Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 1 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Logika matematyczna 

Przedmowa 

To opracowanie jest napisane głównie z myślą o uczniach szkół średnich pragnących zrozumieć logikę matema-
tyczną, ale i studenci pierwszego roku informatyki znajdą tu informacje dla siebie (m.in. funktory XOR oraz NOR), 
o których w szkole średniej się nie wspomina. Opracowanie to tłumaczy wszystkie pojęcia od podstaw oraz za-
wiera ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami.  

 

Spis tematów 

1.

 

Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej.  .........................................................................  1 

— oznaczanie zdań prostych  ............................................................................................................................  3 

2.

 

Wartości logiczne zdań prostych.  .......................................................................................................................  3  

3.

 

Funktory zdaniotwórcze.  ....................................................................................................................................  5 

— negacja  .........................................................................................................................................................  6 

— koniunkcja  ....................................................................................................................................................  9 

— alternatywa  ..................................................................................................................................................  9 

— implikacja  ...................................................................................................................................................  10 

— równoważność  ...........................................................................................................................................  11 

4.

 

Rachunek zdań — prawa logiczne (tautologia).  ...............................................................................................  12 

— metoda zerowo-jedynkowa (tabelkowa)  ..................................................................................................  12 

— nazwy praw logicznych  ..............................................................................................................................  13 

— metoda „nie wprost” (apagogiczna)  ..........................................................................................................  14 

— tworzenie nowych praw logicznych  ..........................................................................................................  15 

— funktory Xor i Nor  ......................................................................................................................................  16 

— sprawdzanie wartości logicznych bardziej rozbudowanych wyrażeń  .......................................................  18 

5.

 

Formy zdaniowe.  ..............................................................................................................................................  20 

— dziedzina formy zdaniowej  ......................................................................................................................... 20

 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 2 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Temat: Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej.

 

Zdanie proste

 (w sensie matematycznym)   —  wyrażenie o którym można jednoznacznie powiedzieć, 

że jest prawdziwe lub fałszywe np.: 

2 + 3 = 18 

—   zdanie fałszywe 

Liczba 12 jest liczbą nieparzystą. 

—   zdanie fałszywe 

Liczba −4 jest mniejsza od −1. 

—   zdanie prawdziwe 

W logice matematycznej występują tylko zdania oznajmujące

, czyli takie, które kończą się kropką. Żadne zdanie py-

tające  czy  wykrzyknikowe  nie  jest  zdaniem  w  rozumieniu  logiki  matematycznej,  choć  jest  zdaniem  w  rozumieniu 
gramatyki języka polskiego. 

Pójdziesz ze mną? 

—   to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie jest ono 

 

 

oznajmujące 

Weź to! 

—   to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie jest ono 

 

 

oznajmujące 

Chciałbym byś mi kupiła loda. 

—   to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie można 

 

 

go jednoznacznie ocenić czy jest ono prawdziwe czy fałszywe, choć 

 

 

jest zdaniem oznajmującym. 

Ćwiczenie:  

Które z poniższych zdań, są zdaniami w rozumieniu logiki matematycznej? Odpowiedź uzasadnij. 

a)

 

Lubisz pływać? 

b)

 

Nie rób tego! 

c)

 

Kup mi to ciastko. 

d)

 

Chcę pojeździć na rowerze. 

e)

 

Pozwól mi wyjść do koleżanki. 

f)

 

Zegar służy do odmierzania czasu. 

g)

 

Kartkę papieru można zgiąć 12 razy na pół. 

Odp.:  a) Nie, bo nie jest zakończone kropką. 

b) Nie, bo nie jest zakończone kropką. 

c) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką. 

d) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką. 

e) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką. 

f) Tak, bo kończy się kropką i dodatkowo można o nim jednoznacznie powiedzieć, że jest prawdziwe. 

g) Tak, bo kończy się kropką i dodatkowo można o nim jednoznacznie powiedzieć, że jest fałszywe. 

Zdanie złożone

 — zdanie zbudowane z przynajmniej dwóch zdań prostych np.: 

Teraz świeci słońce

, 

więc

 

pójdę się poopalać

.

 

W powyższym przykładzie pierwsze zdanie proste jest do słowa „

więc

”, zaś drugie występuje po słowie „więc”. Oba 

zdania proste pogrubiono i wyróżniono kolorem czerwonym. 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 3 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Oznaczenie zdań prostych 

Zdania proste w logice matematycznej oznacza się małymi literami alfabetu angielskiego zaczynając od litery 

݌. Za-

tem pierwsze zadanie proste występujące w zdaniu złożonym należy oznaczyć literką 

݌, następne literką ݍ, kolejne 

literką 

ݎ itd. W logice matematycznej, te literki będziemy nazywać 

zmiennymi zdaniowymi

. 

W szczególnych przypadkach, np. w przypadku zadania złożonego: 

Teraz świeci słońce

 

lub

 

teraz nie świeci słońce

.

 

matematycznie mamy do czynienia z jednym zdaniem prostym, bo drugie jest zaprzeczeniem pierwszego. Z punktu 
widzenia zaś gramatyki języka polskiego, w powyższym zdaniu są 2 zdania proste (oba wyróżniono kolorem niebie-
skim). 

Ćwiczenie:  

Ile zdań prostych w rozumieniu logiki matematycznej występuje w poniższych zdaniach złożonych? 

a)

 

To krzesło jest solidne i dodatkowo jest ono ładne. 

b)

 

W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks i zaczęłam uczyć się języka japońskiego. 

c)

 

Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat. 

d)

 

Jestem chłopakiem lub nie jestem chłopakiem lub jestem dziewczyną. 

e)

 

Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond, to wygląda ładniej, niż gdy ma zrobiony bale-
jaż lub splecione w warkocz. 

f)

 

Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę. 

Odp.:  a) 2 zdania proste. Są one rozdzielone słowem „i”. 

b) 2 zdania proste. Są one rozdzielone słowem „i”. 

c) 3 zdania proste. Każde jest rozdzielone słowem „lub”. 

d) 2 zdania proste w rozumieniu logiki matematycznej: „jestem chłopakiem” oraz „jestem dziewczyną”, ale 3 zdania proste w rozumieniu gramatyki języka polskiego. 

Sformułowanie drugie: „nie jestem chłopakiem” jest zaprzeczeniem sformułowania pierwszego: „jestem chłopakiem”. 

e) 4 zdania proste. Są one rozdzielone słowami: „to”, „niż gdy”, „lub”. 

f) 4 zdania proste. Są one rozdzielone słowami: „ale gdy”, „to”, „lub”. 

Zdanie logiczne 

—   zdanie oznajmujące w którym każde zdanie proste da się jednoznacznie ocenić jako 

prawdziwe lub fałszywe. 

Przykłady zdań logicznych: 

Liczba 5 jest większa od 0

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



 lub  jemu równa

ᇩᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇫ

ł

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

    

. 

Teraz czytam opracowanie o logice matematycznej.

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



 

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

    

 

 Zegar nie służy do odmierzania czasu.

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ł

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

    

 

 

 

 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 4 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Temat: Wartości logiczne zdań prostych.

 

Omówmy teraz bardziej dokładnie logikę matematyczną na przykładzie zdania złożonego: 

Skoro 

2 < 5

ᇣᇤᇥ





 

i

 

5 < 8

ᇣᇤᇥ





, 

to

 

2 < 8

ᇣᇤᇥ





. 

Ponieważ powyższe zdanie składa się z trzech zdań prostych, więc można go zapisać krócej: 

Skoro 

݌

 

i

 

ݍ

 

to

 

ݎ

. 

W zdaniu tym: 

݌

:  2 < 5 

ݍ

:  5 < 8 

ݎ

:  2 < 8. 

Dygresja: Po zmiennej zdaniowej (czyli po pierwszej literce) napisany został dwukropek. 

Każdemu zdaniu prostemu przypisujemy liczbę 

0 jeśli jest ono fałszywe

, lub liczbę 

1 jeśli jest ono prawdziwe

. Wraca-

jąc się do przykładowych trzech zdań z tematu pierwszego napiszemy: 

2 + 3 = 18 

—   zdanie fałszywe; 

݌ = 0

 

Liczba 12 jest liczbą nieparzystą. 

—   zdanie fałszywe; 

݌ = 0

 

Liczba −4 jest mniejsza od −1. 

—   zdanie prawdziwe; 

݌ = 1

 

Przypisywanie zdaniu  prostemu  tylko  jednej  z  dwóch  liczb, tzn.  0 lub 1, jest prawdziwe tylko w logice dwuwarto-
ściowej,  którą  to  będziemy  się  zajmować.  W  teorii  matematycznej  istnieje  jeszcze  logika  trójwartościowa,  która 
uszczegóławia logikę dwuwartościową poprzez dodanie wartości logicznej ½ (półprawda). 

Ćwiczenie:  

Określ wartości logiczne podanych zdań prostych. 

[Podpowiedź. Oceń, czy podane zdanie proste ma wartość logiczną 0 czy 1.]

 

a)

 

Mam skończone 16 lat. 

b)

 

Liczba 8 jest mniejsza od 0. 

c)

 

Biurko to rzeczownik. 

d)

 

Lubię pływać. 

e)

 

Od czasu do czasu jadam zupę. 

f)

 

Pierwiastek stopnia drugiego z liczby −16 jest równy −4. 

Odp.: a) Zależnie od Ciebie; b) 0 (fałsz); c) 1 (prawda); d) Zależnie od Ciebie; e) Zależnie od Ciebie; f) 0 (fałsz). 

 

 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 5 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Temat: Funktory zdaniotwórcze.

 

Znając  już  z  poprzednich  tematów  podstawy  logiki  matematycznej  wiesz,  że  w  zdania  złożone  składają  się 
z przynajmniej dwóch zdań prostych rozdzielonych jakimś słowem lub grupą słów. Przykładowo w zdaniu: 

Teraz świeci słońce

, 

więc

 

pójdę się poopalać

.

 

zdania proste (wyróżnione na czerwono) są rozdzielone słowem 

więc

, a na przykład w zdaniu: 

Skoro 2 < 5 

i

 5 < 8,

 to

 2 < 8. 

zdania proste są rozdzielone słowami „

i

” oraz „

to

” (oba wyróżniono kolorem zielonym). Zdania złożone mogą być 

także rozdzielone słowem „

lub

” np.: 

Teraz czytam ten tekst 

lub 

myślę o tym co będzie dalej. 

Mam 16 lat 

lub

 17 lat 

lub

 jestem pełnoletni 

lub

 mam fioła na punkcie hip-hopu. 

Z punktu widzenia gramatyki języka polskiego zbyt częste powtarzanie jednego słowa lub zwrotu jest błędem. Przy-
kładowo w powyższym zdaniu nauczyciel języka polskiego nakazałby usunięcie jednego słowa „lub” lub zastąpienie 
go innym słowem. Tymczasem z punktu widzenia logiki matematycznej w omawianym zdaniu błędu nie ma. W uję-
ciu  matematycznym  zdanie złożone  składające  się  np.  z  40  zdań  prostych  może być  za  każdym  razem rozdzielone 
słowem „lub” pomimo tego, że słowo to wystąpi aż 39 razy w tym zdaniu. 

W logice matematycznej do rozdzielania zdań prostych dość często używa się słowa „

więc

”. 

Ponieważ 2 + 3 = 5 

i

 3 + 2 = 5 

więc

 dodawanie jest przemienne. 

Skoro liczba 2 jest większa od 0, 

więc

 jest dodatnia. 

lub kilku słów np. „

wynika z tego, że

” lub „

wtedy i tylko wtedy gdy

”.  

W zbiorze liczb rzeczywistych, pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej 

istnieje 

tylko

 

wtedy, gdy

 jest on stopnia nieparzystego. 

To  co  występuje  w  zdaniach  złożonych  między  zdaniami  prostymi,  nazywa  się  w  matematyce  funktorami  zdanio-
twórczymi. Trzeba tu jednak zaznaczyć, że przykładowo w zdaniu: 

„

Nieprawda, że

 lubię pić kawę.” 

funktorem zdaniotwórczym jest wyrażenie „nieprawda, że” pomimo tego, że nie stoi ono między zdaniami prostymi. 

Funktor zdaniotwórczy

 — jedno słowo lub kilka słów stojących bezpośrednio przed zdaniem prostym. 

W tym temacie funktory zdaniotwórcze wyróżniono kolorem zielonym. 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 6 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Musisz jednak pamiętać, że funktory zdaniotwórcze występują tylko w tych zdaniach logicznych. Przykładowo słowo 
„więc” nie będzie funktorem zdaniotwórczym jeśli zostanie ono użyte np. w zdaniu: 

Umiesz to zrobić, więc zrób to! 

bo zdanie to nie jest oznajmujące (nie jest zakończone kropką). 

Ćwiczenie:  

Wyróżnij kolorem zielonym funktory zdaniotwórcze w poniższych złożonych zdaniach logicznych. 

a)

 

To krzesło jest solidne i dodatkowo jest ono ładne. 

b)

 

W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks i zaczęłam uczyć się języka japońskiego. 

c)

 

Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat. 

d)

 

Jestem chłopakiem lub nie jestem chłopakiem lub jestem dziewczyną. 

e)

 

Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond, to wygląda ładniej, niż gdy ma zrobiony bale-
jaż lub splecione w warkocz. 

f)

 

Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę. 

Odp.: 

a)

 

To krzesło jest solidne 

i 

dodatkowo jest ono ładne. 

b)

 

W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks 

i

 zaczęłam uczyć się języka japońskiego. 

c)

 

Mam 17 lat 

lub

 19 lat 

lub

 21 lat. 

d)

 

Jestem chłopakiem 

lub

 nie jestem chłopakiem 

lub

 jestem dziewczyną. 

e)

 

Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond, 

to

 wygląda ładniej, 

niż

 gdy ma zrobiony balejaż 

lub

 splecione w warkocz. 

f)

 

Na ogół pijam Coca-Colę, 

ale gdy

 nie ma jej na stole, 

to

 pijam tylko herbatę 

lub

 kawę. 

W logice matematycznej funktory mają swoją nazwę i symbol. 

Dla jednego zdania prostego istnieją 4 różne funktory zdaniotwórcze.

 Funktory te oznaczmy przykładowo symbola-

mi: 

ߜ



, 

ߜ



, 

ߜ



, 

ߜ



. Działanie tych funktorów na jednym zdaniu prostym 

݌ mogącym przybierać wartość logiczną 0 lub 

1 przedstawia poniższa tabelka. 

 

p 

ࢾ

 

࢖  ࢾ

!

࢖  ࢾ

"

࢖  ࢾ

#

࢖ 

૙ 

0 

0 

1 

1 

૚ 

0 

1 

0 

1 

 

Powyższą tabelkę należy rozumieć w taki sposób, że nowa wartość zdania prostego dzięki działaniu funktora: 

— 

ߜ



 ma zawsze wartość 0, niezależnie od tego, czy zdaniu 

݌ została przypisana wartość logiczna 0 czy 1 

— 

ߜ



 ma zawsze wartość zgodną z wartością logiczną zdania 

݌ tzn. gdy ݌ = 0, to ߜ



= 0, gdy 

݌ = 1, to ߜ



= 1 

— 

ߜ



 ma zawsze wartość przeciwną do wartości logicznej zdania 

݌ tzn. gdy  ݌ = 0, to ߜ



= 1, gdy 

݌ = 1, to ߜ



= 0 

— 

ߜ



 ma zawsze wartość 1, niezależnie od tego, czy zdaniu 

݌ została przypisana wartość logiczna 0 czy 1. 

Największą  rolę  w  logice  matematycznej  odgrywa  funktor  oznaczony  symbolem 

ߜ



,  czyli  zmieniający  wartość  lo-

giczną zdania prostego na przeciwną. Funktor ten nazywa się 

negacją 

(zaprzeczeniem) i najczęściej oznacza się go 

symbolem „~” lub „Not”.  

Funktor negacji wymawia się „

nieprawda, że

”

, ale zapis ~

݌ bywa często czytany w skró-

cie: „

nie 

݌

”. 

Przypuśćmy więc, że literką 

݌ oznaczymy zdanie proste: 

„Jestem chłopakiem”. 

Wówczas zdanie proste oznaczone ~

݌ będzie brzmieć: 

„

Nieprawda, że

 jestem chłopakiem”. 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 7 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Pisanie, że ~

݌ brzmi „Jestem dziewczyną.” jest błędne. Aby lepiej zrozumieć o co tu chodzi, przytoczę krótką aneg-

dotkę: 

Nauczycielka pyta Jasia: 

— Jasiu, czy kwadrat jest prostokątem? 

Jaś odpowiada: 

— Jam mam fiutka, a pani nie. 

Wniosek: To co powiedział Jaś jest poprawne. Nie jest to jednak odpowiedź na pytanie nauczycielki. 

W naszym przypadku jest podobnie. Jeśli mamy zdanie „Jestem chłopakiem.” i chcemy jemu zaprzeczyć, to nie mo-
żemy  pisać  „Jestem  dziewczyną.”  Musimy  napisać  „Nie  jestem  chłopakiem.”  lub  „Nie  prawda,  że  jestem  chłopa-
kiem.”. W przeciwnym razie nie mielibyśmy zdania zaprzeczającego lecz zadanie równoważne do zaprzeczającego. 

Jeśli literką 

݌ oznaczymy zdanie proste „Lubię seks.”, to zdanie ~݌ będzie brzmieć „

Nieprawda, że

 lubię seks.” 

Jeśli literką 

݌ oznaczymy zdanie proste „Z egzaminu dostałem 90 punktów na 100 możliwych.”, to zdanie ~݌ będzie 

brzmieć  „

Nieprawda,  że

  z  egzaminu  dostałem  90  punktów  na  100  możliwych.”  Zdanie  równoważne  zaprzeczeniu 

będzie brzmieć: „Na pewno nie dostałem dokładnie 90 punktów.” 

Jeśli literką 

݌ oznaczymy zdanie proste „Z egzaminu dostałem więcej niż 90 punktów na 100 możliwych.”, to zdanie 

~

݌ będzie brzmieć „

Nieprawda, że

 z egzaminu dostałem więcej niż 90 punktów na 100 możliwych.” Zdanie równo-

ważne do zaprzeczenia będzie brzmieć: „Z egzaminu dostałem dokładnie 90 punktów lub mniej.”  

Ćwiczenie:  

Napisz negację (zaprzeczenie) podanego zdania oraz zdanie równoważne do zaprzeczenia.  

a)

 

Mam 5 zł. 

b)

 

Mój wujek ma na imię Stanisław. 

c)

 

Lubię czytać. 

d)

 

Ważę więcej niż 100 kg. 

e)

 

Lubię kolor czerwony i niebieski. 

f)

 

Mam BMW lub Audi. [Zgadnij który z tych samochodów posiadam.] 

Odp.: 

 

Negacja: 

Zdanie równoważne negacji: 

a) 

Nieprawda, że mam 5 zł. 

Nie mam dokładnie 5 zł. 

b) 

Nieprawda, że mój wujek ma na imię Stanisław. 

Mój wujek ma inne imię niż Stanisław. 

c) 

Nieprawda, że lubię czytać. 

Nie lubię czytać. 

d) 

Nieprawda, że ważę więcej niż 100 kg. 

Ważę dokładnie 100 kg lub mniej. 

e) 

Nieprawda, że lubię kolor czerwony i niebieski. 

Nie lubię koloru czerwonego i niebieskiego. 

f) 

Nieprawda, że mam BMW lub Audi. 

Nie mam BMW i nie mam Audi. 

Przyjmijmy teraz, że mamy dane dwa zdania proste: 

݌ i ݍ rozdzielone funktorem zdaniotwórczym. 

Jeśli  funktor  stoi  między  dwoma  zdaniami  prostymi  to  nazywa  się  on 

dwuargumentowym

.  Podobnie  jak  funktory 

jednoargumentowe może on przybierać wartości logiczne 0 lub 1 zależnie od wartości logicznych zdań prostych. 

W  logice  matematycznej  funktorów  dwuargumentowych  jest  dokładnie  16.  Oznaczmy  je  symbolami: 
∆



, ∆



, …,  ∆

$

 i zobaczmy wyniki jakie one dają: 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 8 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

࢖ 

ࢗ 

p Δ

1

 q 

p Δ

2

 q 

p Δ

3

 q 

p Δ

4

 q 

p Δ

5

 q 

p Δ

6

 q 

p Δ

7

 q 

p Δ

8

 q 

p Δ

9

 q 

p Δ

10

 q 

p Δ

11

 q 

p Δ

12

 q 

p Δ

13

 q 

p Δ

14

 q 

p Δ

15

 q 

p Δ

16

 q 

૙ 

0

 

0

 

1

 

0

 

1

 

0

 

1

 

0

 

1

 

0

 

1

 

0

 

1

 

0

 

1

 

0

 

1

 

૙ 

1

 

0

 

0

 

1

 

1

 

0

 

0

 

1

 

1

 

0

 

0

 

1

 

1

 

0

 

0

 

1

 

1

 

૚ 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

 

1

 

1

 

1

 

1

 

0

 

0

 

0

 

0

 

1

 

1

 

1

 

1

 

૚ 

1

 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

oznaczenie: 

 

p Nor q 

p Xor q 

p 

⊻ q 

 

 

 

 

p | q 

p And q 

p 

∧ q 

p 

⇔ q 

 

p 

⇒ q 

 

 

p Or q 

p 

∨ q 

 

 

Ciekawostka:   Patrząc  wierszami  na  powyższe  liczby  wypisane  na  białym  tle,  widać,  że  w  wierszu  pierwszym  mamy  na  przemian  liczby  0  i  1.  W  wierszu  drugim  mamy  na 

przemian po dwa 0 i po dwie 1. W wierszu trzecim mamy na przemian po 4 zera i po 4 jedynki, zaś w ostatnim wierszu mamy kolejno 8 zer i 8 jedynek. Taki 
sposób uporządkowania liczb nie jest przypadkowy. Bazuje on na tzw. dwójkowym systemie zapisywania liczb (system binarny) i pozwala na wypisanie wszyst-
kich wartości funktorów bez obawy że przez przypadek nastąpi błąd w wypełnianiu tej tabelki. Mało tego. Dzięki takiemu sposobowi wypełniania tabelki, do-
stajemy wszystkie wartości funktorów zaczynając od kolumny z samymi zerami, a kończąc na kolumnie z samymi jedynkami. 

Jak widać funktory mają swoje oznaczenia, a niektóre z nich także nazwy. Oto one: 

Δ



   — funktor Nor 

Δ



   — funktor alternatywy wykluczającej: ⊻ (funktor Xor) 

Δ

%

   — funktor dysjunkcji: | 

Δ

&

   — funktor koniunkcji: 

∧

 (funktor And) 

Δ

'

  — funktor równoważności: ⇔ 

Δ



  — funktor implikacji: ⇒ 

Δ

(

  — funktor alternatywy: 

∨

 (funktor Or) 

Jeśli chodzi o funktory dwuargumentowe (czyli te z powyższej tabelki), to największe znaczenie w logice matema-
tycznej odgrywają tylko te które zostały oznaczone symbolami: Δ

&

, Δ

'

, Δ



, Δ

(

. 

Jak na razie po przeczytaniu tego tematu, wiesz, że są 4 funktory jednoargumentowe i jest 16 funktorów dwuargu-
mentowych, czyli, że razem jest ich 20. Co ciekawe, aż 18 z tych 20-stu funktorów można zdefiniować używając wy-
łącznie dwóch pozostałych tj. funktora negacji i alternatywy. 

Wniosek:  Cała  logika  matematyczna  opiera  się  wyłącznie  na  jednoargumentowym  funktorze  negacji  oraz 

dwuargumentowym funktorze alternatywy. 

Aby nie utrudniać sobie życia, dla wygody bardzo często używa się także funktora koniunkcji, implikacji oraz równo-
ważności, choć każdy z nich można zastąpić używając tylko negacji i alternatywy. 

Jeśli  chcesz  umieć  perfekcyjnie  logikę  matematyczną,  nie  musisz  wszystkiego  co  napisałem  wykuwać  na  pamięć. 
Wystarczy, że zapamiętasz tylko ten fragment poprzedniej tabelki: 

࢖ 

ࢗ 

p Δ

9

 q 

p Δ

10

 q 

p Δ

12

 q 

p Δ

15

 q 

૙ 

૙ 

0 

1 

1 

0 

૙ 

૚ 

0 

0 

1 

1 

૚ 

૙ 

0 

0 

0 

1 

૚ 

૚ 

1 

1 

1 

1 

oznaczenie: 

p ∧ q 

p ⇔ q 

p ⇒ q 

p ∨ q 

nazwa: 

koniunkcja  równoważność  implikacja  alternatywa 

oraz, że negacją wartości logicznej 0 jest wartość logiczna 1 i odwrotnie. To dosłownie wszystko co musisz umieć na 
pamięć. 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 9 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Koniunkcja 

Koniunkcja

 — zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem koniunkcji: 

∧

. 

݌

∧

ฎ

)*+

+*+,-

ݍ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

+*+,-

 

Funktor koniunkcji wymawiamy: „i”, czyli powyższy zapis 

݌ ∧ ݍ czytamy: „pe i ku”. 

Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są prawdziwe.  

Przykład: 

Na ogół luty ma 28 dni

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



 i

  zazwyczaj w wakacje jest ciepło

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



 

i

  co roku w Polsce pada śnieg

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



.

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

./0120

 

Gdyby choćby jedno z powyższych zdań prostych nie było prawdziwe lub nie można byłoby jednoznacznie określić 
czy jest ono prawdziwe czy fałszywe, wówczas koniunkcja tych wszystkich zdań prostych byłaby fałszywa (miałaby 
wartość logiczną 0). 

Przykład: 

Na ogół luty ma 28 dni

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



 i  zazwyczaj w wakacje jest ciepło

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



 i  co roku pada śnieg

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



/

ł

.

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

34 567 879: ;<=567 > ?4;@A6756@ B4C6D6 A=:7A=:EF;578,>6ęF 567 A4ż5= 4F756=ć 87C4 >=?:4śF6 B4C6F;578.

GHść   ą     LM Młą     ń   MO.

 

Ostatnie zdanie proste w powyższym przykładzie nie daje się jednoznacznie określić słowem „prawda” lub „fałsz”. 
Chodzi o to, że nie jest sprecyzowane, czy chodzi o opady śniegu na całej kuli ziemskiej, czy tylko o jakiś jej rejon. Jak 
wiadomo na równiku śnieg nigdy nie pada, a na przykład na Syberii pada co roku. 

Negacją funktora koniunkcji (nie negacją koniunkcji) jest funktor alternatywy — patrz punkt 3) na stronie 13. 

Alternatywa 

Alternatywa

 — zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem alternatywy: 

∨

.

 

݌

∨

ฎ

)*+

PQRQ

ݍ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

PQR

 

Funktor alternatywy wymawiamy: „lub”. 

Alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fał-

szywe

 — we wszystkich pozostałych przypadkach jest prawdziwa. To samo można też wypowiedzieć w sposób rów-

noważny: 

Alternatywa jest prawdziwa, gdy przynajmniej jedno zdanie proste jest prawdziwe. 

Przykład: 

Liczba 28 jest większa

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ł

 

lub

  równa liczbie 28

ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ .



ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

./0120

 

Negacją funktora alternatywy (nie negacją alternatywy) jest funktor koniunkcji — patrz punkt 3) na stronie 13. 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 10 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Implikacja 

Implikacja

 

 — zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem implikacji: ⇒. 

݌

⇒

ฎ

)*+

SP+,-

ݍ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

SP+,-

 

Jeśli funktor implikacji stoi pomiędzy dwoma zdaniami prostymi p i q, to do przeczytania powstałego w ten sposób 
zdania złożonego, użyjemy jednego ze sformułowań: 

— 

݌ implikuje ݍ 

— 

݌ pociąga ݍ 

— z 

݌ wynika ݍ 

— jeżeli 

݌ to ݍ 

Spójrz teraz na ostatnią tabelkę, a dokładniej na kolumnę z implikacją. Zauważ, że wartości implikacji można łatwo 
zapamiętać. 

Implikacja jest fałszywa (ma wartość logiczną 0) tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie logiczne (poprzednik) 

jest prawdziwe, a drugie (następnik) fałszywe — w pozostałych przypadkach jest prawdziwa.

 Innymi słowy implika-

cja nie pozwala otrzymać z prawdy fałszu. 

Z prawdy nie może wynikać fałsz. 

lub inaczej: 

W przypadku implikacji, jeśli poprzednik jest prawdziwy, to następnik nie może być fałszywy.

 

Na potwierdzenie tego podam teraz kilka przykładów: 

2 = 3

ᇣᇤᇥ

)ł

 /

ሺ ሻ



⇒ 4 = 9

ᇣᇤᇥ

)ł

  

— z fałszu może wynikać fałsz 

−3 = 3

ᇣᇧᇤᇧᇥ

)ł

 /

ሺ ሻ



⇒ 9 = 9

ᇣᇤᇥ

R

  — z fałszu może wynikać prawda 

2 = 2

ᇣᇤᇥ

R

 /

ሺ ሻ



⇒ 4 = 4

ᇣᇤᇥ

R

   — z prawdy może wynikać prawda (o ile przekształcenia są wykonane prawidłowo) 

No i został tylko przypadek gdy z prawdy wynika fałsz. Jest z nim tylko jeden problem. Nie istnieje żadne prawdziwe 
zdanie logiczne, które po poprawnych przekształceniach dałoby zdanie fałszywe. Zatem „

z prawdy nie może wynikać 

fałsz

”. 

W  przypadku  implikacji,  ważna  jest  kolejność  zdań  prostych.  Mianowicie  zapis: 

݌ ⇒ ݍ  to nie  to  samo  co ݍ ⇒ ݌. 

Można natomiast symbol implikacji odwrócić, ale wówczas trzeba odwrócić także kolejność zdań prostych. Innymi 
słowy zamiast pisać 

݌ ⇒ ݍ można napisać ݍ ⇐ ݌, a zamiast pisać ݍ ⇒ ݌ można pisać ݌ ⇐ ݍ. Tę odwróconą implika-

cję nazywamy „implikacją w lewo” lub „implikacją odwrotną”, a tę standardową „implikacją w prawo” lub „implika-
cją  prostą”  lub  krócej  „implikacją”.  Jeśli  mówimy  tylko  słowo  „implikacja”  to  zawsze  mamy  na  myśli  implikację 
w prawo, a jeśli chcemy powiedzieć, że chodzi nam o implikację w lewo, to zawsze musimy dopowiedzieć „w lewo”. 

Zdania proste w implikacjach: 

݌ ⇒ ݍ oraz ݌ ⇐ ݍ można zaprzeczyć. Otrzymamy wówczas implikacje o nowych na-

zwach: 

~

݌ ⇒ ~ݍ — implikacja przeciwna (równoważna implikacji odwrotnej) 

~

݌ ⇐ ~ݍ — implikacja przeciwstawna (równoważna implikacji prostej) 

Jeśli w zdaniu logicznym oprócz funktora implikacji występuje funktor alternatywy lub koniunkcji lub negacji, to im-
plikacja jest najsilniejsza z nich. Oznacza to, że to właśnie implikacja, a nie koniunkcja czy alternatywa rozbija dane 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 11 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

wyrażenie na  lewą  i prawą  stronę  pomimo  tego,  że nie  ma  nawiasów.  Innymi  słowy  oba  poniższe  zapisy  są  sobie 
równoważne: 

݌ ∨ ݍ ⇒ ~݌ ∧ ݍ 

ሺ

݌ ∨ ݍ

ሻ

⇒

ሺ

~

݌ ∧ ݍ

ሻ

 

Równoważność 

Równoważność

 

— zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem równoważności ⇔.

 

݌

⇔

ฏ

)*+

óRRżś,

ݍ

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

óRRżść

 

Funktor równoważności wymawiamy: „wtedy i tylko wtedy, gdy …”. Jego symbol nie bez powodu przypomina nało-
żone na siebie symbole implikacji w lewo i prawo. Funktor ten można bowiem zastąpić koniunkcją implikacji w lewo 
i prawo: 

݌ ⇔ ݍ ≡ ሺ݌ ⇐ ݍሻ ∧ ሺ݌ ⇒ ݍሻ 

Te 3 kreseczki w powyższym zapisie czytaj „jest równoważne”. Jest to symbol tzw. kongruencji. 

Zauważmy,  że  podstawie  tabelki  (2  strony  wcześniej)  mamy,  że  równoważność  jest  prawdziwa  tylko  wtedy,  gdy 
wszystkie zdania proste mają tę samą wartość logiczną, tj. gdy wszystkie są fałszywe lub wszystkie są prawdziwe. 

Jeśli w zdaniu logicznym oprócz funktora równoważności występują inne funktory np. negacji, koniunkcji czy alter-
natywy, to funktor równoważności jest najsilniejszy z nich, i to właśnie on, a nie żaden z pozostałych funktorów roz-
bija dane wyrażenie na stronę lewą i prawą. Generalnie chodzi o to, że nie musimy stosować nawiasów w sytuacjach 
gdy  występuje  tylko  jeden funktor  równoważności.  Przykładowo  rzecz  ujmując,  oba poniższe  zapisy  są  sobie  rów-
noważne: 

݌ ∨ ݍ ⇒ ݎ ⇔ ~݌ ∧ ݍ 

൫

ሺ

݌ ∨ ݍ

ሻ

⇒

ݎ

൯

⇔

ሺ

~

݌ ∧ ݍ

ሻ

 

Silniejszy od funktora równoważności jest funktor kongruencji oznaczany symbolem: ≡. Symbol kongruencji stosu-
jemy wtedy, gdy chcemy zapisać, że dwie równoważności są sobie równoważne. 
 

 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 12 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Temat: Rachunek zdań — prawa logiczne (tautologia).

 

Na początku tego opracowania napisałem, że w logice matematycznej zdania proste oznacza się małymi literkami 
z alfabetu angielskiego zaczynając od literki 

݌, ݍ, ݎ, … . Od teraz prawie wszystkie zdania zarówno proste jak i zło-

żone będziemy zapisywać tylko symbolicznie. 

Z poprzednich tematów wiemy już, że symbol ~ oznacza negację — zaprzecza zdaniu przed którym stoi. Przykłado-
wo zapis ~

݌ zaprzecza zdaniu ݌, zaś zapis 

~

ሺ

~

݌

ሻ 

zaprzecza

 

zaprzeczeniu zdania 

݌

. Przypuśćmy, że zdanie 

݌ brzmi: 

Jestem chłopakiem. 

więc zdanie 

~

݌

 będzie brzmieć: 

Nie

 jestem chłopakiem. 

[Równoważnie: „Jestem dziewczyną.”] 

zaś 

~

ሺ

~

݌

ሻ będzie brzmieć: 

Nieprawda, że

 nie jestem chłopakiem. 

[Równoważnie: „Nieprawda, że jestem dziewczyną.” czyli „Jestem chłopakiem.”] 

Wniosek:  Skoro osoba mówiąca powyższe zdanie najpierw zaprzecza temu że jest chłopakiem, a potem znowu te-

mu zaprzecza, więc w wyniku końcowym dostajemy zdanie początkowe, czyli, że jest chłopakiem. 

Z punktu widzenia logiki matematycznej, zaprzeczenie zaprzeczenia jest równoważne zdaniu wyjściowemu. Symbo-
licznie zapisuje się to w taki sposób: 

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌ 

a  poprawność  tego  zapisu  sprawdza  się  rozpatrując  wszystkie  możliwe  wartości  zdania  logicznego 

݌.  Ponieważ 

opracowanie  to  dotyczy  logiki  dwuwartościowej,  więc  zdanie 

݌ może przybierać tylko jedną z dwóch wartości tj. 

może być albo równe 0 albo 1. Wystarczy więc zrobić maluteńką tabelkę (metoda zerowo-jedynkowa) i zauważyć, 
że niezależnie od tego czy 

݌ jest równe 0 czy 1, wynik końcowy zawsze wychodzi równy 1. 

Metoda zerowo-jedynkowa (tabelkowa) 

Aby zrobić tabelkę nawet do tak krótkiego wyrażenia: 

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌ trzeba najpierw się zastanowić co w tej tabelce 

będzie. Na początek rzuca się nam w oczy to, że w zapisie tym występuje tylko jedno zdanie proste 

݌ (po obu stro-

nach równoważności). Tak więc pierwsza kolumna tabelki będzie zawierać wszystkie możliwe wartości zdania 

݌ (bę-

dą tylko dwie). Dodatkowo widzimy, że mamy zaprzeczenie zdania 

݌ (to będzie druga kolumna) oraz zaprzeczenie 

zaprzeczenia (kolumna 3-cia). Później widzimy równoważność (cały zapis), który to trzeba będzie umieścić w ostat-
niej tj. w czwartej kolumnie. Mamy więc taką tabelkę: 

݌ 

~

݌

 

~

ሺ

~

݌

ሻ 

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌ 

0   

 

 

1   

 

 

Aby uzupełnić tę tabelkę, trzeba na pamięć znać co robi funktor negacji (ta falująca kreseczka) oraz funktor równo-
ważności (⇔). Wszystko to było omówione w poprzednim temacie. Mimo to, przypomnę, że negacja zmienia war-
tość logiczną 0 na 1, a wartość 1 na 0. Równoważność zaś daje wynik 1 jeśli to co jest po lewej stronie symbolu ⇔ 
ma taką samą wartość logiczną jak to co jest po stronie prawej. Wiedzą to, możemy uzupełnić powyższą tabelkę: 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 13 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

݌ 

~

݌

 

~

ሺ

~

݌

ሻ 

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌ 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

Analiza powyższej tabelki: 

Niezależnie od tego, czy zdanie proste 

݌ przyjmuje wartość logiczną 0 czy 1, w ostatniej kolumnie wyszły same je-

dynki (każda jedynka to symboliczny zapis słowa „prawda”). Oznacza to, że zawsze zaprzeczenie zaprzeczenia jest 
równoważne zdaniu początkowemu. 

Zdanie  złożone  np.  takie  jak  w  ostatniej  kolumnie  powyższej  tabelki,  które  zawsze  jest  prawdziwe  niezależnie  od 
wartości logicznych zdań prostych w nim występujących, nazywamy prawem logicznym lub krócej tautologią. 

Prawo logiczne

 (tautologia) —   zdanie  złożone,  które  przyjmuje  zawsze  wartość  logiczną  1  niezależnie 

od wartości logicznych zdań prostych. 

 
Każde prawo logiczne trzeba udowodnić, tzn. pokazać jego prawdziwość w każdym przypadku. W tym celu najczę-
ściej  stosuje  się  tzw.  metodę  „zerowo-jedynkową”,  czyli  robi  się  odpowiednią  tabelkę  do  której  wpisuje  się  tylko 
liczby 0 lub 1. Przykład takiej tabelki wraz z opisem został zaprezentowany nieco wyżej. 

Prawa logiczne można dowodzić także metodą „nie wprost”, ale na ogół za pomocą tabelki można dowód skończyć 
dużo szybciej. 

Nazwy praw logicznych 

Prawa logiczne miewają także swoje nazwy: 

l.p. 

prawo logiczne 

(wyrażenie które jest zawsze prawdziwe) 

nazwa prawa logicznego 

1. 

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌ 

prawo podwójnego przeczenia 

2. 

~

ሺ݌ ∧ ~݌ሻ 

prawo wyłączonej sprzeczności 

3. 

݌ ∨ ~݌ 

prawo wyłączonego środka 

4. 

݌ ∧ ሺݍ ∨ ݎሻ ⇔ ሺ݌ ∧ ݍሻ ∨ ሺ݌ ∧ ݎሻ  prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy 

5. 

݌ ∨ ሺݍ ∧ ݎሻ ⇔ ሺ݌ ∨ ݍሻ ∧ ሺ݌ ∨ ݎሻ  prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji 

6. 

~

ݍ ⇒ ~݌ 

prawo kontrapozycji 

7. 

ሺ

݌

⇒

ݍ

ሻ ∧ ሺ

ݍ

⇒

ݎ

ሻ ⇔ ሺ

݌

⇒

ݎ

ሻ  prawo przechodniości implikacji 

8. 

~

ሺ݌

∨

ݍሻ ⇔ ሺ

~

݌

∧

~

ݍሻ 

prawo de Morgana 

9. 

~

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔ ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ 

prawo de Morgana 

Niektóre prawa logiczne nie mają nazw. Oto przykłady takich praw: 

1)

 

݌ ⇒ ሺ݌ ∨ ݍሻ 

2)

 

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ሺ~݌ ∨ ݍሻ 

— to prawo jest bardzo ważne. Wyucz się go na pamięć. 

3)

 

~

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ሺ݌ ∧ ~ݍሻ 

Spostrzeżenie:   Dostawienie negacji przed implikacją w punkcie 2) sprawia, że zdania proste zmieniają swoje warto-

ści na przeciwne i 

dodatkowo funktor alternatywy zmienia się w funktor koniunkcji

. 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 14 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Wykażmy teraz za pomocą metody zerowo-jedynkowej (czyli za pomocą tabelki), że pierwsze z powyższych wyrażeń 
jest prawem logicznym. 

Analiza zapisu tego wyrażenia: 

1.

 

Mamy dwa zdania proste: 

݌ i ݍ, czyli będziemy potrzebować dwie kolumny (po jednej do każdego zdania pro-

stego), oraz 5 wierszy (wiersz pierwszy będzie zawierać nagłówki kolumn, zaś 4 pozostałe wszystkie możliwe 
przypadki  dla  tych  dwóch  zdań  prostych:  oba  zdania  są  fałszywe,  pierwsze  zdanie  jest  fałszywe  a  drugie 
prawdziwe, pierwsze zdanie jest prawdziwe a drugie fałszywe, oba zdania są prawdziwe). 

2.

 

Widzimy, że po prawej stronie funktora implikacji jest alternatywa dwóch zdań, więc musimy zarezerwować 
sobie 3-cią kolumnę na tę właśnie alternatywę 

ሺ݌ ∨ ݍሻ. 

3.

 

Została już tylko implikacja, więc ostatnią tj. 4-tą kolumnę tabelki rezerwujemy na wartości tejże implikacji. 

Robimy więc tabelkę: 

݌  ݍ  ሺ݌ ∨ ݍሻ  ݌ ⇒ ሺ݌ ∨ ݍሻ 

0  0 

0 

1 

0  1 

1 

1 

1  0 

1 

1 

1  1 

1 

1 

Opis uzupełniania tabelki: 

— do kolumny drugiej wpisaliśmy na przemian 0 lub 1 

— do kolumny pierwszej wpisaliśmy na przemian po dwa zera i po dwie jedynki 

— kolumnę 3-cią uzupełniamy w oparciu o dwie pierwsze kolumny, pamiętając o tym, że alternatywa dwóch zdań 

jest fałszywa (równa 0) tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe 

— kolumnę ostatnią uzupełniamy w oparciu o kolumnę 1-wszą i 3-cią (kolejność jest ważna bo mamy implikację), 

pamiętając o tym, że w przypadku implikacji z prawdy nie może wynikać fałsz. 

Ponieważ w ostatniej kolumnie wyszły samej jedynki, więc wykazaliśmy, że wyrażenie 

݌ ⇒ ሺ݌ ∨ ݍሻ jest tautologią. 

Za pomocą tej samej metody udowodnij, że wyrażenia: ~

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ሺ݌ ∧ ~ݍሻ oraz ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ሺ~݌ ∨ ݍሻ są także 

prawami logicznymi. 

Metoda nie wprost (apagogiczna) 

Jak wcześniej napisałem metoda zerowo-jedynkowa nie jest jedyną za pomocą której można sprawdzać, czy podane 
wyrażenie jest prawem logicznym. Inną metodą (nie tabelkową) jest „metoda nie wprost”. Polega ona na tym, że ja-
ko krok pierwszy stawiamy hipotezę o, że dane wyrażenie jest fałszywe. Zatem w naszym przypadku hipoteza brzmi:  

„Wyrażenie 

݌

⇒

ሺ݌ ∨ ݍሻ

 jest fałszywe.” 

Jeśli jest ona prawdziwa, to lewa strona tego wyrażenia (w tym przypadku jest nią tylko zdanie 

݌

) musi być 

praw-

dziwa

, a prawa 

fałszywa

. Tylko w takim przypadku 

implikacja

 jest fałszywa (zgodna z hipotezą). Ponieważ lewa stro-

na jest prawdziwa, więc wiemy, że 

݌ = 1. Zatem to samo ݌ ale z prawej strony funktora implikacji też ma wartość 

logiczną  1,  a to  oznacza, że alternatywa 

݌ ∨ ݍ

  jest  prawdziwa,  co  jest  sprzeczne  z  wcześniej  poczynionym  założe-

niem, że jest ona fałszywa. 

Wniosek: Postawiona hipoteza jest błędna, więc wyrażenie 

݌

⇒

ሺ݌ ∨ ݍሻ

 jest zawsze prawdziwe (jest tautologią). 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 15 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Aby można było lepiej zrozumieć co robiliśmy w powyższym dowodzie, wykonam teraz schemat: 

„Wyrażenie 

݌ฎ

R

ᇣᇤᇥ

T

⇒

(

݌ณ



∨

ݍ)

ᇩᇭᇪᇭᇫ

)ł

 jest fałszywe.” 

Teraz wyraźnie widać, że czerwona jedynka i czerwone słowo „fałsz” są ze sobą w sprzeczności, bo alternatywa jest 
fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste ją tworzące są fałszywe. 

Metodę nie wprost bardzo często wykorzystuje się wtedy, gdy trzeba wykazać prawdziwość czegoś dla nieskończe-
nie wielu elementów jakiegoś zbioru. 

Ćwiczenie:  

Sprawdź (dowolną metodą), czy poniższe wyrażenia są prawami logicznymi. 

a)

 

~

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔ ሺ~݌

∨

~

ݍሻ 

b)

 

~

ሺ݌

∨

ݍሻ ⇔ ሺ~݌

∧

~

ݍሻ 

c)

 

ሾሺ݌

∧

ݍሻ

∨

ݎሿ ⇔ ሾሺ݌

∨

ݎሻ

∧

ሺݍ

∨

ݎሻሿ 

d)

 

[(

݌

∨

ݍ) 

∧

 

ݎ] ⇔ [(݌

∧

ݎ)

∨

(

ݍ

∧

ݎ)] 

Tworzenie nowych praw logicznych 

Nowe  prawa  logiczne  możemy  tworzyć  w  oparciu  o  te,  które  już  znamy.

  Wystarczy  wykorzystać  znaną  z  czasów 

gimnazjum  metodę  podstawiania  tj.  napisać  dowolne  wyrażenie  zamiast  dowolnej  wybranej  przez  siebie  literki 
(zmiennej  zdaniowej).  Jako  przykład  rozpatrzmy  najpierw  prawo  które  już  dobrze  znamy  tj.  prawo  podwójnego 
przeczenia: 

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌ 

i zamiast każdej literki 

݌ (w tym przypadku nie możemy wybrać innej, bo jest tylko jedna) napiszmy jakiekolwiek wy-

rażenie które przyjdzie nam do głowy np. 

ሺ݌ ∨ ݍሻ

. Otrzymamy wóczas nowe wyrażenie: 

~

൫

~

ሺ݌ ∨ ݍሻ

൯ ⇔

ሺ݌ ∨ ݍሻ

 

które po sprawdzeniu np. metodą zerowo-jedynkową także okaże się tautologią. Mało tego. Zamiast literki 

݌ można 

napisać wyrażenie zawierające np. 20 literek i to co otrzymamy, również będzie tautologią. 

Taki  sposób  otrzymywania  nowych  tautologii  dotyczy  każdego  prawa  lo-
gicznego, a nie tylko przytoczonego wyżej prawa podwójnego przeczenia. 

Zobaczmy jeszcze tę metodę podstawiania na przykładzie jednego z dwóch praw de Morgana. Na początku mamy: 

~

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔ ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ 

i zamiast literki 

݌ napiszmy np. 

ሾ݌ ⇒ ሺݍ ∧ ݎሻሿ

, a zamiast literki 

ݍ napiszmy np.

 

ሾݎ ∨ ݌ ∧ ݎሿ

. Otrzymujemy zatem no-

we, znacznie bardziej rozbudowane wyrażenie: 

~

ሺ

ሾ݌ ⇒ ሺݍ ∧ ݎሻሿ

∧

ሾݎ ∨ ݌ ∧ ݎሿ

ሻ ⇔ ሺ

~

ሾ݌ ⇒ ሺݍ ∧ ݎሻሿ

∨

~

ሾݎ ∨ ݌ ∧ ݎሿ

ሻ 

które po sprawdzeniu np. metodą zerowo-jedynkową (tabelkową) także okaże się tautologią. 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 16 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Funktory Nor i Xor 

Na początku tego opracowania pisałem, że wszystkie funktory jendo- i dwuargumentowe można zdefiniować uży-
wając wyłącznie funktora negacji i alternatywy. Nie wykazywałem jednak tego, bo nie znaliśmy jeszcze ani metody 
tabelkowej, ani metody „nie wprost”. Teraz już je znamy, więc na początek wykażmy prawdziwość takiego wyraże-
nia: 

ሺ݌ Nor ݍሻ ⇔ ~ሺ݌ ∨ ݍሻ 

Jak wiadomo (patrz tabelka na stronie 8) funktor Nor jest prawdziwy tylko wtedy, wszystkie zdania proste są fałszy-
we, zaś alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe. Zaprzeczając alternatywie 
(patrz  wyrażenie  po  prawej  stronie  funktora  równoważności),  dostajemy  dokładnie  to,  co  mamy  po  stronie  lewej 
funktora równoważności i to bez wykonywania tabelki. Jeśli jednak chcesz na upartego pokazać prawdziwość tego 
wyrażenia za pomocą tabelki, to trzeba ją zrobić tak: 

݌  ݍ 

݌ Nor ݍ 

݌ ∨ ݍ 

~

ሺ݌ ∨ ݍሻ 

ሺ

݌ Nor ݍ

ሻ

⇔

~

ሺ݌ ∨ ݍሻ

 

0  0 

1 

0 

1 

1 

0  1 

0 

1 

0 

1 

1  0 

0 

1 

0 

1 

1  1 

0 

1 

0 

1 

Zobaczmy teraz, jak za pomocą alternatywy i negacji rozpisać funktor Xor. Jak wiadomo z tabelki zamieszczonej na 
stronie  8,  wyrażenie 

݌ ܺ݋ݎ ݍ jest prawdziwe tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie proste jest fałszywe, a drugie jest 

prawdziwe. Robimy więc tabelkę: 

 

 

 

 

 

Ćwiczenie:  

Metodą prób i błędów ustal w jaki sposób wykorzystując tylko funktor alternatywy i negacji, można za-
stąpić funktory ∆



, ∆

(

, ∆

$

, ∆

U

, ∆

%

 zamieszczone w tabelce na stronie 8. 

Zróbmy teraz coś innego. Spróbujmy funktory: alternatywy, koniunkcji, implikacji oraz równoważności zastąpić funk-
torem Nor oraz negacją. Na początek zauważmy, że bezpośrednio z tabelki ze strony 8, widać, że: 

A

:

    

ሺ݌ ∨ ݍሻ ⇔ ~ሺ݌ Nor ݍሻ 

Powyższą równoważność oznaczmy sobie czerwoną literą 

A

, byśmy później mogli łatwo do niej wrócić, i alternatywą 

już nie zaprzątajmy sobie głowy — uzyskaliśmy już to co chcieliśmy. 

Przejdźmy do rozpisania koniunkcji. Na początek zauważmy, że na podstawie prawa de Morgana (strona 13) mamy: 

~

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔ ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ 

Negując obie strony tej równoważności dostajemy: 

~

൫~

ሺ݌

∧

ݍሻ

൯

⇔

~

ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ 

݌ 

ݍ 

݌ Xor ݍ 

~

ݍ  ݌ ∨ ~ݍ 

~

ሺ

݌ ∨ ~ݍ

ሻ 

ሺ

݌ Xor ݍ

ሻ

⇔

~

ሺ݌ ∨ ~ݍሻ

 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 17 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Na podstawie prawa podwójnego przeczenia (strona 13), widzimy, że lewa strona jest samą koniunkcją. Mamy więc: 

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔

~

ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ 

Pozostaje  nam  już  tylko  prawą  stronę  powyższej  równoważności  zapisać  za  pomocą  funktora  Nor.  W  myślach 
oznaczmy 

~

݌ za pomocą literki ܽ, zaś 

~

ݍ za pomocą literki ܾ. Mamy wówczas: 

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔

~

ሺ

ܽ

∨

ܾ

ሻ 

i na podstawie zapisu oznaczonego wcześniej literą 

A

, mamy: 

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔

ܽ

 Nor

 

ܾ

 

Cofając podstawienie, zamiast literki 

ܽ

 piszemy 

~

݌ i zamiast literki 

ܾ

 piszemy 

~

ݍ. Otrzymujemy zatem: 

B

:

    

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔

~

݌ Nor

 ~

ݍ 

Pozostaje już do rozpisania tylko implikacja i równoważność. Zajmijmy się implikacją. Z wcześniejszych tematów te-
go opracowania, wiemy, że: 

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ( ~݌

ด



∨

ݍณ

V

ᇣᇧᇤᇧᇥ

0:

 ~W

 X VY

) 

Cofając podstawienie, otrzymujemy: 

C

:

    

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ~ሺ~݌ Nor ݍሻ 

Została już tylko równoważność o której wiemy, że to jednoczesna implikacja w obie strony, czyli, że: 

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

൫

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ∧ ሺ݌ ⇐ ݍሻ

൯

 

Zamiast 

ሺ݌ ⇒ ݍሻ napiszmy literkę ܽ i zamiast ሺ݌ ⇐ ݍሻ napiszmy literkę ܾ. Mamy więc: 

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

ሺ

ܽ ∧ ܾ

ሻ 

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

(

~

ܽ 

Nor ~

ܾ

)

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

Z

 

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

൫

~

ሺ݌ ⇒ ݍሻ 

Nor ~

ሺ݌ ⇐ ݍሻ

൯ 

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

൫

~

ሺ

݌ ⇒ ݍ

ሻ

 

Nor ~

ሺ

ݍ ⇒ ݌

ሻ

൯ 

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

ቀ

~

൫

~

ሺ~݌ Nor ݍሻ

൯

 

Nor ~

൫

~

ሺ~ݍ Nor ݌ሻ

൯

ቁ 

D

:

    

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

൫

ሺ~݌ Nor ݍሻ

 

Nor 

ሺ~ݍ Nor ݌ሻ

൯ 

Ćwiczenie:  

Funktory ∆



 i ∆

%

 (patrz tabelka na stronie 8) zastąp funktorem Nor oraz negacją. 

[Odp.  ሺ

݌ ܺ݋ݎ ݍሻ ⇔ ሺ݌ ܰ݋ݎ ~ݍሻ; 

ሺ݌ | ݍሻ ⇔ ~(~݌ Nor ~ݍ). Podpowiedzi: Rozpisz Xor za pomocą alternatywy (tabelka na stronie 16), a potem tę alternatywę zastąp funktorem Nor (patrz 

A

). Aby rozpisać fun-

ktor 

∆

଼

 najpierw na podstawie tabelki ze strony 8, zauważ, że jest on negacją koniunkcji. Potem na podstawie 

B

 zastąp otrzymaną koniunkcję funktorem Nor.] 

Ćwiczenie:  

Sprawdź za pomocą tabelki, czy na pewno powyższe wyrażenia oznaczone czerwonymi literami A, B, C, 
D oraz te z ćwiczenia powyższego są tautologiami.

 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 18 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Odpowiedzi: 

 

Sprawdzanie wartości logicznych bardziej rozbudowanych wyrażeń 

No i dobiegamy już końca. Jedną z ostatnich rzeczy o jakiej należy wiedzieć jest to, że im więcej zdań prostych ma 
dane wyrażenie, tym więcej przypadków trzeba sprawdzić. Aby nie ominąć żadnego dobrze jest wypisywać wartości 
logiczne zdań prostych w porządku jaki panuje w systemie dwójkowym (binarnym). Nie wnikając w szczegóły zapi-
sywania liczb w systemie dwójkowym, powiem tylko tyle, że chodzi tu o to by w ostatnim zdaniu prostym wypisywać 
na przemian 0 i 1, w przedostatnim wypisywać na przemian po 2 zera i po 2 jedynki, w kolejnej kolumnie po 4 zera 
i po 4 jedynki, potem po 8 zer i po 8 jedynek itd. zależnie od tego ile zdań prostych będzie w danym wyrażeniu. Zo-
baczmy tabelkę wszystkich wartości dla 4-ch zdań prostych: 

Zauważmy, że wypisując wartości tym systemem, doszliśmy od wiersza z samymi zerami do wiersza 
z samymi jedynkami. Innymi słowy mamy pewność, że nic nie ominęliśmy. 

Spostrzeżenie:  

Ilość przypadków jaką trzeba rozważyć w metodzie zerowo-jedynkowej wyra-

ża  się  wzorem  2



,  gdzie 

݊ to liczba zdań prostych. Gdybyśmy więc mieli 10 zdań 

prostych, to trzeba byłoby sprawdzić 2

'

= 1024 przypadki. 

Aby nie przeciągać, sprawdźmy metodą zerowo-jedynkową, czy wyrażnie: 

ሺ݌ ∨ ݍሻ ∧ ݎ ⇒ ݌ ∨ ሺݍ ∧ ݎሻ 

jest tautologią. Na początek zauważamy, że mamy 3 zdania proste, więc będziemy musieli rozwa-
żyć 2



 przypadków. Robimy więc tabelkę mającą 9 wierszy (bo jeden z będzie jest przeznaczony na 

nagłówki kolumn) i wypisujemy wszystkie możliwości tych 3-ch zdań prostych. Potem dopisujemy już tylko pozostałe 
wyrażenia składowe. Mamy więc tabelkę: 

݌  ݍ  ݎ  ݌ ∨ ݍ  ሺ݌ ∨ ݍሻ ∧ ݎ

ᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫ

[

 

ݍ ∧ ݎ  ݌ ∨ ሺݍ ∧ ݎሻ

ᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫ

\

  L

⇒

P

 

0  0  0 

0 

0 

0 

0 

1 

0  0  1 

0 

0 

0 

0 

1 

0  1  0 

1 

0 

0 

0 

1 

0  1  1 

1 

1 

1 

1 

1 

1  0  0 

1 

0 

0 

1 

0 

1  0  1 

1 

1 

0 

1 

1 

1  1  0 

1 

0 

0 

1 

0 

1  1  1 

1 

1 

1 

1 

1 

na  podstawie  której  widzimy,  że badane przez nas  wyrażenie nie  jest  tautologią  (w  ostatniej  kolumnie nie  wyszły 
same jedynki). Uzupełniając ostatnią kolumnę trzeba było pamiętać głównie o tym, że prawdy która jest w kolumnie 
przedostatniej, nie może wynikać fałsz w kolumnie 5-tej. W przypadku implikacji kolejność wyrażeń jest ważna. Dla 

݌

 

ݍ

 

ݎ

 

ݏ

 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 19 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

nie pomylenia tego, wprowadziłem do tabelki nowe oznaczenia. Literką L oznaczyłem lewą stronę końcowej impli-
kacji, zaś literką P stronę prawą. Takie wprowadzanie nowych oznaczeń jest dozwolone, a stosuje się go głównie gdy 
dane wyrażenie jest dość długie lub w celu nie pogubienia się przy wypełnianiu tabelki. 

 

 

 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 20 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Temat: Formy zdaniowe. 

Forma  zdaniowa

  to  wyrażenie  które  będzie  można  ocenić  w  kategorii  „prawda  /  fałsz”  jeśli  zamiast  każdej  literki 

w nim występującej napiszemy jakąś wartość (nie koniecznie liczbę). 

Dla przykładu rozpatrzmy taką formę zdaniową: 

Liczba 3

݊ jest dodatnia. 

i zauważmy, że nie możemy ocenić jej wartości logicznej (0 lub 1), bo nie wiemy jaką liczbą jest 

݊. Jeśli zaś zamiast ݊ 

napiszemy jakąś liczbę, to nasza forma zdaniowa przestanie być formą zdaniową, a stanie się wyrażeniem logicznym 
o którym będziemy mogli jednoznacznie powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe. 

Przykłady innych form zdaniowych: 

— Liczba 7

݇ jest podzielna przez 3. 

— 

ݔ pisała kryminały. [W tym przypadku zamiast ݔ należy podstawić nazwisko kobiety, a nie liczbę.] 

— Star Trek to film 

ݕ. [W tym przypadku zamiast ݕ należy podstawić np. fajny, fantastyczny, przygodowy, itp.] 

— Jaś Fasola jest 

ݍ. [W tym przypadku zamiast ݍ należy napisać np. cechę charakteru tej postaci.] 

Forma zdaniowa może zawierać więcej niż jedną literkę (zmienną zdaniową). Przykłady takich form to: 

—  Dziś  wieczorem  najpierw  będę  oglądać 

ݐ,  a  potem  uprawiać ݏ.  [Zamiast  literki ݐ  można napisać  np.  słowo 

„mecz”, zaś zamiast literki 

ݏ można przykładowo napisać „jogging”.] 

— W klasie IV szkoły podstawowej uczyłam się 

݀ i z zachowania miałam ݓ. 

— Moja koleżanka jest 

݂, ale jej chłopak to ℎ i ݌. 

Podobnie jak równanie funkcji oznaczamy małą literką 

݂ lub ݃, tak formę zdaniową oznaczamy małą grecką literą φ 

(wymawiaj: fi) lub ψ (wymawiaj: psi). Tak samo jak przy funkcjach, tak i przy formie zdaniowej należy dorzucić na-
wias, a w nim zmienne które zawiera ona zawiera np.: 

߮ሺݐ, ݏሻ = Dziś wieczorem najpierw będę oglądać ݐ, a potem uprawiać ݏ. 

߮ሺ݀, ݓሻ = W klasie IV szkoły podstawowej uczyłam się ݀ i z zachowania miałam ݓ. 

߮ሺ݂, ℎ, ݌ሻ = Moja koleżanka jest ݂, ale jej chłopak to ℎ i ݌. 

߮ሺݍሻ = Jaś Fasola jest  ݍ. 

Jak więc widać, zamiast literek występujących w formie zdaniowej możemy podstawiać różne wyrażenia (także licz-
by). Wszystkie te wyrażenia którymi można zastąpić literki w formie zdaniowej nazywamy 

dziedziną formy zdanio-

wej

. 

Rozpatrzmy jeszcze raz formę zdaniową: 

߮ሺݍሻ = Jaś Fasola jest  ݍ. 

i zastanówmy się, czy podane niżej wyrażenie należy do jej dziedziny: 

a)

 

kobietą 

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia zamiast zmiennej 

ݍ otrzymamy zdanie fałszywe. 

b)

 

mądry 

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić „prawda / fałsz”. 

c)

 

przystojny 

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić „prawda / fałsz”. 

d)

 

bystry 

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić „prawda / fałsz”. 

e)

 

niski 

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić „prawda / fałsz”. 

f)

 

krzesłem 

— nie, bo otrzymane zdanie byłoby pozbawione sensu. 

Wersja z dnia 30.06.2010 

http://matematyka.strefa.pl 

Logika matematyczna — strona 21 

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

 

Jak  widać  spośród  wyrażeń  które  należą  do  dziedziny  można  wyodrębnić  te  które  sprawiają  że  forma  zdaniowa 
zmienia się w zdanie fałszywe oraz takie, które sprawiają, że forma zdaniowa staje się prawdziwa. 

Jeśli  wyrażenie  wstawione  do  formy  zdaniowej  zamiast  jej  zmiennej  sprawi,  że  stanie  się  ona  zdaniem  prawdzi-
wym, to wówczas mówimy, że spełnia ono tę formę zdaniową. 

Możemy zatem powiedzieć, że wyrażenie z powyższego podpunktu a) nie spełnia tamtej formy zdaniowej, bo rze-
czą oczywistą jest to, że Jaś Fasola nie jest kobietą.