ś
ci produkcyjne,
to mierzy si
ę
go przy pomocy zmiany stopy potencjalnej produkcji. Produkcja potencjalna to produkcja
jak
ą
gospodarka jest w stanie wytworzy
ć
, czyli produkcja przy optymalnym wykorzystaniu mocy
produkcyjnych oraz czynników produkcji: zasobów kapitału, siły roboczej oraz ziemi.
W modelu Harroda-Domara zakłada si
ę
,
Ŝ
e stosunek mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjnych
κ
do kapitału
K
jest stały i wynosi
ρ
:
ρ
κ
≡
K
.
Stała proporcja wydajno
ś
ci i kapitału oznacza,
Ŝ
e gdy dany jest zasób kapitału
)
(t
K
, to
gospodarka jest w stanie osi
ą
gn
ąć
w skali roku produkcj
ę
(dochód) na poziomie
K
ρ
.
Przekształcaj
ą
c wyj
ś
ciow
ą
to
Ŝ
samo
ść
ρ
κ
≡
K
, mamy bowiem:
K
ρ
κ
≡
(funkcja produkcji).
dr Agnieszka Bobrowska
3
Ekonomia matematyczna II
Ró
Ŝ
niczkuj
ą
c obie strony powy
Ŝ
szej równo
ś
ci po
t
otrzymujemy:
dt
dK
dt
d
ρ
κ
=
.
Poniewa
Ŝ
jednak
)
(t
I
dt
dK
≡
, wi
ę
c:
)
(t
I
dt
dK
dt
d
ρ
ρ
κ
=
=
.
W omawianym modelu stan równowagi jest zdefiniowany jako sytuacja, w której zagregowany
popyt równa si
ę
potencjalnej rocznej produkcji, czyli gdy mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjne s
ą
w pełni
wykorzystywane. Warunek równowagi zapisujemy zatem w postaci:
κ
=
Y
.
Je
Ŝ
eli zało
Ŝ
ymy,
Ŝ
e w chwili pocz
ą
tkowej gospodarka znajduje si
ę
w stanie równowagi, wówczas
warunek równowagi doprowadza nas do kolejnego wniosku o zrównowa
Ŝ
eniu odpowiednich zmian
mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjnych i zagregowanego popytu:
dt
d
dt
dY
κ
=
.
W tym momencie nale
Ŝ
y zada
ć
sobie pytanie o rodzaj
ś
cie
Ŝ
ki czasowej dla inwestycji
)
(t
I
.
Interesuje nas bowiem taka posta
ć
ś
cie
Ŝ
ki, która spełniałaby warunek równowagi w ka
Ŝ
dym
momencie. Aby j
ą
znale
źć
podstawiamy do ostatniej równo
ś
ci za
dt
dY
, wyra
Ŝ
enie
s
dt
dI 1
, a za
dt
d
κ
,
wyraŜeni I
ρ
, sk
ą
d otrzymujemy równanie ró
Ŝ
niczkowe pierwszego rz
ę
du jednorodne postaci:
I
s
dt
dI
ρ
=
1
, czyli
s
dt
dI
I
ρ
=
1
.
Całkuj
ą
c wzgl
ę
dem
t
obie strony ostatniego równania otrzymujemy:
c
st
I
+
=
ρ
ln
,
+
∈
R
c
.
Wykorzystuj
ą
c własno
ść
liczby
e
:
a
e
a
ln
=
, otrzymujemy:
st
c
st
I
Ae
I
e
e
ρ
ρ
=
⇒
=
+
)
(
ln
, gdzie
c
e
A
≡
.
dr Agnieszka Bobrowska
4
Ekonomia matematyczna II
Je
Ŝ
eli przyjmiemy,
Ŝ
e inwestycje s
ą
dodatnie (
I
I
=
) oraz
Ŝ
e
A
Ae
I
=
=
0
)
0
(
, wówczas
ś
cie
Ŝ
ka
inwestycji przyjmuje posta
ć
:
st
e
I
t
I
ρ
)
0
(
)
(
=
,
gdzie:
)
0
(
I
- pocz
ą
tkowa stopa inwestycji.
Wykres szukanej
ś
cie
Ŝ
ki czasowej dla inwestycji
)
(t
I
przedstawia rysunek 3.1.
Rys. 3.1.
Ś
cie
Ŝ
ka czasowa inwestycji
I
danych wzorem
st
e
I
t
I
ρ
)
0
(
)
(
=
.
Wniosek:
1. Aby w gospodarce utrzymany został stan równowagi pomi
ę
dzy produkcj
ą
potencjalna
a zagregowanym popytem, stopa strumienia inwestycji musi mie
ć
wzrost wykładniczy o stopie
równej
s
ρ
, gdzie
ρ
oznacza proporcj
ę
mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjnych i kapitału, a
s
to kra
ń
cowa
skłonno
ść
do oszcz
ę
dzania.
2. Ponadto im wi
ę
ksze b
ę
d
ą
warto
ś
ci
ρ
i
s
, tym wi
ę
ksza b
ę
dzie wymagana stopa wzrostu.
Uwaga:
Rzeczywista stopa wzrostu inwestycji mo
Ŝ
e si
ę
ró
Ŝ
ni
ć
od wymaganej.
t
)
(t
I
0
st
e
I
t
I
ρ
)
0
(
)
(
=
)
0
(
I
dr Agnieszka Bobrowska
5
Ekonomia matematyczna II
Załó
Ŝ
my zatem,
Ŝ
e prawdziwa stopa wzrostu inwestycji wynosi
s
r
ρ
≠
. Oznaczmy przez
u
współczynnik stopnia wykorzystania mocy wytwórczych okre
ś
lony w nast
ę
puj
ą
cy sposób:
)
(
)
(
lim
t
t
Y
u
t
κ
∞
→
=
.
Poka
Ŝ
emy,
Ŝ
e
s
r
u
ρ
=
, przy czym:
•
s
r
u
ρ
=
⇔
=
1
oznacza pełne wykorzystanie mocy produkcyjnych,
•
s
r
u
ρ
>
⇔
>
1
oznacza niedobór zdolno
ś
ci produkcyjnych,
•
s
r
u
ρ
<
⇔
<
1
oznacza nadwy
Ŝ
k
ę
zdolno
ś
ci produkcyjnych.
Poniewa
Ŝ
zało
Ŝ
yli
ś
my,
Ŝ
e prawdziwa stopa wzrostu inwestycji wynosi
r
, to:
rt
e
I
t
I
)
0
(
)
(
=
.
Ró
Ŝ
niczkuj
ą
c obustronnie to równanie wzgl
ę
dem
t
otrzymujemy:
rt
e
rI
dt
dI
)
0
(
=
.
Na mocy warunków z modelu Harroda-Domara i dwóch powy
Ŝ
szych równa
ń
mamy:
rt
e
I
s
dt
dI
dt
dY
)
0
(
s
r
1
=
=
oraz
rt
e
I
t
I
dt
d
)
0
(
)
(
ρ
ρ
κ
=
=
.
St
ą
d stosunek pochodnej
dt
dY
do
pochodnej
dt
d
κ
,
okre
ś
laj
ą
cy
wielko
ś
ci
wzgl
ę
dne
efektu
popytowego zmiany inwestycji
)
(t
I
i efektu zmiany
)
(t
I
dla mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjnych, w ka
Ŝ
dej
chwili
t
, przy stopie wzrostu inwestycji równej
r
wynosi:
s
r
dt
d
dt
dY
ρ
κ
=
.
dr Agnieszka Bobrowska
6
Ekonomia matematyczna II
Pokazali
ś
my zatem,
Ŝ
e współczynnik
s
r
u
ρ
=
, co wi
ę
cej, wykazali
ś
my,
Ŝ
e równo
ść
ta zachodzi nie
tylko dla
∞
→
t
, ale obowi
ą
zuje w ka
Ŝ
dym momencie
t
.
Je
Ŝ
eli wymagana stopa inwestycji
s
ρ
jest mniejsza od stopy
r
, wówczas efekt dochodowy
dt
dY
b
ę
dzie przewy
Ŝ
szał efekt dla mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjnych
dt
d
κ
, co przyczyni si
ę
do powstania
niedoborów mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjnych.
W przypadku, gdy wymagana stopa inwestycji
s
ρ
jest wi
ę
ksza od stopy rzeczywistej
r
, wtedy
efekt dla mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjnych
dt
d
κ
b
ę
dzie przewy
Ŝ
szał efekt dochodowy
dt
dY
, co oznacza,
Ŝ
e
popyt zagregowany oka
Ŝ
e si
ę
niewystarczaj
ą
cy, a co za tym idzie moce produkcyjne nie zostan
ą
w pełni wykorzystane.
Otrzymane wyniki wydaj
ą
si
ę
do
ść
paradoksalne. We
ź
my dla przykładu przedsi
ę
biorc
ę
, któremu
pozwalamy dostosowa
ć
stop
ę
wzrostu inwestycji
r
do mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjnych.
W przypadku, gdy
r
s
<
ρ
, czyli gdy ma miejsce niedobór mo
Ŝ
liwo
ś
ci produkcyjnych, przedsi
ę
biorca
ten zapewne podj
ą
łby decyzj
ę
o dodatkowych inwestycjach, co spowodowałby najmniej w tym
momencie potrzebny wzrost
r
, a w konsekwencji jeszcze wi
ę
kszy niedobór mo
Ŝ
liwo
ś
ci
produkcyjnych.
Jedynym rozs
ą
dnym rozwi
ą
zaniem problemu niedoborów lub nadwy
Ŝ
ek mocy produkcyjnych, jest
pokierowanie strumienia inwestycji wzdłu
Ŝ
ś
cie
Ŝ
ki równowagi ze stop
ą
wzrostu
s
r
ρ
=
. Jakakolwiek
rozbie
Ŝ
no
ść
mi
ę
dzy stanem faktycznym zmian w przebiegu strumienia inwestycji a stanem
oczekiwanym uniemo
Ŝ
liwi spełnienie postulatu pełnego wykorzystania zdolno
ś
ci produkcyjnych,
zawartej w modelu Harroda-Domara.
Nieco bardziej elastyczne wyniki daje model Solowa, o którym jest mowa w kolejnym podrozdziale.
3.2. Neoklasyczny model Solowa
2
Model wzrostu Solowa, który przedstawimy w tym podrozdziale, ró
Ŝ
ni si
ę
od omówionego ju
Ŝ
modelu Harroda-Domara przede wszystkim zało
Ŝ
eniami o funkcji produkcji.
W modelu Harroda-Domara produkcja była funkcj
ą
jedynie kapitału, natomiast w modelu Solowa
produkcja jest funkcj
ą
zarówno kapitału, jak i nakładów pracy, które mog
ą
by
ć
poł
ą
czone w zmiennych
proporcjach.
Wprowad
ź
my zatem nast
ę
puj
ą
ce oznaczenia:
Q
- wielko
ść
produkcji w gospodarce,
2
Charakterystyk
ę
modelu przygotowano na podstawie A.C. Chiang: Podstawy ekonomii matematycznej, PWE,
Warszawa 1994, s. 495 i dalsze, D. Romer: Makroekonomia dla zaawansowanych, PWN, Warszawa 2000,
rozdział 1, M. Garbicz, E. Golachowski, Elementarne modele makroekonomiczne, Szkoła Główna Handlowa,
Warszawa 1996, rozdział 9
dr Agnieszka Bobrowska
7
Ekonomia matematyczna II
K
- nakłady kapitału,
L
- nakłady pracy.
Przy tych oznaczeniach funkcja produkcji w modelu Solowa ma nast
ę
puj
ą
c
ą
posta
ć
:
)
,
(
L
K
f
Q
=
.
Przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e kapitał
K
i zasoby siły roboczej
L
s
ą
funkcjami czasu, natomiast funkcja
produkcji
Q
jest stała w czasie.
O funkcji
f
zakłada si
ę
ponadto,
Ŝ
e jest liniowo jednorodna, co oznacza stałe przychody skali.
Ponadto przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e pochodne cz
ą
stkowe
L
f
K
f
∂
∂
∂
∂
,
s
ą
dodatnie (dodatnie produkty kra
ń
cowe),
natomiast pochodne cz
ą
stkowe
2
2
2
2
,
L
f
K
f
∂
∂
∂
∂
s
ą
ujemne (malej
ą
ce przychody dla ka
Ŝ
dego czynnika).
Ze wzgl
ę
du na liniow
ą
jednorodno
ść
funkcji
f
, funkcj
ę
produkcji mo
Ŝ
na zapisa
ć
w postaci:
)
(
1
,
k
L
L
K
Lf
Q
ϕ
=
=
, gdzie
L
K
k
≡
,
gdzie:
ϕ
- funkcja jednoargumentowa,
k
- techniczne uzbrojenie pracy, inaczej koszt stanowiska pracy.
Nale
Ŝ
y podkre
ś
li
ć
,
Ŝ
e je
Ŝ
eli funkcja produkcji
)
,
(
L
K
f
Q
=
jest liniowo jednorodna, wówczas
kra
ń
cowe produkty kapitału i pracy:
K
Q
MPP
K
∂
∂
≡
i
L
Q
MPP
L
∂
∂
≡
mo
Ŝ
na wyrazi
ć
jako funkcje
samego
k
:
)
(
'
'
1
'
k
L
K
L
L
K
L
K
L
K
L
K
L
K
L
K
Q
MPP
K
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
⋅
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
≡
)
(
'
)
(
'
'
2
k
k
k
L
K
L
K
L
K
L
K
L
K
L
L
K
L
L
K
L
L
L
K
L
L
Q
MPP
L
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
−
+
=
=
−
⋅
+
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
≡
dr Agnieszka Bobrowska
8
Ekonomia matematyczna II
Z zało
Ŝ
e
ń
o pochodnych cz
ą
stkowych po
K
z funkcji produkcji
)
,
(
L
K
f
Q
=
i z tego,
Ŝ
e:
k
K
Q
∂
∂
=
∂
∂
ϕ
oraz
2
2
2
2
1
k
L
K
Q
∂
∂
⋅
=
∂
∂
ϕ
.
mamy:
0
,
0
2
2
<
∂
∂
>
∂
∂
k
k
ϕ
ϕ
.
Zatem funkcja
ϕ
jest rosn
ą
c
ą
funkcj
ą
k
, ale tempo wzrostu jest malej
ą
ce.
W modelu Solowa zakłada si
ę
,
Ŝ
e w gospodarce inwestowana jest stała cz
ęść
Q
, a wielko
ść
siły
roboczej ro
ś
nie wykładniczo, co zapisujemy w postaci warunków:
(I)
sQ
dt
dK
I
=
=
,
gdzie:
s
- stała okre
ś
laj
ą
ca kra
ń
cow
ą
skłonno
ść
do oszcz
ę
dzania
(II)
(
)
0
;
>
=
λ
λ
L
dt
dL
,
gdzie:
λ
- stopa wzrostu siły roboczej (stała).
Warunki (I) i (II) wraz z funkcj
ą
produkcji wyra
Ŝ
on
ą
przy u
Ŝ
yciu funkcji
ϕ
stanowi
ą
całkowity model
Solowa, czyli:
(
)
>
=
∈
=
=
=
0
,
)
1
;
0
(
,
),
(
λ
λ
ϕ
L
dt
dL
s
sQ
dt
dK
L
K
k
k
L
Q
Podstawiaj
ą
c pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy:
)
(k
sL
dt
dK
ϕ
=
.
dr Agnieszka Bobrowska
9
Ekonomia matematyczna II
Poniewa
Ŝ
dana jest to
Ŝ
samo
ść
kL
K
≡
, st
ą
d po jej zró
Ŝ
niczkowaniu i podstawieniu do powy
Ŝ
szej
równo
ś
ci mamy:
)
(k
sL
dt
dL
k
L
dt
dk
ϕ
=
+
.
Z trzeciego równania wiemy natomiast,
Ŝ
e
L
dt
dL
λ
=
. Zatem ostatecznie otrzymujemy:
)
(k
sL
L
k
L
dt
dk
ϕ
λ
=
+
.
Po wyeliminowaniu wspólnego dla wszystkich elementów tego równania zmiennej
L
i odpowiednim
przekształceniu otrzymujemy równanie ró
Ŝ
niczkowe wzgl
ę
dem
k
z dwoma parametrami
λ
,
s
:
k
k
s
dt
dk
λ
ϕ
−
=
)
(
,
b
ę
d
ą
ce podstawowym równaniem modelu Solowa.
Ze wzgl
ę
du na ogóln
ą
posta
ć
funkcji
ϕ
wyst
ę
puj
ą
cej w tym równaniu, niemo
Ŝ
liwe jest otrzymanie
konkretnego rozwi
ą
zania i tym samym niemo
Ŝ
liwa staje si
ę
jego analiza ilo
ś
ciowa. Mo
Ŝ
emy jednak
dokona
ć
graficznej analizy jako
ś
ciowej równania ró
Ŝ
niczkowego poprzez sporz
ą
dzenie wykresu linii
fazowej z
k
na osi rz
ę
dnych i z pochodn
ą
k
na osi odci
ę
tych.
Praw
ą
stron
ę
rozwa
Ŝ
anego równania ró
Ŝ
niczkowego mo
Ŝ
emy potraktowa
ć
jako dwie oddzielne
funkcje
k
i narysowa
ć
ich wykresy (rysunek 3.2.):
k
k
h
h
k
s
k
h
h
λ
ϕ
=
=
=
=
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
.
Wykres pierwszej funkcji ma posta
ć
krzywej rosn
ą
cej w coraz wolniejszym stopniu, co wynika
z zało
Ŝ
e
ń
o pochodnych z funkcji
ϕ
(pami
ę
tamy przy tym,
Ŝ
e
s
jest pewn
ą
stał
ą
). Natomiast
wykresem drugiej funkcji jest prosta przechodz
ą
ca przez pocz
ą
tek układu współrz
ę
dnych i nachyleniu
równym
λ
. Przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e wykresy obu funkcji przecinaj
ą
si
ę
w pewnym dodatnim punkcie, czyli
Ŝ
e
istnieje zbiór warto
ś
ci
k
, dla których krzywa
)
(k
s
ϕ
przebiega powy
Ŝ
ej prostej
k
λ
. Punkt przeci
ę
cia
krzywych oznaczony został na rysunku 3.2. symbolem
k
.
Dodatkowo mo
Ŝ
na zało
Ŝ
y
ć
,
Ŝ
e aby efekt produkcyjny był dodatni konieczne s
ą
nakłady kapitału.
Wówczas wykres pierwszej funkcji rozpoczyna si
ę
w pocz
ą
tku układu współrz
ę
dnych. Maj
ą
c wykresy
funkcji
1
h
oraz
2
h
mo
Ŝ
na przyst
ą
pi
ć
do sporz
ą
dzenia wykresu szukanej linii fazowej, które sprowadza
si
ę
do wyznaczenia warto
ś
ci
dt
dk
dla ka
Ŝ
dej warto
ś
ci
k
i zaznaczenia ich na wykresie. Warto
ś
ci
dt
dk
dr Agnieszka Bobrowska
10
Ekonomia matematyczna II
otrzymujemy odejmuj
ą
c od warto
ś
ci
)
(k
s
ϕ
warto
ść
k
λ
. Szukan
ą
lini
ę
fazow
ą
przedstawia rysunek
3.3.
Zauwa
Ŝ
my,
Ŝ
e w punkcie, w którym proporcja kapitału i pracy wynosi
k
, czyli w punkcie przeci
ę
cia
si
ę
dwóch krzywych na rysunku 3.2., linia fazowa przecina o
ś
rz
ę
dnych, co oznacza,
Ŝ
e
k
jest
mi
ę
dzyokresowym poło
Ŝ
eniem równowagi dla proporcji kapitału i pracy. Nachylenie linii fazowej
w punkcie
k
jest ujemne. Wynika st
ą
d,
Ŝ
e dla ka
Ŝ
dej warto
ś
ci pocz
ą
tkowej
k
dynamiczny ruch
w modelu musi prowadzi do poło
Ŝ
enia równowagi
k
, co oznacza,
Ŝ
e jest ono stabilne.
Rys.3.2. Wykresy funkcji
1
h
i
2
h
.
.
Rys.3.3. Linii fazowa równania ró
Ŝ
niczkowego
k
k
s
dt
dk
λ
ϕ
−
=
)
(
.
k
0
k
k
k
s
dt
dk
λ
ϕ
−
=
)
(
k
0
k
k
λ
)
(k
s
ϕ
2
1
, h
h
dt
dk
dr Agnieszka Bobrowska
11
Ekonomia matematyczna II
Wnioski:
1. Gospodarka w pewnym momencie osi
ą
gnie stan równowagi (tj. kiedy proporcja kapitału i pracy
jest stała). Aby ten stan si
ę
utrzymał, kapitał i praca musz
ą
wzrasta
ć
w tym samym stopniu, tzn.
ze stop
ą
wzrostu równ
ą
λ
(stop
ą
wzrostu siły roboczej).
2. Inwestycje netto musz
ą
rosn
ąć
z t
ą
sam
ą
stop
ą
wzrostu co kapitał, czyli ze stop
ą
λ
.
3. Produkcja
Q
wzrasta z t
ą
sam
ą
stop
ą
wzrostu co praca, o ile proporcja kapitału i pracy jest
stała (wynika to z postaci funkcji produkcji:
)
(k
L
Q
ϕ
=
).
Uwaga:
Zaprezentowana graficzna analiza jako
ś
ciowa dotyczy przypadku funkcji produkcji stałej w czasie.
(zało
Ŝ
enie braku mo
Ŝ
liwo
ś
ci rozwoju technologicznego).
Chc
ą
c uwzgl
ę
dni
ć
post
ę
p technologiczny, nale
Ŝ
y odpowiednio zmodyfikowa
ć
funkcj
ę
produkcji np.
poprzez wprowadzenie funkcji zmian technologicznych
T
jako rosn
ą
cej funkcji czasu. Wówczas
funkcja produkcji mo
Ŝ
e zosta
ć
zapisana w postaci:
>
=
0
),
,
(
)
(
dt
dT
L
K
f
t
T
Q
.
Uwzgl
ę
dnienie post
ę
pu technologicznego jest bardzo wa
Ŝ
ne i oznacza,
Ŝ
e dla tych samych
wielko
ś
ci
L
K ,
, wielko
ść
produkcji w chwili
t
t
>
'
b
ę
dzie wi
ę
ksza ni
Ŝ
w chwili
t
. Poza tym na skutek
rozwoju technologii nast
ę
puje wzrost wyposa
Ŝ
enia kapitałowego przypadaj
ą
cego na jednego
pracownika (uzbrojenia technicznego pracy), co z kolei powoduje wzrost wydajno
ś
ci pracy.
Analiza jako
ś
ciowa modelu Solowa pozwala na wyci
ą
gniecie jedynie ogólnych wniosków
dotycz
ą
cych warunków istnienia wzrostu zrównowa
Ŝ
onego. Przyj
ę
cie w modelu okre
ś
lonej funkcji
produkcji pozwala znale
źć
konkretne rozwi
ą
zanie ilo
ś
ciowe i przeprowadzi
ć
szczegółow
ą
analiz
ę
ilo
ś
ciow
ą
.
Przyjmijmy,
Ŝ
e funkcja produkcji jest liniowo jednorodn
ą
funkcj
ą
produkcji Cobba-Douglasa postaci:
α
α
α
α
Lk
L
K
L
L
K
Q
=
=
=
−
1
.
Sytuacj
ę
, w której produkcja
Q
, kapitał
K
, siła robocza
L
oraz inwestycje netto
I
maj
ą
identyczn
ą
stop
ę
wzrostu równ
ą
(danej) stopie wzrostu siły roboczej
λ
nazywamy
stanem
wzrostu zrównowa
Ŝ
onego
.
dr Agnieszka Bobrowska
12
Ekonomia matematyczna II
W modelu Solowa z funkcj
ą
produkcji Cobba-Douglasa, funkcja
ϕ
przyjmuje posta
ć
α
ϕ
k
k
=
)
(
.
Wynika st
ą
d nast
ę
puj
ą
ca posta
ć
podstawowego równania modelu Solowa:
k
sk
dt
dk
λ
α
−
=
.
Po przekształceniu otrzymujemy równanie Bernoulliego wzgl
ę
dem zmiennej
k
:
α
λ
sk
k
dt
dk
=
+
.
Stosujemy zatem nast
ę
puj
ą
ce podstawienie:
α
−
=
1
k
z
.
Ró
Ŝ
niczkuj
ą
c je obustronnie po
t
otrzymujemy:
dt
dk
k
dt
dz
α
α
−
−
=
)
1
(
.
St
ą
d:
dt
dz
k
dt
dk
α
α
−
=
1
.
Podstawiaj
ą
c ostatni uzyskany wynik do wyj
ś
ciowego równania Bernoulliego, a nast
ę
pnie
przemna
Ŝ
aj
ą
c to równanie obustronnie przez
α
α
k
−
1
, otrzymujemy równanie ró
Ŝ
niczkowe liniowe
niejednorodne o stałych współczynnikach
λ
α
)
1
(
−
i
s
)
1
(
α
−
o postaci:
s
z
dt
dz
)
1
(
)
1
(
α
λ
α
−
=
−
+
.
Rozwi
ą
zaniem powy
Ŝ
szego równania jest funkcja
z
postaci:
λ
λ
λ
α
s
e
s
z
t
z
t
+
−
=
−
−
)
1
(
)
0
(
)
(
.
Wracaj
ą
c do podstawienia
α
−
=
1
k
z
otrzymujemy ostateczn
ą
posta
ć
rozwi
ą
zania równania
Bernoulliego, okre
ś
laj
ą
cego
ś
cie
Ŝ
k
ę
czasowa dla
k
, a mianowicie:
λ
λ
λ
α
α
α
s
e
s
k
k
t
+
−
=
−
−
−
−
)
1
(
1
1
)
0
(
,
gdzie:
dr Agnieszka Bobrowska
13
Ekonomia matematyczna II
)
0
(
k
- pocz
ą
tkowa warto
ść
Chc
ą
c zbada
ć
stabilno
ść
tego rozwi
ą
zania liczymy granic
ę
z
k
, przy
∞
→
t
. Poniewa
Ŝ
λ
α
s
k
t
=
−
∞
→
1
lim
, wi
ę
c
∞
<
=
−
∞
→
α
λ
1
lim
s
k
t
. Pokazali
ś
my zatem,
Ŝ
e rozwi
ą
zanie jest dynamicznie
stabilne. Zatem proporcja kapitału i pracy dla stanu wzrostu zrównowa
Ŝ
onego w modelu Solowa
z liniowo jednorodn
ą
funkcj
ą
Cobba-Douglasa wynosi
α
λ
−
1
s
. Proporcja kapitału i pracy w stanie
równowagi jest proporcjonalna do skłonno
ś
ci do oszcz
ę
dzania
s
i odwrotnie proporcjonalna do stopy
wzrostu siły roboczej
λ
.
Podsumowanie:
1. Model Harroda-Domara jest klasycznym modelem wzrostu, przedstawiaj
ą
cym
ś
cie
Ŝ
ki czasowe
zmian kapitału i inwestycji przy zało
Ŝ
eniu pełnego zatrudnienia w gospodarce, jakie musz
ą
wyst
ą
pi
ć
, aby gospodarka mogła si
ę
znale
źć
w stanie równowagi.
2. Wyj
ś
ciowym zało
Ŝ
eniem w modelu Harroda-Domara jest stała relacja produkcji do kapitału przy
pełnym wykorzystaniu mocy produkcyjnych.
3. Z analizy modelu wynika,
Ŝ
e rozwój gospodarczy odbywa si
ę
w sposób zrównowa
Ŝ
ony tylko
wtedy, gdy faktyczna stopa wzrostu inwestycji jest równa wymaganej (wynikaj
ą
cej z modelu).
4. Model Solowa charakteryzuj
ą
mniej ostre zało
Ŝ
enia ni
Ŝ
model Harroda-Domara.
5. W modelu tym produkcja jest funkcj
ą
zarówno kapitału, jak i nakładów pracy, które mog
ą
by
ć
poł
ą
czone w zmiennych proporcjach, kiedy w modelu Harroda-Domara produkcja była funkcj
ą
jedynie kapitału.
6. W modelu Solowa mo
Ŝ
na przyj
ąć
rozmaite postaci funkcji produkcji, np. rozwa
Ŝ
an
ą
w wykładzie
funkcj
ę
Cobba-Douglasa.
7. Wyznaczona w modelu Solowa
ś
cie
Ŝ
ka czasowa technicznego uzbrojenia pracy jest
dynamicznie stabilna.
dr Agnieszka Bobrowska
14
Ekonomia matematyczna II
Pytania kontrolne:
1. Przytocz podstawowe zało
Ŝ
enia modelu Harroda-Domara.
2. Jaka zale
Ŝ
no
ść
wyst
ę
puje w modelu Harroda-Domara pomi
ę
dzy inwestycjami netto a kapitałem
w chwili
t
?
3. Dlaczego, je
Ŝ
eli w gospodarce faktyczna stopa wzrostu inwestycji ró
Ŝ
ni si
ę
od wymaganej, to
gospodarka nie osi
ą
ga równowagi stabilnej?
4. Podaj podstawowe zało
Ŝ
enia modelu Solowa.
5. Jak definiowane jest w modelu Solowa z funkcj
ą
produkcji Cobba-Douglasa techniczne
uzbrojenie pracy?
6. Jak rozumie si
ę
dynamiczn
ą
stabilno
ść
stanu równowagi?