OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Sierpie
ń
2011
Sierpie
ń
2011
w7
w7
OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Sierpie
ń
2011
Sierpie
ń
2011
w7
w7
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Dwa elementy (obwody ) elektryczne usytuowane wzgl
ę
dem siebie tak,
Ŝ
e pole
magnetyczne jednego z nich przenika przez drugi ( nawet gdy przenikanie jest
cz
ęś
ciowe ), nazywamy elementami
sprz
ęŜ
onymi magnetycznie
.
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
u
1
u
2
i
2
i
1
Φ
1
Φ
2
u
1
u
2
i
2
i
1
Φ
1
Φ
2
u
1
L
1
R
1
i
1
u
2
L
2
R
2
i
2
M
u
1
L
1
R
1
i
1
u
2
L
2
R
2
i
2
M
1
2
1
1 1
1
2
1
2
2 2
2
di
di
u
R i
L
M
dt
dt
di
di
u
R i
L
M
dt
dt
=
+
±
=
+
±
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
w zapisie zespolonym ( przebieg czasowy pr
ą
du harmoniczny )
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
M
M
U
R
j L I
j M I
R
jX
I
jX I
U
R
j L I
j M I
R
jX
I
jX I
ω
ω
ω
ω
=
+
±
=
+
±
=
+
±
=
+
±
X
1
=
ω
L
1
, X
2
=
ω
L
2
– reaktancja własna elementu
X
M
=
ω
M – reaktancja indukcji wzajemnej
(jX
1
)I
1
, (jX
2
)I
2
– napi
ę
cie samoindukcji
(jX
M
)I
1
, (jX
M
)I
2
– napi
ę
cie indukcji wzajemnej
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Sprz
ęŜ
enie zgodne i przeciwne
Sprz
ęŜ
enie magnetyczne jest zgodne ( dodatnie ), gdy strumienie magnetyczne
poszczególnych cewek dodaj
ą
si
ę
( a w sensie obwodowym gdy składowe napi
ę
cia
samoindukcji i indukcyjno
ś
ci wzajemnej sumuj
ą
si
ę
).
Sprz
ęŜ
enie magnetyczne jest przeciwne ( ujemne ) , gdy strumienie magnetyczne
poszczególnych cewek odejmuj
ą
si
ę
( a w sensie obwodowym gdy składowe napi
ę
cia
samoindukcji i indukcyjno
ś
ci wzajemnej odejmuj
ą
si
ę
).
W rozwi
ą
zaniach praktycznych i rozwa
Ŝ
aniach teoretycznych w celu prostego
okre
ś
lenia rodzaju sprz
ęŜ
enia (±) mi
ę
dzy cewkami stosuje si
ę
oznaczenie zacisków
tworz
ą
cych par
ę
tzw. zacisków jednakoimiennych i oznaczamy (*, º, •,
∆
,
↑
lub w
inny sposób ).
Je
Ŝ
eli pr
ą
dy dopływaj
ą
lub wypływaj
ą
jednocze
ś
nie do zacisków jednakoimiennych
to wówczas mamy do czynienia ze sprz
ęŜ
eniem zgodnym.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia ze sprz
ęŜ
eniem przeciwnym.
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Wyznaczanie zacisków jednakoimiennych
1
L
+
−
2
L
+
−
M
E
miernik magnetoelektryczny
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Poł
ą
czenie szeregowe cewek magnetycznie sprz
ęŜ
onych
zgodne
przeciwne
1
R
2
R
2
L
1
L
M
∗
∗
I
1
R
2
R
2
L
1
L
M
∗
∗
I
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
SprzęŜenie zgodne
1
1
j
j
U
R I
L I
M I
ω
ω
=
+
+
+
2
2
j
j
R I
L I
M I
ω
ω
+
+
1
U
2
U
Po uporządkowaniu
(
)
1
2
1
2
j
2
U
R
R
L
L
M
I
ω
=
+
+
+ +
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
lub
U
Z
I
=
=
(
)
1
2
1
2
j
2
R
R
L
L
M
ω
+
+
+ +
Impedancja – sprzęŜenie zgodne
j
Z
R
L
ω
= +
gdzie
2
1
R
R
R
+
=
M
L
L
L
2
2
1
+
+
=
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
W przypadku, gdy
sprzęŜenie dodatnie
to,
indukcyjność wypadkowa
(
)
2
1
L
L
L
+
>
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
SprzęŜenie zgodne
2
U
2
R I
U
1
U
1
R I
1
j L I
ω
2
j L I
ω
j M I
ω
j M I
ω
I
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
SprzęŜenie przeciwne
1
1
j
j
U
R I
L I
M I
ω
ω
=
+
−
+
2
2
j
j
R I
L I
M I
ω
ω
+
−
1
U
2
U
Po uporządkowaniu
(
)
1
2
1
2
j
2
U
R
R
L
L
M
I
ω
=
+
+
+ −
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
lub
U
Z
I
=
=
(
)
1
2
1
2
j
2
R
R
L
L
M
ω
+
+
+ −
Impedancja– sprzęŜenie przeciwne
j
Z
R
L
ω
= +
gdzie
2
1
R
R
R
+
=
1
2
2
L
L
L
M
=
+
−
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
W przypadku, gdy
sprzęŜenie przeciwne
to, indukcyjność wypadkowa
1
2
M
L L
=
=
−
+
=
M
L
L
L
2
2
1
=
−
+
2
1
2
1
2
L
L
L
L
(
)
1
2
L
L
L
<
+
załóŜmy, Ŝe k=1, czyli , przybiera wartość największą.
(
)
0
2
2
1
≥
−
=
L
L
wtedy
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
SprzęŜenie przeciwne
2
U
2
R I
U
1
U
1
R I
1
j L I
ω
2
j L I
ω
j M I
ω
j M I
ω
I
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Poł
ą
czenie równoległe
I
2
I
I
1
R
2
R
1
L
2
L
1
Połączenie równoległe dwóch rzeczywistych
cewek magnetycznie sprzęŜonych
M
U
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
poł
ą
czenie zgodne
I
2
I
I
1
R
2
R
1
L
2
L
1
M
U
∗
∗
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
1
1
2
2
2
1
M
M
U
Z I
Z I
U
Z I
Z I
=
+
=
+
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
M
M
M
M
Z
Z
I
U
Z Z
Z
Z
Z
I
U
Z Z
Z
−
=
−
−
=
−
1
2
1
2
2
1
2
2
M
M
Z
Z
Z
I
I
I
U
Z Z
Z
+
−
= +
=
−
gdzie
Z
1
=R
1
+jX
1
, Z
2
=R
2
+jX
2
a
Z
M
=jX
M
2
1
2
1
2
2
M
M
U
Z Z
Z
Z
I
Z
Z
Z
−
=
=
+
−
PPK
Impedancja wypadkowa
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
I
2
I
I
1
R
2
R
1
L
2
L
1
M
U
∗
∗
sprz
ęŜ
enie przeciwne
1
1
2
2
2
1
M
M
U
Z I
Z I
U
Z I
Z I
=
−
=
−
gdzie
Z
1
=R
1
+jX
1
, Z
2
=R
2
+jX
2
a
Z
M
= - jX
M
→
Z
Mzg
→
- Z
Mprz
│
Z
Mzg
│
=
│
Z
Mprz
│
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
M
M
M
M
Z
Z
I
U
Z Z
Z
Z
Z
I
U
Z Z
Z
+
=
−
+
=
−
1
2
1
2
2
1
2
2
M
M
Z
Z
Z
I
I
I
U
Z Z
Z
+
+
= +
=
−
2
1
2
1
2
2
M
M
U
Z Z
Z
Z
I
Z
Z
Z
−
=
=
+
+
PPK
Impedancja wypadkowa
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
1
I
2
I
I
1
X
2
X
M
X
∗
∗
Rozprz
ę
ganie gał
ę
zi o wspólnym w
ęź
le
Sprz
ęŜ
enie zgodne
1
I
2
I
I
1
M
X
X
−
2
M
X
X
−
M
X
równowa
Ŝ
ny układowi
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
1
I
2
I
I
1
X
2
X
M
X
∗
∗
sprz
ęŜ
enie przeciwne
równowa
Ŝ
ny układowi
1
I
2
I
I
1
M
X
X
+
2
M
X
X
+
M
X
−
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
inny przypadek, sprz
ęŜ
enie zgodne
1
I
2
I
I
1
X
2
X
M
X
∗
∗
układ równowa
Ŝ
ny
?
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Równania obwodów ze sprz
ęŜ
eniami
1
R
2
R
3
R
1
L
2
L
3
L
13
M
12
M
23
M
∗
∗
•
•
□
□
1
I
1
E
2
E
3
I
2
I
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
3
1
2
1
1
3
1 1
1
12
13
3
1
2
3 3
3
13
23
3
2
1
2
2
3
2 2
2
12
23
3
1
2
3 3
3
13
23
1
2
3
di
di
di
e
u
u
R i
L
M
M
dt
dt
dt
di
di
di
R i
L
M
M
dt
dt
dt
di
di
di
e
u
u
R i
L
M
M
dt
dt
dt
di
di
di
R i
L
M
M
dt
dt
dt
i
i
i
= + =
+
−
+
+
+
+
+
+
− = − =
+
−
+
+
−
+
+
+
= +
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
12
2
13
3
1
3
3
3
13
1
23
2
2
2
2
12
1
23
3
2
3
3
3
13
1
23
2
1
2
3
M
M
M
M
M
M
M
M
E
U
U
Z I
Z
I
Z
I
Z I
Z
I
Z
I
E
U
U
Z I
Z
I
Z
I
Z I
Z
I
Z
I
I
I
I
=
+
=
−
+
+
+
+
+
−
=
−
=
−
+
+
−
+
+
=
+
w zapisie zespolonym
układ trzech równa
ń
o trzech niewiadomych.
Napi
ę
cie w gał
ę
zi jest kombinacj
ą
liniow
ą
pr
ą
dów w gał
ę
ziach pozostałych
(
)
1
1
12
2
13
3
1
M
M
U
Z I
Z
I
Z
I
=
−
+
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
1
1
2
2
k
k
kk
k
kn
n
k
k
U
Z I
Z
I
Z I
Z I
E
=
+
+ +
+ +
−
i
i
11
1
1
1
1
1
1
1
k
n
k
kk
kn
k
k
k
n
nk
nn
n
n
n
U
Z
Z
Z
I
E
U
Z
Z
Z
I
E
U
Z
Z
Z
I
E
⋅ ±
⋅ ±
⋅
⋅
⋅
⋅
=
−
±
⋅
±
⋅
⋅
⋅
⋅
±
⋅ ±
⋅
i
ogólnie mo
Ŝ
na napisa
ć
:
przechodz
ą
c na zapis macierzowy
czyli
[ ] [ ][ ] [ ]
U
Z
I
E
=
−
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
[ ] [ ] [ ]
0
B
U
⋅
=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1
B
Z
I
B
E
NPK
n
w
rownan
⋅
⋅
=
⋅
⇒
→ − +
podstawiamy do
i otrzymujemy
oraz
[ ] [ ] [ ]
0
1
A
I
PPK
w
rownan
⋅
=
⇒
→ −
analogicznie jak w przypadku bez sprz
ęŜ
e
ń
z tym,
Ŝ
e macierz kwadratowa [ Z ] nie
jest diagonalna, lecz zawiera wyrazy ró
Ŝ
ne od zera poza przek
ą
tn
ą
.
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
[ ] [ ] [ ]
T
o
I
B
I
=
[ ][ ]
[ ][ ][ ] [ ][ ]
0
B U
B Z
I
B E
=
⇒
=
[ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]
T
o
B Z
B
I
B E
=
Równania pr
ą
dów oczkowych ( Maxwella )
Pami
ę
tamy,
Ŝ
e
NPK
podstawiaj
ą
c otrzymamy
lub skróconym zapisie
[ ] [ ] [ ]
o
o
o
Z
I
E
=
pami
ę
tamy,
Ŝ
e teraz macierz [ Z ] jest niediagonalna.
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
[ ] [ ][ ] [ ]
U
Z
I
E
=
−
[ ] [ ] [ ] [ ]
(
)
1
I
Z
U
E
−
=
+
[ ] [ ] [ ]
T
U
A
V
=
Równania potencjałów w
ę
złowych
Z równania
oblicza si
ę
dalej
oraz
[ ] [ ] [ ]
0
A
I
⋅
=
st
ą
d
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
1
1
1
1
0
T
T
A I
A Z
A
V
A Z
E
A Z
A
V
A Z
E
−
−
−
−
=
=
+
= −
normalnie w miejsce [ Z ]
→
[ Y ]
jest to równanie potencjałów w
ę
złowych.
W tej postaci najbardziej pracochłonne jest obliczanie [ Z
]-1.
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
1
I
2
I
1
L
2
L
M
∗
∗
(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1 2
1 2
I
I
I
I
I
I
j
j
M
j
j
M
S
j M I
I
j MI e
I e
MI I e
X I I e
ω
ω
ω
∗
Ψ
Ψ
Π
Π
+Ψ −Ψ
+Ψ −Ψ
=
=
=
=
=
Przekazywanie energii przez sprz
ęŜ
enie magnetyczne
Moc pobierana z układu ( pozorna ) przez pierwsz
ą
gał
ąź
(
ź
ródło )
moc czynna pobierana z układu
{ }
(
)
1
1
1 2
2
1
1 2
1
2
Re
cos(
)
2
sin
M
M
M
I
I
M
I
I
P
S
X I I
X I I
Π
=
=
+ Ψ − Ψ =
=
Ψ − Ψ
wniosek:
gdy 0<
Ψ
I1
-
Ψ
I2
<
Π
wtedy jest pobierana moc czynna z sieci przez pierwsz
ą
gał
ąź
( P
M1
>0 ) i oddaje do drugiej cewki.
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Energia z cewki 1
→
2 w wyniku sprz
ęŜ
enia
Z symetrii
(
)
2
1 2
2
1
1 2
1
2
1
sin(
)
sin
M
M
I
I
M
I
I
M
P
X I I
X I I
P
=
Ψ − Ψ =
= −
Ψ − Ψ
= −
Wniosek:
Energia ( moc ) jak
ą
pobiera z układu gał
ąź
pierwsza, w wyniku sprz
ęŜ
enia jest
oddawana do układu przez gał
ąź
drug
ą
.
Jest to energia przekazywana przez sprz
ęŜ
enie, przy czym ta gał
ąź
przekazuje,
której pr
ą
d wyprzedza w fazie przebieg drugiego pr
ą
du ( przy sprz
ęŜ
eniu dodatnim ).
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
1
R
2
R
3
L
4
R
2
L
3
R
0
g
I
=
1
I
3
I
1
3
2
4
;
U
U
U
U
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
3
1
1
3
3
3
1
3
4
2
2
1
3
1
3
3
1
3
2
2
4
R I
R
j L I
j M I
R I
R
j L
I
j M I
R
j M I
R
j L I
R
j L I
R
j M I
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
+
−
=
+
−
+
=
+
+
=
+
Przykład:
Wyznaczy
ć
warunek równowagi mostka ze sprz
ęŜ
eniem.
(
)(
) (
)(
)
1
4
3
3
2
2
R
j M
R
j M
R
j L
R
j L
ω
ω
ω
ω
+
+
=
+
+
(
)
(
)
2
2
2
3
2
3
1
4
1
4
2
3
2
3
L L
M
R R
R R
R
R
M
L R
R L
ω
−
=
−
+
=
−
po uporz
ą
dkowaniu i porównaniu cz
ęś
ci rzeczywistych i
urojonych otrzymamy warunek równowagi
po podzieleniu stronami
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Transformator - Transformator powietrzny
Transformatorem powietrznym nazywamy układ dwóch cewek magnetycznie
sprz
ęŜ
onych nawini
ę
tych na korpus wykonany z dielektryka o wzgl
ę
dnej
przenikalno
ś
ci magnetycznej
µ
r
=1, które nie s
ą
ze sob
ą
poł
ą
czone galwanicznie
Zadaniem transformatora jest przekazywanie energii z jednego obwodu do drugiego.
Transformator dwuuzwojeniowy – uzwojenie pierwotne i wtórne
Zaciski pierwotne – wej
ś
ciowe
Zaciski wtórne – wyj
ś
ciowe
Przekładnia
1
2
w
n
w
=
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
1
R
2
R
1
L
2
L
1
U
2
U
1
I
2
I
o
Z
M
∗ ∗
po rozprz
ę
gni
ę
ciu – schemat zast
ę
pczy
1
U
o
Z
2
U
2
L
M
−
2
R
1
R
1
L
M
−
M
1
I
2
I
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
(
)
(
)
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
we
we
o
U
R
j L I
j M I
U
U
U
R
j L I
j M I
I
Z
Z
I
U
Z I
ω
ω
ω
ω
=
+
−
−
=
+
−
→
=
→
=
=
ze schematu zast
ę
pczego
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
we
o
o
o
Z
R
j
L
M
j M R
j
L
M
Z
j M R
j
L
M
Z
R
j
L
M
R
j L
Z
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
= +
−
+
+
−
+
=
+
−
+
= +
−
+
+
+
w stanie jałowym Z
o
→∞
Z
1weo
=R
1
+j
ω
L
1
Obwody magnetycznie sprz
ęŜ
one
Wykres wskazowy
1
I
2
I
1
U
2
U
2
1
j M I
ω
−
2
o
R I
2
o
jX I
2
2
R I
2
2
j L I
ω