Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej
10.9.2010r
KAŻDE ZADANIE PROSZĘ ROWZIĄZAĆ NA OSOBNEJ KARTCE.
ŻYCZYMY POWODZENIA!!!
Zadanie 1 [4 pkt]
Proszę zbadać zbieżność całki niewłaściwej
∫
−
2
∞
arc tg x
x
2
dx
Zadanie 2 [6 pkt]
a) Proszę sformułować twierdzenie o funkcji uwikłanej
y = y x
opisanej przez
równanie
F x , y = 0
.
b) Proszę wykazać, że równanie
2 x
3
y
3
=
e
x
e
y
wyznacza dokładnie jedną funkcję uwikłaną
y = y x
w otoczeniu punktu
0, 0
.
c) Proszę znaleźć równanie stycznej do krzywej opisanej powyższym równaniem w
punkcie
0, 0
.
Zadanie 3 [4 pkt]
Proszę znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji
f x , y , z = 2 x
2
y
2
z
2
−
2 x y 4 z − x
Zadanie 4 [5 pkt]
Niech odwzorowanie
f : ℝ
2
ℝ
2
będzie dane wzorem
f x , y = 3
x
sin y , 3
x
cos y
.
Proszę
a) sprawdzić, czy
f
jest lokalnie odwracalne w każdym punkcie płaszczyzny,
b) sprawdzić, czy
f
jest globalnie odwracalne,
c) obliczyć pochodną odwzorowania
f
−
1
w punkcie
f
0,
.
Zadanie 5 [6 pkt]
a) Proszę podać definicję róniczkowalności funkcji
f : ℝ
n
ℝ
w punkcie
x
0
∈ ℝ
n
.
b) Proszę zbadać różniczkowalność funkcji
f x , y =
{
x
6
y
6
x
4
y
4
, dla x , y ≠ 0, 0
0, dla x , y = 0, 0
}
w punkcie
0, 0
.