Biotechnologia, 3 rok, 6 semestr 

Instrukcja do laboratorium nr 2 z Modelowania Biosystemów 

Modele pojedynczych populacji 

 

Prowadzący: dr inŜ. Krzysztof Psiuk-Maksymowicz (p.629) 

krzysztof.psiuk-maksymowicz@polsl.pl 

 
 
 

1.

  Zakres materiału laboratorium 

 
Przygotowanie  do  zajęć  obejmuje  znajomość  modeli  pojedynczych  populacji:  maltuzjańskiego 
(wykładniczego), Gompertza oraz logistycznego (wersja ciągła i dyskretna) – postaci ich równań, rozwizań 
czasowych  oraz  własności  poszczególnych  modeli.  Dodatkowo  studenci  powinni  zapoznać  się  ze 
sposobem  tworzenia  funkcji  w  środowisku  Matlab  (help  function  w  linii  komend  Matlaba)  oraz 
funkcją  ode45()  (help  ode45  w  linii  komend)  słuŜącej  do  rozwiązywania  numerycznego  równań 
róŜniczkowych  zwyczajnych.  Podczas  zajęć  wykorzystywana  będzie  ponadto  metoda  numeryczna  Eulera 
opisana poniŜej. 
 
Metoda  Eulera  –  to  najprostsza  z  metod  rozwiązywania  numerycznego  równań  róŜniczkowych 
zwyczajnych, polega na zastosowaniu tzw. róŜnicy skończonej (ang. finite difference) w celu aproksymacji 
róŜniczki.  Problem  polega  na  znalezieniu  przybliŜonego  rozwiązania  równania  o  zadanym  warunku 
początkowym 

 

W metodzie tej aproksymujemy róŜniczkę z równania (1) tzw. skończoną róŜnicą 

 

co prowadzi do następującego równania 

 

Dobierając  stały  krok  róŜnicy  czasu  h  konstruujemy  ciąg  t

0

,  t

1

=t

0

+h,  t

2

=t

0

+2h,  ...  Oznaczając  przez  y

n

 

numeryczne przybliŜenie rozwiązania y(t

n

), obliczamy kolejne wartości równania z rekursywnego wzoru 

 

 

 

2.

  Program zajęć laboratoryjnych 

 

Zad 1.

  Model  ciągły  dany  jest  równaniem  dN(t)/dt  =  r

1 

N(t),  natomiast  model  dyskretny 

równaniem N

t+1

 = N

t

 + r

2

 N

t

 .  

a.

  Napisać  funkcje  znajdującą  rozwiązania  modelu  ciągłego  i  dyskretnego.  W  przypadku 

modelu  ciągłego  zastosować  metode  Eulera  oraz  znany  wzór  analityczny  rozwiązania 
modelu. 

b.

  Zbadać  wpływ  parametrów  N

0

  i  r

1

  lub  r

2

  na  dynamikę  modeli,  przedstawić  kilka 

wykresów czasowych dla t

∈

[0,9] dni. 

c.

  Wyznaczyć czas zdwojenia dla modelu ciągłego dla podanego r

1

. 

d.

  Wyprowadzić zaleŜność funkcyjną r

1

(r

2

), dla której wartości rozwiązań modeli są równe 

oraz  przedstawić  graficznie  (na  jednym  wykresie)  rozwiązanie  modelu  ciagłego  (za 
pomcą  czerwonej  linii)  dla  t

∈

[0,9]  oraz  modelu  dyskretnego  (za  pomocą  niebieskich  ) 

dla wartości t

∈

{0,1,...,8,9}. 

e.

  Sprawdzić dla jakiego r

1

 model ciągły przyjmuje te same wartości w ustalonych punktach 

czasowych co model dyskretny o zadanych przez prowadzącego parametrach N

0

 i r

2

.  

 

Zad 2.

  Zbadać zachowanie modelu logistycznego ciągłego oraz modelu Gompertza w zaleŜności 

od  zmian  parametrów  modeli  (zakresy  wartości  parametrów  będą  podane  przez 
prowadzącego  na  zajęciach).  W  celu  znalezienia  rozwiązań  modeli  zastosować 
predefiniowaną  funkcję  ode45().  Sporządzić  wykresy  z  przebiegami  czasowymi  oraz 
portrety fazowe obu modeli dla wybranych parametrów. 

 

Zad 3.

  Logistyczny model dyskretny ma postać N

t+1

 = N

t

 + r N

t

 ( 1 - N

t 

/ K ), gdzie K oznacza 

pojemność środowiska. Stosując podstawienia a=1+r, b=r/K oraz zmianę zmiennych X

t

 

= (b/a)N

t

  równanie modelu logistycznego przyjmuje uproszczoną postać X

t+1

=aX

t

(1-X

t

). 

a.

  Zbadać  wpływ  zmian  parametru  a  na  zmianę  dynamiki  modelu,  przedstawić  przebiegi 

czasowe modelu dla zadanych wartości a. 

b.

  Dla podanego N

0

  znaleźć  a,  dla  którego  rozpoczynają  się  oscylację  oraz  a,  dla  którego 

występuje chaos. 

c.

  Sporządzić diagram bifurkacyjny. 

 

Rozwiązania  poszczególnych  zadań  (odpowiedzi,  wartości  liczbowe,  wykresy,  kody 
ź

ródłowe) proszę na bieŜąco zapisywać do pliku np. Microsoft Word i na koniec zajęć 

przesłać na plik przez stronę platforma.polsl.pl. W proszę zamieścić imię i nazwisko, datę 
oraz nr grupy laboratoryjnej.