LOGIKA
wykład 5
VI. Klasyczny rachunek kwantyfikatorów c.d.
VII. Sylogistyka Arystotelesa
VIII. Wynikanie logiczne, a wynikanie analityczne
LOGIKA
wykład 5
VI. Klasyczny rachunek kwantyfikatorów c.d.
VII. Sylogistyka Arystotelesa
VIII. Wynikanie logiczne, a wynikanie analityczne
Wyrażenia o tej własności nazywamy tautologiami k.r.k., a zatem:
Tautologią klasycznego rachunku kwantyfikatorów nazywamy
takie i tylko takie wyrażenie tego rachunku, które jest schematem
wyłącznie zdań prawdziwych.
Wobec tego wyrażenie, które jest schematem niektórych zdań fałszywych nie jest
tautologią k.r.k.
Ponieważ język k.r.k. jest nadbudowany nad językiem k.r.z., zbiór
tautologii k.r.k. zawiera w sobie zbiór tautologii k.r.z.
Zatem pojęcie tautologii k.r.k. można utożsamić z pojęciem tautologii
klasycznego rachunku logicznego (k.r.1.).
W jaki sposób można rozstrzygnąć, czy dane wyrażenie jest, czy nie jest
tautologią?
Jeżeli takie wyrażenie jest podstawieniem pewnej tautologii k.r.z., to na
pewno jest też tautologią k.r.l.
Tak jest przykładowo w przypadku wyrażeń:
które są odpowiednio podstawieniami tautologii k.r.z.:
oraz
)
(
)
(
x
P
x
P
x
x
)]
(
)
,
(
[
)
(
x
P
y
x
R
x
P
x
y
x
x
p
p
.
)
(
p
q
p
Natomiast poprzednio badane wyrażenie:
nie jest podstawieniem żadnej tautologii k.r.z.
Na drodze czysto intuicyjnej analizy struktury tego wyrażenia udało nam się ustalić, że
jest ono wyłącznie schematem zdań prawdziwych, czyli że jest tautologią logiczną.
W podobny sposób możemy analizować inne wyrażenia, np.:
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
x
Q
x
P
x
Q
x
P
x
x
x
)
,
(
)
,
(
y
x
R
y
x
R
x
y
y
x
Wyrażenie to byłoby schematem pewnego zdania fałszywego, gdyby poprzednik tego
zdania był prawdziwy a następnik fałszywy, tzn. gdyby pewien obiekt był w relacji R
ze wszystkimi obiektami z danej dziedziny rzeczywistości i zarazem nie byłoby
prawdą, że wszystkie obiekty są w tej relacji z pewnymi obiektami.
Taka sytuacja jest jednak niemożliwa, gdyż prawdziwość poprzednika gwarantuje
prawdziwość następnika. Jeżeli pewien obiekt pozostaje w relacji R ze wszystkimi
obiektami, to jakikolwiek obiekt byśmy wybrali, będzie on pozostawał w tej relacji z
tym obiektem, którego istnienie gwarantuje poprzednik implikacji.
Zatem dla dowolnego obiektu istnieje taki obiekt, który jest z nim w relacji. Przy
prawdziwym poprzedniku następnik nie może być fałszywy. Implikacja ta jest
schematem wyłącznie zdań prawdziwych, jest zatem tautologią k.r.l.
Także wyrażenie:
jest tautologią k.r.l.
Jeżeli każdy obiekt ma własność P, to nie istnieją obiekty, które nie mają tej własności.
Jest to całkowicie oczywiste intuicyjnie.
Ta procedura intuicyjnej analizy struktury wyrażeń nie da się jednak
zastosować w ogólnym przypadku.
Czy istnieje zatem jakaś efektywna metoda (
w rodzaju metody zero-
jedynkowej dla rachunku zdań
) służąca do rozstrzygania tautologiczności
k.r.l.?
)
(
)
(
x
P
x
P
x
x
Niestety nie istnieją żadne algorytmy pozwalające rozstrzygnąć, czy
dane wyrażenie k.r.l. jest tautologią logiczną.
Stosunkowo prosto można jednak udowodnić, że dane wyrażenie nie
jest tautologią logiczną, bowiem wystarczy w tym celu podać jedno
zdanie fałszywe, którego schematem jest dane wyrażenie.
Zilustrujemy ten fakt kilkoma przykładami.
•
Wyrażenie:
jest schematem fałszywego zdania:
Jeżeli każdy człowiek ma swoją matkę, to istnieje matka wszystkich ludzi.
Wyrażenie to nie jest zatem tautologia logiczną.
•
Tautologią nie jest także wyrażenie:
albowiem jest schematem fałszywego zdania:
Jeżeli każdy człowiek jest swoim rówieśnikiem, to każdy człowiek jest
rówieśnikiem każdego człowieka.
)
,
(
)
,
(
y
x
R
y
x
R
y
x
y
x
)
,
(
)
,
(
y
x
R
x
x
R
y
x
x
•
Również nie jest tautologią wyrażenie:
Jest ono bowiem schematem fałszywego zdania:
Jeżeli, jeżeli każdy człowiek jest leworęczny, to każdy człowiek jest blondynem,
to każdy człowiek leworęczny jest blondynem.
Przy takiej interpretacji powyższego schematu mamy:
i całe wyrażenie jest fałszywe (
„ ”
).
Wobec powyższego badany schemat nie jest tautologią k.r.l.
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
x
Q
x
P
x
Q
x
P
x
x
x
0
)])
(
)
(
[
(
WL
i
0
))
(
(
WL
i
0
))
(
(
WL
x
Q
x
P
x
Q
x
P
x
x
x
0
)
0
0
(
VII. Sylogistyka Arystotelesa
Zdaniami kategorycznymi nazywamy zdania o schematach:
Każde S jest P.
(
ogólnotwierdzące
)
Żadne S nie jest P.
(
ogólnoprzeczące
)
Niektóre S są P.
(
szczegółowotwierdzące
)
Niektóre S nie są P.
(
szczegółowoprzeczące
)
Występujące w tych schematach zwroty: każde ... jest ... ; żadne ... nie
jest ... ; niektóre ... są ... ; niektóre ... nie są ... są w odpowiadających
sobie schematach wyrażone poprzez strukturę tych schematów
określoną miejscem kwantyfikatorów: , funktorów: oraz
wyrażeń predykatywnych
P(x)
i
Q(x).
VI.1 Zdania kategoryczne
,
,
,
Możemy bowiem schematy tych zdań odpowiednio zapisać:
(
S
a
P
)
(
S
e
P
)
(
S
i
P
)
(
S
o
P
)
Najstarszy system logiczny – sylogistyka Arystotelesa – był pomyślany jako teoria
związków logicznych, zachodzących między zdaniami kategorycznymi, będącymi
wyrażeniami atomicznymi, z których można za pomocą funktorów zdaniotwórczych o
argumentach zdaniowych budować wyrażenia złożone.
)]
(
)
(
[
x
Q
x
P
x
)]
(
)
(
[
x
Q
x
P
x
)]
(
)
(
[
x
Q
x
P
x
)]
(
)
(
[
x
Q
x
P
x
Arystoteles dopuszczał pewne połączenia takich wyrażeń atomicznych przy pomocy
funktorów implikacji, koniunkcji i negacji oraz niekiedy także równoważności.
Tezy sylogistyki Arystotelesa w zamyśle miały obejmować ogół schematów zdań
wyłącznie prawdziwych, wyrażonych w języku sylogistyki.
Przykładem wyrażenia poprawnie sformułowanego w języku sylogistyki
jest
Zastanówmy się, czy wyrażenie to jest schematem wyłącznie zdań
prawdziwych.
.
SiP
SaP
Rozważmy zatem zdanie:
Jeżeli każdy człowiek jest śmiertelny, to niektórzy ludzie są śmiertelni,
które jest niewątpliwie prawdziwe jako implikacja o prawdziwym
poprzedniku i prawdziwym następniku.
Niemniej musimy orzec, czy rzeczywiście jest tak, że każde zdanie o tym schemacie
jest prawdziwe.
Rozważmy więc inne zdanie:
Jeżeli każdy pegaz jest skrzydlaty, to istnieją pegazy skrzydlate.
Jest to zdanie fałszywe jako implikacja o prawdziwym poprzedniku i
fałszywym następniku.
Fałszywość następnika nie budzi wątpliwości, jako że pegazy nie
istnieją (nazwa pegaz jest nazwą pustą!). Z kolei poprzednik jest
prawdziwy, ponieważ nie istnieją pegazy nieskrzydlate.
Wobec powyższego wnosimy, że schemat nie powinien
być tezą sylogistyki, o ile takimi tezami miałyby być tylko schematy
przechodzące w zdania prawdziwe przy dowolnej interpretacji
występujących w nich zmiennych nazwowych.
Rozważany schemat przechodziłby jednak zawsze w zdanie prawdziwe,
gdyby zmienna
S
była interpretowana tylko w zbiorze nazw niepustych.
SiP
SaP
Łatwo jest zauważyć, że wyrażenie:
nie jest tautologią k.r.l.
Podobnie nie przy każdej interpretacji schemat sylogistyczny
a
przechodzi w zdanie prawdziwe.
Dołączenie do poprzedników tych implikacji założenia o niepustości
nazw, czyli utworzenie schematów:
prowadzi już jednak do schematów zdań prawdziwych przy dowolnej
(w także tym pustej) interpretacji.
SaP
SiP
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
x
P
x
S
x
P
x
S
x
x
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
)
(
x
P
x
S
x
P
x
S
x
S
x
x
x
SiP
SaP
SiS
Wśród tez sylogistyki Arystotelesa znajdują się prawa kwadratu
logicznego, prawami konwersji, obwersji, kontrapozycji oraz sylogizmy.
Prawa kwadratu logicznego opisują związki zachodzące między
zdaniami kategorycznymi o tych samych podmiotach i tych samych
orzecznikach.
Nazywane są one prawami kwadratu logicznego, ponieważ związki, o
których mowa, można przedstawić w postaci kwadratu jak na rysunku:
VI.2 Prawa kwadratu logicznego
Z rysunku tego można odczytać następujące związki między zdaniami
kategorycznymi:
SeP
SaP
SiP
SoP
przeciwne
podprzeciwne
po
dp
orząd
kowane
po
dp
orząd
kowane
1)
⊕
2)
⊕
3)
⊖ / ⊕
4)
⊖ / ⊕
5)
⊖ / ⊕
6)
⊖ / ⊕
Pierwsza i druga zależność jest prawdziwa przy dowolnej interpretacji zmiennych S,
P. Pozostałe zależności są prawdziwe tylko przy niepustej interpretacji zmiennej S.
)
(SoP
SaP
)
(SiP
SeP
SiP
SaP
SoP
SeP
)
(SeP
SaP
SoP
SiP)
(
Zależności 3) – 6) można przekształcić na prawdziwe przy dowolnej
interpretacji po dołączeniu do poprzedników założenia o niepustości
S:
S
i
S, czyli utworzeniu wyrażeń:
3')
⊕
4')
⊕
5')
⊕
6')
⊕
Schemat S i S, czyli niektóre S są S jest równoważny stwierdzeniu: istnieją S, czyli
założeniu niepustości nazwy S.
SiP
SaP
SiS
SoP
SeP
SiS
)
(SeP
SaP
SiS
SoP
SiP
SiS
)
(
Rozstrzyganiu poprawności tez sylogistyki służy metoda tzw.
diagramów Venna.
Diagram Venna jest to układ przecinających się kół reprezentujących
zakresy nazw ogólnych. W przypadku badania związków zachodzących
miedzy zakresami dwóch nazw ogólnych diagram Venna jest układem:
Koło S przedstawia zakres nazwy S, koło P – zakres nazwy P. Obszar 1 przedstawia
S będące P, obszar 2 przedstawia S nie będące P, a obszar 3 przedstawia P nie
będące S.
S
P
2 1 3
Obszary 1, 2, 3 mogą być puste bądź nie. Pustość danego obszaru
będziemy zaznaczali poprzez jego zakreślenie, a jego niepustość
poprzez umieszczenie w nim kropki. Dla przykładu diagram:
przedstawia sytuację, w której nie istnieją
P
nie będące
S, istnieją
S
będące
P
i istnieją
S
nie będące
P.
Prawdziwość oraz fałszywość wyrażeń atomicznych przedstawia
następująca tabela:
S
P
· ·
prawdziwe
fałszywe
S
a
P
S
e
P
S
i
P
S
o
P
S
P
P
S
P
S
P
·
·
S
P
S
P
P
S
S
P
·
·
S
Prześledźmy obecnie metodę sprawdzania prawdziwości praw kwadratu
logicznego przy użyciu diagramu Venna na przykładzie wyrażenia:
Wyrażenie to ma postać implikacji.
Zakładamy prawdziwość poprzednika, czyli wyrażenia , co jest
równoważne fałszywości wyrażenia S
i
P. Założenie to zaznaczamy na
diagramie Venna i otrzymujemy:
Następnie sprawdzamy, czy następnik S
o
P może być fałszywy.
SoP
SiP)
(
)
(SiP
P
S
Taka możliwość istnieje jedynie przy założeniu pustości nazwy
S.
Przy założeniu niepustości nazwy
S
następnik
S
o
P
byłby prawdziwy.
Wyrażenie 6) jest prawdziwe przy założeniu niepustości nazwy
S, nie
jest prawdziwe, gdy dopuszczamy, że nazwa
S
może być pusta.
Natomiast wyrażenie 6'), czyli: jest prawdziwe
przy dowolnej interpretacji nazw
P
oraz
S.
SoP
SiP
SiS
)
(
P
S
·
S
P
Dla interpretacji opisanej diagramem:
mamy:
co oznacza, że 6') jest prawdziwe (
„ ”
).
S
P
,
0
)
(
WL
i
1
))
(
(
WL
i
0
)
(
WL
SoP
SiP
SiS
0
)
0
1
0
(
Prawa
konwersji
opisują takie związki między zdaniami
kategorycznymi, w których porządek podmiotu i orzecznika jest
odwrócony.
Rozróżniamy tzw. prawa konwersji prostej, czyli wyrażenia:
7)
⊕
8)
⊕
oraz tzw. prawa konwersji z ograniczeniem, czyli wyrażenia:
9)
⊖ / ⊕
10)
⊖ / ⊕
VI.3 Inne tezy sylogistyki
PeS
SeP
PiS
SiP
PiS
SaP
PoS
SeP
Dzięki przedstawionej uprzednio tabeli widoczne jest, że lewe strony
schematów 7), 8) są prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe są
prawe strony tych schematów.
Również z tej samej tabeli można łatwo wywnioskować, że
•
zakładając niepustość nazwy
S
otrzymujemy, że jeżeli prawdziwe jest
S
a
P
, to również prawdziwe jest
P
i
S
,
•
natomiast zakładając niepustość nazwy P otrzymujemy, że jeżeli
prawdziwe jest
S
e
P
, to również prawdziwe jest
P
o
S
.
Dopuszczając podstawienie za zmienne nazw pustych należałoby
przeformułować prawa konwersji z ograniczeniem odpowiednio na:
9')
⊕
10')
⊕
PiS
SaP
SiS
PoS
SeP
PiP
Obwersją zdania kategorycznego nazywamy takie jego przekształcenie,
które polega na zamianie jego jakości (
z twierdzącego na przeczące lub na
odwrót
) z jednoczesnym zaprzeczeniem orzecznika. Okazuje się, że w
wyniku takiego przekształcenia otrzymujemy zdania logicznie
równoważne zdaniom wyjściowym.
W ten sposób otrzymujemy następujące prawa obwersji:
⊕
⊕
⊕
⊕
P
Si
SoP
P
So
SiP
P
Sa
SeP
P
Se
SaP
Kontrapozycją zdania kategorycznego nazywamy przekształcenie,
polegające na przestawieniu podmiotu z orzecznikiem przy
równoczesnym zanegowaniu obu tych terminów.
Kontrapozycjami wyrażeń:
S
a
P,
S
e
P,
S
i
P,
S
o
P
są odpowiednio:
P'
a
S',
P'
e
S‘,
P'
i
S',
P'
o
S'.
Jedynie kontrapozycje zdań ogólnotwierdzącego oraz szczegółowoprze-
czącego prowadzą do zdań logicznie im równoważnych.
W rezultacie mamy następujące prawa kontrapozycji:
⊕
⊕
S
o
P
SoP
S
a
P
SaP
Przez tryby sylogistyczne rozumiemy takie wyrażenia implikacyjne,
których następnik jest wyrażeniem atomicznym (
S
a
P,
S
e
P,
S
i
P, S
o
P
),
natomiast poprzednik jest koniunkcją dwóch wyrażeń atomicznych, a
przy tym dodatkowo:
a)
w następniku występują dwa różne symbole zmiennych
nazwowych, z których każdy występuje w dokładnie jednym z
członów koniunkcji stanowiącej poprzednik implikacji,
b)
w obu członach poprzednika występuje symbol trzeci nie
występujący w następniku.
VI.4 Tryby sylogistyczne
Wobec tego przykładami trybów sylogistycznych są wyrażenia:
Z kolei trybami sylogistycznymi nie są wyrażenia:
bowiem pierwsze dwa wyrażenia nie spełniają ani warunku a), ani warunku b), zaś
trzecie wyrażenie nie spełnia warunku a) definicji trybu sylogistycznego.
SiP
SoM
PoM
SoP
MiS
PeM
SaP
SaM
MaP
SiP
MiP
MoP
SeP
SiP
SaP
SeP
PiS
SoM
Człony poprzednika trybu sylogistycznego nazywa się przesłankami, a
następnik trybu nazywa się wnioskiem.
Podmiot wniosku nazywa się terminem mniejszym, a jego orzecznik
terminem większym.
Termin trzeci, nie występujący we wniosku a występujący w
przesłankach nazywa się terminem średnim.
Przesłankę, w której występuje termin mniejszy, nazywa się przesłanką
mniejszą, a przesłankę,
w
której
występuje
termin
większy
– przesłanką
większą.
Ze względu na miejsce terminu średniego w poprzedniku można
rozróżnić cztery rodzaje trybów sylogistycznych, zwanych też
figurami sylogistycznymi.
Te cztery różne figury sylogistyczne można opisać następująco:
Figura I:
Figura II:
Figura III:
Figura IV:
gdzie w miejsce
ε
1
, ε
2
, ε
3
można wstawić dowolne (
niekoniecznie różne!
)
symbole z zestawu:
a, e, i, o.
P
S
M
S
P
M
3
2
1
P
S
M
S
M
P
3
2
1
P
S
S
M
P
M
3
2
1
P
S
S
M
M
P
3
2
1
Można policzyć, że w każdej figurze sylogistycznej są 64 (
= 4
.
4
.
4
)
różne tryby sylogistyczne.
A ponieważ istnieją cztery figury sylogistyczne, oznacza to, że istnieje
256 (
= 64
.
4
) różnych trybów sylogistycznych.
Większość z nich przechodzi w zdania fałszywe przy pewnych
interpretacjach zmiennych nazwowych M, P, S w zbiorze nazw
ogólnych.
Jednak niektóre z nich przechodzą w zdania prawdziwe przy dowolnej
niepustej interpretacji zmiennych nazwowych.
Niezawodną metodą rozstrzygania prawdziwości trybów sylogistycznych (zarówno
przy dowolnej interpretacji, jak i przy dowolnej niepustej interpretacji) jest również
metoda diagramów Venna.
Przykład A
Z
diagramu
odczytujemy,
że
= 0. Przy tym wartościowaniu tryb sylogistyczny jest fałszywy.
Zauważmy, że zmienne
P, M, S
zostały zinterpretowane jako nazwy
niepuste (
co najmniej jeden element należy do zakresu każdej z nazw M, P oraz S
).
SiP
MiS
PiM
)
(
WL
i
1
)
(
WL
i
1
)
(
WL
SiP
MiS
M
Pi
S
P
·
·
M
Przykład B
Prawdziwość tego trybu (przy dowolnej interpretacji zmiennych) wykazuje powyższy
diagram.
Prawdziwość
M
a
P
jest zagwarantowana zakreśleniem odpowiedniego
obszaru, a prawdziwość
S
i
M
– umieszczeniem kropki w obszarze
wspólnym dla
M,
P oraz
S.
Prawdziwość poprzednika gwarantuje prawdziwość następnika, gdyż
S
i
P
jest również prawdziwe.
P
·
M
S
SiP
SiM
MaP
Ustalono następujące warunki poprawności trybów sylogistycznych:
1.
Co najmniej jedna z przesłanek musi być twierdząca.
2.
Jeżeli jedna z przesłanek jest przecząca, to wniosek powinien być
przeczący.
3.
Jeżeli wniosek jest przeczący, to jedna z przesłanek powinna być
przecząca.
4.
Co najmniej jedna z przesłanek musi być ogólna.
5.
Jeżeli jedna przesłanka jest szczegółowa, to wniosek powinien być
szczegółowy.
6.
Każdy termin rozłożony we wniosku powinien być rozłożony w
przesłance.
7.
Termin średni powinien być rozłożony w przynajmniej jednej
przesłance.
Użyte w tych warunkach określenia mają następujące znaczenia:
a)
Twierdzącymi są wyrażenia atomowe, w których występuje funktor
a lub i.
b)
Przeczącymi są wyrażenia atomowe, w których występuje funktor
e lub o.
c)
Ogólnymi są wyrażenia atomowe, w których występuje funktor
a lub e.
d)
Szczegółowymi są wyrażenia atomowe, w których występuje
funktor i lub o.
e)
Termin jest rozłożony wtedy i tylko wtedy, gdy jest podmiotem w
wyrażeniu ogólnym lub orzecznikiem w wyrażeniu przeczącym
(rozłożonymi są terminy oznaczone kropką w wyrażeniach: ,
).
Wszystkie wymienione warunki muszą być spełnione, aby dany tryb
sylogistyczny był prawdziwy.
aP
S
P
So
P
e
S
,
Ustalono, że istnieją 24 prawdziwe tryby sylogistyczne (po 6 z każdej
figury).
Istnieje pewna konstrukcja mnemotechniczna, zwana heksametrem,
ułatwiająca konstruowanie trybów prawdziwych i ustalająca przyjęte
nazwy tych trybów.
Oto on:
Figura I:
Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront,
Figura II: Cesare,
Camestres,
Festino,
Baroco,
Cesaro,
Camestros,
Figura III: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison,
Figura IV: Bamalip,
Calemes,
Dimatis,
Fesapo,
Fresison,
Calemos.
Kolejne samogłoski występujące w nazwach trybów prawdziwych są
symbolami stałych sylogistycznych, które występują kolejno w
przesłankach i we wniosku.
Przykładowo:
Ferio (figura I) jest nazwą trybu:
Camestres (figura II) jest nazwą trybu:
Felapton (figura III) jest nazwą trybu:
Dimatis (figura IV) jest nazwą trybu:
SoP
SiM
MeP
SeP
SeM
PaM
SoP
MaS
MeP
SiP
MaS
PiM
Tryby prawdziwe o ogólnych przesłankach i szczegółowym wniosku
(czyli: Barbari, Celaront, Cesaro, Camestros, Darapti, Felapton,
Bamalip, Fesapo, Calemos) są prawdziwe tylko przy interpretacji
niepustej zmiennych nazwowych.
Chcąc dopuścić podstawienie za zmienne nazw pustych należałoby takie
tryby poprzedzić założeniami o niepustości odpowiednich nazw.
Przykładowo w przypadku trybów Camestros i Bamalip prowadziłoby
to do wyrażeń:
SoP
SeM
PaM
SiS
SiP
MaS
PaM
PiP
VII. Wynikanie logiczne,
analityczne, entymematyczne
Dotychczas w sposób dość swobodny operowaliśmy pojęciem prawdy
logicznej oraz wynikania logicznego. Jednak obecnie możemy tym
kategoriom nadać precyzyjne określenie. Otóż mówimy, że:
Zdanie α jest logicznie prawdziwe (jest prawdą logiczną) wtedy i
tylko wtedy, gdy jego schemat jest tautologią logiczną.
Prawdziwość
logiczna
zdań
jest
ugruntowana
znaczeniem
występujących w nich stałych logicznych i jest niezależna od znaczeń
terminów pozalogicznych oraz od jakichkolwiek faktów pozajęzy-
kowych.
VII.1 Wynikanie logiczne
Prawdziwymi logicznie mogą być zdania, w których występują zwroty
kwantyfikatorowe, jak np.:
Jeżeli nieprawda, że wszyscy studenci są niesolidni, to niektórzy studenci są solidni
jak i zdania bez takich zwrotów, jak np.:
Jan jest solidny lub nieprawda, że Jan jest solidny.
Pojęcie wynikania logicznego definiuje się przy pomocy pojęcia
prawdy logicznej. Przyjmujemy mianowicie, że:
Ze zdań
α
1
, α
2
, … , α
n
wynika logicznie zdanie
β
wtedy i tylko wtedy,
gdy implikacja: jest prawdą logiczną.
W szczególności więc ze zdania
α
wynika logicznie zdanie
β
wtedy i
tylko wtedy, gdy implikacja: jest prawdą logiczną.
n
...
2
1
Rozważmy kilka przykładów stosunku wynikania logicznego między
zdaniami.
P1)
Ze zdania
α
:
Jeżeli Jan jest uczciwy, to Jan jest przyjacielem Piotra
wynika logicznie zdanie
β:
Jeżeli Jan nie jest przyjacielem Piotra, to Jan nie jest uczciwy,
gdyż zdanie jest prawdziwe logicznie jako zdanie o schemacie:
.
)
(
)
(
p
q
q
p
P2)
Ze zdań:
α
1
– Jeżeli Marta jest studentką, to Marta uczęszcza na wykłady
α
2
– Jeżeli uczęszcza na wykłady, to nie ma czasu na grę w tenisa
α
3
– Marta ma czas na grę w tenisa
wynika logicznie zdanie:
β – Marta nie jest studentką,
bowiem zdanie: jest prawdziwe logicznie jako zdanie
o schemacie
3
2
1
.
]
)
(
)
[(
p
r
r
q
q
p
P3)
Ze zdania:
α – Każda istota trójnożna jest dwugłowa
wynika logicznie zdanie:
β – Jeżeli nie istnieją istoty dwugłowe, to nie istnieją istoty trójnożne
ponieważ zdanie jest logicznie prawdziwe, jego schematem jest
bowiem tautologia logiczna:
.
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
x
P
x
Q
x
Q
x
P
x
x
x
Dla odmiany mamy:
N1)
Ze zdań:
α
1
– Jeżeli Jan będzie się pilnie uczył, to zda egzaminy
α
2
– Jeżeli Jan będzie często przebywał na dyskotekach, to nauczy się
tańczyć
nie wynika logicznie zdanie:
β – Jeżeli Jan będzie się pilnie uczył lub przebywał na dyskotekach, to
zda egzaminy i nauczy się tańczyć.
Schemat zdania , czyli:
nie jest tautologią k.r.z.
2
1
)]
(
)
[(
)]
(
)
[(
s
q
r
p
s
r
q
p
N2)
Także i ze zdań:
α
1
– Niektórzy blondyni są studentami
α
2
– Niektórzy blondyni są inteligentni
nie wynika logicznie zdanie:
β – Niektórzy studenci są inteligentni.
Schemat nie jest tezą sylogistyki.
Warto jeszcze odnotować, że nie zachodzi również stosunek wynikania
logicznego między następującymi układami zdań:
SiP
MiS
MiP
N3)
Ze zdania:
α – Jan jest ojcem Piotra
nie wynika logicznie zdanie:
β – Piotr jest synem Jana.
Zdanie:
Jeżeli Jan jest ojcem Piotra, to Piotr jest synem Jana
jest prawdziwe (prawdziwe nawet analitycznie), jednak nie jest ono
prawdziwe logicznie.
Podobnie nie zachodzi stosunek wynikania logicznego między parami zdań:
α – Jan jest starszy od Anny.
β – Anna jest młodsza od Jana.
α – Warszawa jest największym miastem w Polsce.
β – Kielce nie są największym miastem w Polsce.
α – Dzisiaj jest poniedziałek.
β – Jutro będzie wtorek.
Chociaż intuicyjnie bez wahania uznaje się, że z tego, iż Jan jest ojcem Piotra wynika,
że Piotr jest synem Jana, zaś z tego, że Dzisiaj jest poniedziałek wynika, że Jutro
będzie wtorek itp., to jednak ten intuicyjny sposób posługiwania się terminem
wynikanie jest odmienny.
Na określenie tego typu stosunków między zdaniami funkcjonuje w
logice kategoria wynikania entymematycznego.
Mówimy, że ze zdania
α
wynika entymematycznie zdanie
β
wtedy i
tylko wtedy, gdy ze zdania
α
nie wynika logicznie zdanie
β
oraz
ze zdania
α
i pewnego zdania
α', uznanego za oczywiste, wynika
logicznie zdanie
β.
Na mocy tej definicji otrzymujemy, że ze zdania: Jan jest ojcem Piotra
wynika entymematycznie zdanie: Piotr jest synem Jana.
W roli zdania
α'
występuje tu zdanie:
Jeżeli Jan jest ojcem Piotra, to Piotr jest synem Jana.
Dla dowolnych zdań
α
i
β
mówimy że:
α
wyklucza się logicznie z
β
wtedy i tylko wtedy, gdy
¬
β
wynika logicznie z
α
,
α
dopełnia się logicznie do
β
wtedy i tylko wtedy, gdy
β
wynika logicznie z ¬
α
,
α
jest równoważne logicznie z
β
wtedy i tylko wtedy, gdy
β
wynika logicznie z
α
, i
α
wynika logicznie z
β
,
α
jest logicznie sprzeczne z
β
wtedy i tylko wtedy, gdy
α
jest równoważne logicznie z
¬
β
.
VII.2 Wynikanie logiczne a inne związki
logiczne między zdaniami
Równoważne definicje są następujące:
α
wyklucza się logicznie z
β
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest prawdą logiczną,
α
dopełnia się logicznie do
β
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest prawdą logiczną,
α
jest równoważne logicznie
β
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest prawdą logiczną,
α
jest logicznie sprzeczne z
β
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest prawdą logiczną.
Przykład A)
α = Piotr jest studentem, a Paweł jest nauczycielem.
β = Jeżeli Piotr nie jest studentem, to Paweł jest nauczycielem.
Ze zdania
α
wynika logicznie zdanie β, bo jest
tautologią, ale z β nie wynika logicznie α, gdyż
n
nie jest tautologią, zatem α nie jest logicznie równoważne z β. Zdania
α,
β również nie wykluczają się logicznie, bo nie
jest tautologią, ani nie dopełniają się logicznie, skoro również
nie jest tautologią.
Przykład B)
α = Jeżeli Piotr jest studentem, to Paweł jest studentem.
)
(
)
(
q
p
q
p
)
(
)
(
q
p
q
p
)
(
)
(
q
p
q
p
)
(
)
(
q
p
q
p
β = Jeżeli Paweł jest studentem, to Piotr jest studentem.
Zdania
α
i
β
dopełniają się logicznie ( jest
tautologią), ale nie wykluczają się logicznie (
n
nie jest tautologią), zatem nie są logicznie sprzeczne.
Przykład C)
α = Nieprawda, że jeżeli Jan jest studentem, to Jan jest wybitnie
inteligentny.
β = Jan jest wybitnie inteligentny.
α
wyklucza się logicznie z
β
( jest tautologią), ale
α
nie jest logicznie sprzeczne z
β
( nie jest tautologią).
q
q
p
)
(
q
q
p
)
(
)
(
)
(
p
q
q
p
)
(
)
(
p
q
q
p
Poza związkami wynikania logicznego i wynikania entymematycznego
wyróżnia się też w logice inny rodzaj wynikania, zwany wynikaniem
analitycznym, a obejmującym sobą zarówno wynikanie logiczne, jak i
niektóre przypadki wynikania entymematycznego.
Ponownie rozważmy przykład zdań
α = Jan jest ojcem Piotra.
β = Piotr jest synem Jana.
Wiadomo, że z α nie wynika logicznie β (ani z β nie wynika logicznie
α), ale zdania te wynikają entymematycznie jedno z drugiego, ze
względu na dodatkowe założenia, ujmujące związki znaczeniowe
VII.3 Związki analityczne między zdaniami
między zwrotami: „ ... jest ojcem ... ”
, „ ... jest synem ... ” z
uwzględnieniem faktu, że dwa człony tych stosunków są rodzaju
męskiego.
Owo entymematyczne założenie można wyrazić swobodnie w sposób
następujący:
Jeżeli x i y są osobnikami płci męskiej, to x jest ojcem y wtedy i tylko
wtedy gdy y jest synem x, a Jan i Piotr są osobnikami płci męskiej.
W języku rachunku kwantyfikatorów założenie to reprezentuje schemat:
)
(
)
(
))]
,
(
)
,
(
(
))
(
)
(
[(
b
M
a
M
x
y
S
y
x
O
y
M
x
M
y
x
Rozważane związki wynikania entymematycznego zachodzą, albowiem
schematy:
są tautologiami rachunku kwantyfikatorów.
Ujawnione założenie entymematyczne powyższego rozumowania ma
charakter postulatu znaczeniowego języka polskiego, charaktery-
zującego związek znaczeniowy zwrotów: „ ... jest ojcem ... ”
, „ ... jest
synem ... ”.
))]
,
(
)
,
(
(
))
(
)
(
[(
x
y
S
y
x
O
y
M
x
M
y
x
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
a
b
S
b
a
O
b
M
a
M
))]
,
(
)
,
(
(
))
(
)
(
[(
x
y
S
y
x
O
y
M
x
M
y
x
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
b
a
O
a
b
S
b
M
a
M
Prawdziwość takich postulatów znaczeniowych nie jest zależna od
jakichkolwiek faktów pozajęzykowych i jest ugruntowana w samym
języku.
Do ustalenia wartości logicznej takich zdań nie jest potrzebna żadna
wiedza o rzeczywistości pozajęzykowej, wystarczy biegła znajomość
języka, w tym związków znaczeniowych między różnymi wyrażeniami.
Przypomnijmy, że zdania takie nazywa się zdaniami analitycznymi, a
ich obecność w języku pozwala na określenie związku między zdaniami,
nazywanego wynikaniem analitycznym.
Mówimy, że ze zdania α wynika analitycznie zdanie β wtedy i tylko
wtedy, gdy implikacja wynika logicznie z pewnej koniunkcji
postulatów znaczeniowych
Π, tzn. gdy (równoważnie:
) jest prawdą logiczną.
Bazując na pojęciu wynikania analitycznego, określamy (analogicznie
do związków logicznych) takie związki między zdaniami, jak:
analityczne wykluczanie się, analityczne dopełnianie się, analityczną
równoważność i analityczną sprzeczność zdań.
Definicje tych związków (dla dowolnych zdań
α,
β
) są następujące:
)
(
Π
)
(Π
α
wyklucza się analitycznie z
β, gdy dla pewnej koniunkcji postulatów
znaczeniowych
jest prawdą logiczną.
α
dopełnia się analitycznie do
β, gdy dla pewnej koniunkcji postulatów
znaczeniowych
jest prawdą logiczną.
α jest równoważne analitycznie β, gdy dla pewnej koniunkcji
postulatów znaczeniowych
jest prawdą logiczną.
α
jest sprzeczne analitycznie z
β, gdy dla pewnej koniunkcji
postulatów znaczeniowych
jest prawdą logiczną.
)
(
: Π
Π
)
(
: Π
Π
)
(
: Π
Π
)
(
: Π
Π
Przykład A)
α = Jan jest wyższy od Piotra, a Piotr jest równy z Pawłem.
β = Paweł jest niższy od Jana.
Zdanie β wynika analitycznie ze zdania α, ponieważ schemat:
jest tautologią rachunku kwantyfikatorów.
Przykład B)
α = Jan jest mądrzejszy od Piotra.
β = Piotr jest mądrzejszy od Jana.
)
,
(
)
,
(
)]
,
(
))
,
(
)
,
(
[(
c
b
R
b
a
W
x
z
N
z
y
R
y
x
W
z
y
x
)
,
( a
c
N
Zdania
α, β
wykluczają się analitycznie, ponieważ schemat:
jest tautologią.
Przykład C)
α = Jan jest sportowcem.
β = Jan nie jest lekkoatletą.
α
dopełnia się analitycznie do
β
, ponieważ schemat:
jest tautologią.
)
,
(
)
,
(
)]
,
(
)
,
(
[
a
b
M
b
a
M
x
y
M
y
x
M
y
x
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
a
L
a
S
x
S
x
L
x
Dziękuję za uwagę!