Oscylacje neutrin w materii
Tomasz Golan
June 5, 2007
1
Wst¸
ep
Zjawisko oscylacji neutrin zaproponowano, aby wyja´sni´c tzw. “problem neutrin
s lonecznych”, czyli rozbie˙zno´s´c mi¸edzy oczekiwan¸a a zmierzon¸a liczb¸a neutrin
docieraj¸acych do Ziemi ze S lo´
nca. Polega ono na tym, ˙ze kaz ˙dy typ neut-
rina mo˙ze przechodzi´c cyklicznie w inne typy. Detektor Homestake rejestruje
tylko neutrina elektronowe, zatem te neutrina, kt´
ore po drodze zmieni ly swoj¸a
to˙zsamo´s´c, s¸a “niewidoczne” i obserwowana liczba neutrin jest mniejsza.
Aby oscylacje by ly mo˙zliwe, neutrina musz¸a posiada´c mas¸e. Poniewa˙z ist-
niej¸a 3 typy neutrin, istniej¸a r´
ownie˙z 3 stany masowe. Ka˙zdy stan zapachowy
(czyli ten, kt´
ory oddzia luje) jest superpozycj¸a stan´
ow masowych (czyli stan´
ow
w lasnych hamiltonianiu).
Oscylacje s¸a efektem zmiany r´
o˙znicy faz mi¸edzy
stanami masowymi, kt´
ora z kolei wynika z tego, ˙ze l˙zejsze stany masowe poruszaj¸a
si¸e szybciej i wyprzedzaj¸a ci¸e˙zsze. Dlatego kluczow¸a rol¸e w teorii oscylacji
odgrywa r´
o˙znica mas (a ´sci´slej m´owi¸ac r´
o˙znica kwadrat´
ow mas).
Gdy neutrina poruszaj¸a si¸e w materii, s¸a rozpraszane na elektronach i nuk-
leonach, czyli oddzia luje na nie pewien efektywny potencja l, co mo˙ze mie´c wp lyw
na oscylacje neutrin. Jako pierwszy zwr´
oci l na to uwag¸e Wolfenstein, a Mikheyev
i Smirnov pokazali, ˙ze ten efekt mo˙ze by´c bardzo du˙zy (nawet rezonansowy).
Dlatego wp lyw oddzia lywania neutrin z materi¸a na oscylacje nazywamy efektem
MSW.
W naszych rozwa˙zaniach ograniczymy si¸e do przypadku dw´
och neutrin.
Takie uproszczenie doskonale pokazuje mechanizm oscylacji, a pozwala w du˙zym
stopniu upro´sci´c rachunki. Poza tym jest to przybli˙zenie, do kt´
orego sprowadza
si¸e analiza wielu eksperyment´
ow.
2
Oscylacje w pr´
o˙zni
W pr´o˙zni stany masowe, kt´
ore b¸edziemy oznacza´c ν
1
i ν
2
, s¸a stanami w lasnymi
Hamiltonianu:
H
ν
1
ν
2
=
E
1
0
0
E
2
ν
1
ν
2
≈
p +
m
2
1
2
E
0
0
p +
m
2
2
2
E
!
ν
1
ν
2
(1)
gdzie skorzystano z ultrarelatywistycznego przybli˙zenia E
i
=
pp
2
+ m
2
i
≈ p +
m
2
i
2
p
≈ p +
m
2
i
2
E
.
Mo˙zemy przekszta lci´c Hamiltonian, rozbijaj¸ac go na cz¸e´s´c proporcjonaln¸a
do macierzy jednostkowej i na cz¸e´s´c proporcjonaln¸a do σ
3
:
1
H
=
pI +
1
2E
m
2
1
0
0
m
2
2
=
pI +
1
2E
m
2
1
+ m
2
2
2
I +
m
2
1
− m
2
2
2
1
0
0 −1
=
p +
m
2
1
+ m
2
2
4E
I
−
∆m
2
4E
1
0
0 −1
= H
diag
+ H
0
p
(2)
Wszystkie cz lony, kt´
ore s¸a wielokrotno´sci¸a macierzy jednostkowej, nie s¸a is-
totne w naszych rozwa˙zaniach, poniewa˙z nie zmieniaj¸a r´
o˙znicy mi¸edzy warto´sciami
w lasnymi Hamiltonianu (nie produkuj¸a r´
o˙znicy faz). Zawsze mog¸a zosta´c do-
dane do czynnik´
ow normuj¸acych funkcje falowe neutrin, dlatego w dalszych
rozwa˙zaniach mo˙zemy je pomin¸a´c.
Stany zapachowe, kt´
ore b¸edziemy oznacza´c ν
e
i ν
a
(gdzie a = µ lub τ ), s¸a
zwi¸azane ze stanami masowymi relacj¸a:
ν
e
ν
a
= U
ν
1
ν
2
(3)
gdzie U =
cosθ
sinθ
−sinθ cosθ
jest macierz¸a mieszania.
Korzystaj¸ac z (2) i (3), mo˙zemy wyprowadzi´c efektywny Hamiltonian w bazie
zapachowej:
H
0
p
U
−1
ν
e
ν
a
= −
∆m
2
4E
1
0
0
−1
U
−1
ν
e
ν
a
(4)
po przemno˙zeniu z prawej strony przez U :
U H
0
p
U
−1
=
−
∆m
2
4E
U
1
0
0
−1
U
−1
=
−
∆m
2
4E
cosθ
sinθ
−sinθ cosθ
1
0
0 −1
cosθ −sinθ
sinθ
cosθ
=
−
∆m
2
4E
cos2θ
−sin2θ
−sin2θ −cos2θ
(5)
Ostatecznie Hamiltonian w pr´o˙zni w bazie zapachowej ma posta´c:
H
0
=
∆m
2
4E
−cos2θ sin2θ
sin2θ
cos2θ
(6)
Jawna posta´c H
0
b¸edzie potrzebna przy wprowadzaniu efekt´
ow materialnych,
poniewa˙z to stany zapachowe oddzia luj¸a.
Ewolucja stan´
ow masowych jest opisana przez:
|ν
i
(t)i = e
−
m2
i
2
E
t
|ν
i
(0)i
(7)
Wykorzystuj¸ac (3) i (7), mo˙zemy wyliczy´c prawdopodobie´
nstwo znalezienia neu-
trina w stanie zapachowym ν
a
po przebyciu drogi L, je´sli pocz¸atkowo mieli´smy
ν
e
:
P (ν
e
→ ν
a
, L) = sin
2
(2θ) sin
2
1.27∆m
2
L
E
(8)
gdzie L jest wyra˙zona w km, E w GeV , a ∆m
2
w eV
2
.
2
3
Oddzia lywanie neutrin z materi¸
a
Zgodnie z modelem standardowym neutrina mog¸a oddzia lywa´c z elektronami
przez pr¸ad na ladowany (CC), czyli przez wymian¸e bozonu W
±
(tylko neutrina
elektronowe) lub przez pr¸ad neutralny (NC), czyli przez wymian¸e bozonu Z
0
(wszystkie neutrina).
Figure 1: Diagramy oddzia lywania neutrin
Oddzia lywanie przez pr¸ad neutralny mo˙zemy pomin¸a´c, poniewa˙z jest ono
takie samo dla wszystkich zapach´
ow i nie wp lywa na r´
o˙znic¸e mas. Oddzia lywanie
neutrin elektronowych z elektronami przez pr¸ad na ladowany jest dobrze opisy-
wane przez teori¸e Fermiego, w kt´
orej wymian¸e bozonu W
±
zast¸epuje si¸e przez
wprowadzenie efektywnego Hamiltonianu:
H
CC
=
G
F
√
2
J
letp
+
µ
J
µ
lept
=
G
F
√
2
[e(k
′
)γ
µ
(1 − γ
5
)ν
e
(k)] [ν
e
(p
′
)γ
µ
(1 − γ
5
)e(p)] (9)
gdzie G
F
- sta la Fermiego, a e, ν - bispinory Diraca.
Figure 2: Oddzia lywanie w teorii Fermiego
Korzystaj¸ac z transformacji Fierza (patrz dodatek), mo˙zna pokaza´c, ˙ze za-
chodzi:
[γ
µ
(1 − γ
5
)]
ρδ
[γ
µ
(1 − γ
5
)]
νβ
= − [γ
µ
(1 − γ
5
)]
ρβ
[γ
µ
(1 − γ
5
)]
νδ
(10)
Uwzgl¸edniaj¸ac dodatkowo fakt, ˙ze w teorii kwantowej bispinory antykomutuj¸a
ze sob¸a, mo˙zemy H
CC
zapisa´c w postaci:
H
CC
=
G
F
√
2
[e(k
′
)γ
µ
(1 − γ
5
)e(p)] [ν
e
(p
′
)γ
µ
(1 − γ
5
)ν
e
(k)]
(11)
3
Obliczamy efektywny potencja l dla neutrin poruszaj¸acych si¸e z niezmienionym
p¸edem i spinem w o´srodku materialnym. Taki potencja l zmienia mas¸e cz¸astki
m → m
ef f
i jest oczywiste, ˙ze mo˙ze mie´c wp lyw na oscylacje.
W zjawisku oscylacji znaczenie ma r´
o˙znica mas. Istotne jest zatem odd-
zia lywanie z materi¸a, kt´
ore jest r´
o˙zne dla r´
o˙znych typ´
ow neutrin. Takim odd-
zia lywaniem jest reakcja CC z elektronami.
Mo˙zemy przyj¸a´c, ˙ze elektrony spoczywaj¸a i s¸a niespolaryzowane. Elektron
opisujemy przez spinor Diraca:
e =
χ
s
0
gdzie χ
1
=
1
0
χ
2
=
0
1
(12)
Najpierw wyliczymy pierwszy cz lon H
CC
dla µ = j:
eγ
j
(1 − γ
5
)e
=
eγ
j
e − eγ
j
γ
5
e
=
e
†
γ
0
γ
j
e − e
†
γ
0
γ
j
γ
5
e
(13)
Musimy teraz dokona´c u´srednienia po spinie elektronu. Dostajemy
eγ
j
(1 − γ
5
)e
=
1
2
2
X
s=1
(χ
†
s
0)
I
0
0
−I
0
−σ
j
σ
j
0
χ
s
0
−
1
2
2
X
s=1
(χ
†
s
0)
I
0
0
−I
0
−σ
j
σ
j
0
0 I
I
0
χ
s
0
=
1
2
2
X
s=1
(χ
†
s
0)
0
−σ
j
χ
s
−
1
2
2
X
s=1
(χ
†
s
0)
−σ
j
χ
s
0
=
1
2
2
X
s=1
χ
†
s
σ
j
χ
s
(14)
dla j = 1:
1
2
(1 0)
0 1
1
0
1
0
+ (0 1)
0 1
1 0
0
1
= 0
(15)
dla j = 2:
1
2
(1 0)
0 −i
i
0
1
0
+ (0 1)
0 −i
i
0
0
1
= 0
(16)
dla j = 3:
1
2
(1 0)
1
0
0
−1
1
0
+ (0 1)
1
0
0
−1
0
1
=
1
2
(1 − 1) = 0
(17)
Jedyny nieznikaj¸acy cz lon H
CC
mamy, gdy µ = 0:
H
CC
=
G
F
√
2
[eγ
0
(1 − γ
5
)e] [ν
e
γ
0
(1 − γ
5
)ν
e
]
=
G
F
√
2
e
†
γ
0
γ
0
(1 − γ
5
)e
ν
†
e
γ
0
γ
0
(1 − γ
5
)ν
e
=
G
F
√
2
e
†
e − e
†
γ
5
e
2ν
†
e
ν
e
=
2
G
F
√
2
1 − (χ
†
s
0)
0 I
I
0
χ
s
0
=
√
2G
F
(18)
4
gdzie skorzystali´smy z faktu, ˙ze
1−γ
5
2
jest operatorem rzutowania na stany o
okre´slonej skr¸etno´sci (a neutrina s¸a tylko lewoskr¸etne) oraz z to˙zsamo´sci (γ
0
)
2
=
I.
Powy˙zsze rachunki by ly robione dla jednego elektronu. Je˙zeli w materii
mamy N
e
elektron´ow na jednostk¸e obj¸eto´sci, to na neutrina elektronowe odd-
zia luje potencja l:
V =
√
2G
F
N
e
(19)
Alternatywne, bardziej fizyczne, wyprowadzenie wzoru na efekt MSW opiera
si¸e na analizie koherentnego rozpraszania do przodu. Podr¸ecznikowa analiza
prowadzi do wyra˙zenia na wsp´o lczynnik za lamania, kt´
orego wielko´s´c zale˙zy od
energii poruszaj¸acych si¸e cz¸astek (patrz J. D. Jackson “Elektrodynamika klasy-
czna”).
4
Oscylacje w materii
Poniewa˙z stany zapachowe s¸a tymi, kt´
ore oddzia luj¸a z materi¸a, potencja l (19)
musimy wprowadzi´c w bazie zapachowej, zatem efektywny Hamiltonian (cz¸e´s´c
odpowiadaj¸aca za oscylacje) w materii ma posta´c:
H
M
=
H
0
+ V
1 0
0
0
=
H
0
+
V
2
1
0
0
−1
+
V
2
I
=
∆m
2
4E
−cos2θ sin2θ
sin2θ
cos2θ
+
V
2
1
0
0 −1
+
V
2
I
=
∆m
2
4E
−(cos2θ −
V /2
∆
m
2
/4E
)
sin2θ
sin2θ
(cos2θ −
V /2
∆
m
2
/4E
)
!
+
V
2
I
(20)
Tak jak poprzednio cz lon proporcjonalny do jedynki mo˙zemy pomin¸a´c. Do-
datkowo wprowadzimy zmienn¸a x =
V /2
∆
m
2
/4E
=
2
√
2
G
F
N
e
E
∆
m
2
:
H
M
=
∆m
2
4E
−(cos2θ − x)
sin2θ
sin2θ
cos2θ − x
(21)
Je˙zeli teraz wprowadzimy nowe parametry: efektywn¸a r´
o˙znic¸e kwadrat´ow mas
w materii
∆m
2
M
≡ ∆m
2
q
sin
2
2θ + (cos2θ − x)
2
(22)
oraz k¸at mieszania w materii
sin2θ
M
≡
sin 2θ
q
sin
2
2θ + (cos2θ − x)
2
(23)
wtedy
cos2θ
M
=
p
1 − sin
2
2θ
M
=
cos2θ − x
q
sin
2
2θ + (cos2θ − x)
2
(24)
5
i nasz Hamiltonian przyjmuje posta´c:
H
M
=
∆m
2
M
4E
−cos2θ
M
sin2θ
M
sin2θ
M
cos2θ
M
(25)
Por´
ownuj¸ac otrzymany wynik z (6), widzimy, ˙ze oddzia lywanie z materi¸a nie
zmienia struktury Hamiltonianu, a jedynie zamienia parametry ∆m
2
→ ∆m
2
M
i θ → θ
M
, zatem (z (8)) mo˙zemy zapisa´c wz´
or na prawdopodobie´
nstwo oscylacji
w materii:
P
M
(ν
e
→ ν
a
, L) = sin
2
(2θ
M
) sin
2
1.27∆m
2
M
L
E
(26)
Zjawisko oscylacji b¸edzie zatem opisywane zmodyfikowanymi parametrami.
5
Podsumowanie
Teraz mo˙zemy si¸e zastanowi´c, czy oddzia lywanie neutrin z materi¸a mo˙ze mie´c
istotny wp lyw na oscylacje. Ca la informacja o efektach materialnych znajduje
si¸e w zmiennej x. Patrz¸ac na (22) i (23), widzimy, ˙ze je˙zeli x = 0, to ∆m
2
M
=
∆m
2
a θ
M
= θ, ale je´sli x = cos2θ, to sin
2
M
2θ = 1, zatem k¸at mieszania
θ
M
= 45
0
bez wzgl¸edu na warto´s´c θ (rezonans).
Koncentracje elektron´ow w materii jest r´
owna N
e
= N
A
Y
e
ρ, gdzie N
A
-
liczba Avogadro, Y
e
- liczba elektron´ow przypadaj¸aca na nukleon, ρ - g¸esto´s´c
materii. Je˙zeli przyjmiemy Y
e
= 1/2 (tzn., ˙ze j¸adra zawieraj¸a r´
own¸a ilo´s´c pro-
ton´ow i neutron´
ow), to warto´s´c liczbowa zmienna x wynosi:
x =
0, 76 · 10
−13
ρ · E
∆m
2
(27)
gdzie ρ jest w g/cm
3
, E w eV , a ∆m
2
w eV
2
. W przypadku neutrin s lonecznych
∆m
2
≈ 8.0·10
−5
eV
2
, ´srednia g¸esto´s´c Ziemi tu˙z przy powierzchni ρ ≈ 2, 8g/cm
3
,
zatem
x ≈
E
0.4 · 10
9
(28)
energia neutrin s lonecznych dochodzi do 12M eV , w takim przypadku:
x ≈ 0.03
(29)
K¸at mieszania w pr´o˙zni dla neutrin s lonecznych szacuje si¸e na θ ≈ 34
0
, wi¸ec z
(23) mo˙zemy wyznaczy´c k¸at mieszania przy powierzchni Ziemii θ
M
≈ 35
0
.
G¸esto´s´c w ´srodku S lo´
nca wynosi 100g/cm
3
. Przeprowadzaj¸ac takie same
rachunki, otrzymamy k¸at mieszania w ´srodku S lo´
nca θ
M
≈ 20
0
.
Jak wida´c na przyk ladzie neutrin s lonecznych, wp lyw efekt´
ow materialnych
na oscylacje mo˙ze mie´c bardzo du˙ze znaczenie (przy odpowiednio du˙zych ener-
giach i g¸esto´sciach materii).
Nale˙zy r´
ownie˙z zwr´
oci´c uwag¸e na fakt, ˙ze gdy E → ∞ ⇒ θ
M
→ 0 (z (23) i
oscylacje zanikaj¸a.
6
Konwencje
g
µν
=
1
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
(30)
γ
µ
γ
ν
+ γ
ν
γ
µ
= 2g
µν
(31)
γ
0
=
I
0
0
−I
(32)
γ
j
=
0
σ
j
−σ
j
0
(33)
gdzie
σ
1
=
0 1
1
0
σ
2
=
0 −i
i
0
σ
3
=
1
0
0 −1
(34)
σ
µν
=
i
2
[γ
µ
, γ
ν
]
(35)
γ
5
= γ
5
= iγ
0
γ
1
γ
2
γ
3
=
0 I
I
0
(36)
Transformacja Fierza
Niech Γ =
1
4
P
A
C
A
Γ
A
, gdzie Γ
A
= I, γ
µ
, σ
µν
, γ
5
, γ
5
γ
µ
, wtedy
ΓΓ
B
=
1
4
X
A
C
A
Γ
A
Γ
B
(37)
zatem
T r (ΓΓ
B
) = T r
1
4
X
A
C
A
Γ
A
Γ
B
!
=
1
4
X
A
C
A
T r (Γ
A
Γ
B
)
(38)
W przypadku, gdy A 6= B, T r (Γ
A
Γ
B
) = 0, co mo˙zna pokaza´c bezpo´srednim
rachunkiem (macierze Γ
A
albo antykomutuj¸a ze sob¸a, a T r (AB) =
1
2
T r ({A, B}),
albo ich iloczyn jest proporcjonalny do jednej z nich, a wszystkie (opr´
ocz je-
dynki) s¸a bez´sladowe).
Je´sli A = B, to mamy
T r (I)
2
= T r γ
0
2
= T r γ
5
2
= T r γ
5
γ
j
2
= T r σ
ij
2
= 4
(39)
T r γ
j
2
= T r γ
5
γ
0
2
= T r σ
0
i
= −4
(40)
Je˙zeli wprowadzimy
∆
A
=
1 gdy Γ
A
= I, γ
0
, γ
5
, γ
5
γ
j
, σ
ij
−1 gdy Γ
A
= γ
j
, γ
5
γ
0
, σ
0
i
(41)
7
to (38) mo˙zemy zapisa´c w postaci
T r (ΓΓ
B
) =
1
4
X
A
C
A
T r (Γ
A
Γ
B
) =
1
4
X
A
C
A
4δ
AB
∆
A
= C
B
∆
B
(42)
gdy przemno˙zymy obie strony przez ∆
B
C
B
= ∆
B
T r (ΓΓ
B
)
(43)
zatem
Γ =
1
4
X
A
C
A
Γ
A
=
1
4
X
A
∆
A
T r (ΓΓ
A
) Γ
A
(44)
elementy macierzowe spe lniaj¸a wi¸ec
(Γ)
ab
=
1
4
X
A
∆
A
(Γ)
kl
(Γ
A
)
lk
(Γ
A
)
ab
(45)
czyli
1
4
X
A
∆
A
(Γ
A
)
lk
(Γ
A
)
ab
= δ
ak
δ
bl
(46)
i ostatecznie dla dowolnych macierzy F i G mo˙zemy zapisa´c
F
lb
G
ak
=
1
4
X
A
(F Γ
A
G)
lk
(Γ
A
)
ab
∆
A
(47)
Rozwa˙zmy macierze F = γ
µ
(I − γ
5
) oraz G = γ
µ
(I − γ
5
):
[γ
µ
(I − γ
5
)]
lb
γ
µ
I
− γ
5
ak
=
1
4
[γ
µ
(I − γ
5
) γ
µ
(I − γ
5
)]
lk
[I]
ab
∆
I
(48)
+
1
4
γ
µ
(I − γ
5
) γ
λ
γ
µ
(I − γ
5
)
lk
γ
λ
ab
∆
γ
λ
+
1
4
γ
µ
(I − γ
5
) σ
χλ
γ
µ
(I − γ
5
)
lk
σ
χλ
ab
∆
σ
χλ
+
1
4
[γ
µ
(I − γ
5
) γ
5
γ
µ
(I − γ
5
)]
lk
[γ
5
]
ab
∆
γ
5
+
1
4
γ
µ
(I − γ
5
) γ
5
γ
λ
γ
µ
(I − γ
5
)
lk
γ
5
γ
λ
ab
∆
γ
5
γ
λ
Najpierw przyjrzyjmy si¸e pierwszemu sk ladnikowi:
1
4
[γ
µ
(I − γ
5
) γ
µ
(I − γ
5
)] =
1
4
[γ
µ
γ
µ
(I + γ
5
) (I − γ
5
)]
= (I + γ
5
) (I − γ
5
) = I − γ
5
+ γ
5
− (γ
5
)
2
= 0
(49)
gdzie skorzystano z w lasno´sci: {γ
µ
, γ
5
} = 0, γ
µ
γ
µ
= 4 oraz (γ
5
)
2
= I.
Czwarty sk ladnik sumy znika w podobny spos´
ob, a trzeci znika na mocy
w lasno´sci γ
λ
σ
µν
γ
λ
= 0.
Po uporz¸adkowaniu pozosta lych wyraz´
ow, uwzgl¸edniaj¸ac fakt, ˙ze (I − γ
5
) (I − γ
5
) =
2 (I − γ
5
), (48) pyrzjmie posta´c:
8
[γ
µ
(I − γ
5
)]
lb
γ
µ
I
− γ
5
ak
=
1
4
∆
γ
λ
γ
µ
γ
λ
γ
µ
2 (I − γ
5
)
lk
γ
λ
ab
(50)
+
1
4
∆
γ
5
γ
λ
γ
µ
γ
λ
γ
µ
γ
5
2 (I − γ
5
)
lk
γ
5
γ
λ
ab
Gdy λ = 0, to γ
λ
= γ
λ
, ∆
γ
λ
= 1 a ∆
γ
5
γ
λ
= −1.
Gdy λ = j, to γ
λ
= −γ
λ
, ∆
γ
λ
= −1 a ∆
γ
5
γ
λ
= 1, zatem
[γ
µ
(I − γ
5
)]
lb
γ
µ
I
− γ
5
ak
=
1
2
[γ
µ
γ
λ
γ
µ
(I − γ
5
)]
lk
γ
λ
ab
−
1
2
[γ
µ
γ
λ
γ
µ
γ
5
(I − γ
5
)]
lk
γ
5
γ
λ
ab
=
1
2
[γ
µ
γ
λ
γ
µ
(I − γ
5
)]
lk
γ
λ
ab
−
1
2
[γ
µ
γ
λ
γ
µ
(−I + γ
5
)]
lk
γ
5
γ
λ
ab
=
1
2
[γ
µ
γ
λ
γ
µ
(I − γ
5
)]
lk
γ
λ
ab
−
1
2
[γ
µ
γ
λ
γ
µ
(I − γ
5
)]
lk
γ
λ
γ
5
ab
(51)
Teraz mo˙zemy skorzysta´c z w lasno´sci γ
µ
γ
λ
γ
µ
= −2γ
λ
[γ
µ
(I − γ
5
)]
lb
γ
µ
I
− γ
5
ak
= − [γ
λ
(I − γ
5
)]
lk
γ
λ
ab
+ [γ
λ
(I − γ
5
)]
lk
γ
λ
γ
5
ab
= − [γ
λ
(I − γ
5
)]
lk
γ
λ
(I − γ
5
)
ab
(52)
Bibliografia
1. Boris Kayser “Neutrino Physics”, arXiv:hep-ph/0506165v1
2. A. Yu. Smirnov “Recent Developments in Neutrino Phenomenology”, arXiv:hep-
ph/0702061v1
3. H. A. Bethe “Possible Explanation of the Solar-Neutrino Puzzle”, Physical
Review Letters vol 56 nr 12
9