Notacja wektorowo-macierzowa równań ruchu,
linearyzacja nieliniowych równań ruchu
Literatura:
1. Bodo Heimann, Wilfried Gerth, Karl Popp (przekład Marek Gawrysiak).: Mechatronika. Komponenty, metody, przykłady. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 2001.
2. Henryk Achtelik, Józef Grzelak.: Ćwiczenia laboratoryjne z modelowania i symulacji układów mechanicznych w programie MATLAB-SIMULINK. Skrypt
uczelniany, Politechnika Opolska, Opole, 2004.
Równania ruchu w notacji wektorowo-macierzowej można zapisać w postaci
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
t
nap
R
Q
q
q
Q
q
g
q
q
c
q
q
M
,
(1)
gdzie:
q
- współrzędne uogólnione,
)
(q
M
- macierz masowa,
)
,
(
q
q
c
- siły Eulera i
Coriolisa,
)
(q
g
- siły zachowawcze,
)
,
(
q
q
Q
R
- siły dyssypatywne,
)
(t
nap
Q
- siły
nastawcze.
W postaci wektorowo-macierzowej możemy zapisać je jako
nap
Q
Kq
q
D
q
M
,
(2)
gdzie: M - macierz masowa, D - macierz tłumienia, K - macierz sztywności,
nap
Q
- wektor sił uogólnionych, q
- wektor położeń uogólnionych, q - wektor
prędkości uogólnionych,
q
- wektor przyspieszeń uogólnionych.
Przykład 1
Równania ruchu
)
(
)
(
0
)
(
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
t
F
q
q
k
q
m
q
q
k
q
k
q
m
zapisać w postaci wektorowo-macierzowej.
Rozwiązanie:
Przedstawiony układ równań jest układem równań liniowych. Na początek
przepiszemy równania w postaci
)
(
0
)
(
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
t
F
q
k
q
k
q
m
q
k
q
k
k
q
m
.
Postać wektorowo-macierzowa
nap
Q
Kq
q
D
q
M
jest następująca
)
(
0
0
0
0
0
0
0
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
t
F
q
q
k
k
k
k
k
q
q
q
q
m
m
,
gdzie:
M
2
1
0
0
m
m
,
D
0
0
0
0
,
K
2
2
2
2
1
k
k
k
k
k
,
q
2
1
q
q
,
q
2
1
q
q
,
1
q
2
1
q
q
,
nap
Q
)
(
0
t
F
.
Przykład 2
Równania ruchu
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
q
q
k
q
q
c
q
m
t
F
q
q
k
q
q
c
q
m
zapisać w postaci wektorowo-macierzowej.
Rozwiązanie:
Przedstawiony układ równań jest układem równań liniowych. Na początek
przepiszemy równania w postaci
0
)
(
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
kq
kq
q
c
q
c
q
m
t
F
kq
kq
q
c
q
c
q
m
.
Postać wektorowo-macierzowa
nap
Q
Kq
q
D
q
M
jest następująca
0
)
(
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
t
F
q
q
k
k
k
k
q
q
c
c
c
c
q
q
m
m
,
gdzie:
M
2
1
0
0
m
m
,
D
c
c
c
c
,
K
k
k
k
k
,
q
2
1
q
q
,
q
2
1
q
q
,
1
q
2
1
q
q
,
nap
Q
0
)
(t
F
.
Przykład 3
Równania ruchu
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
t
P
x
x
k
x
x
c
x
m
t
P
x
k
x
k
k
x
c
x
c
c
x
m
zapisać w postaci wektorowo-macierzowej.
Rozwiązanie:
Przedstawiony układ równań jest układem równań liniowych. Na początek
przepiszemy równania w postaci
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
t
P
x
k
x
k
x
c
x
c
x
m
t
P
x
k
x
k
k
x
c
x
c
c
x
m
.
Postać wektorowo-macierzowa
nap
Q
Kx
x
D
x
M
jest następująca
)
(
)
(
0
0
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
t
P
t
P
x
x
k
k
k
k
k
x
x
c
c
c
c
c
x
x
m
m
,
gdzie:
M
2
1
0
0
m
m
,
D
2
2
2
2
1
c
c
c
c
c
,
K
2
2
2
2
1
k
k
k
k
k
,
x
2
1
x
x
,
x
2
1
x
x
,
x
2
1
x
x
,
nap
Q
0
)
(t
F
.
LINEARYZACJA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RUCHU
Przyjmijmy, że
)
(
)
(
t
t
s
q
q
q
i
)
(
)
(
)
(
t
t
t
nap
nap_s
nap
Q
Q
Q
. Jeśli układ
nieliniowych
różniczkowych
równań
ruchu
zapiszemy
w
postaci
)
(
)
,
,
(
t
nap
Q
q
q
q
f
, wówczas linearyzacji można dokonać poprzez rozwinięcie
w szereg Taylora funkcji
)
,
,
(
q
q
q
f
i przerwanie rozwinięcia po pierwszym
(liniowym) wyrazie
)
(
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
t
t
s
s
s
s
s
s
s
s
s
nap
nap_s
Q
Q
q
q
f
q
q
f
q
q
f
q
q
q
f
q
q
q
q
q
q
f
(3)
Równanie równowagi ma postać
)
(
)
,
,
(
t
s
s
s
nap_s
Q
q
q
q
f
(4)
Odejmując równanie (4) od równania (3) otrzymujemy równanie dynamiczne
wokół położenia równowagi
)
(t
s
s
s
nap
Q
q
q
f
q
q
f
q
q
f
.
(5)
Inną możliwością jest zapisanie równań ruchu w postaci
)
(
)
,
(
)
(
t
nap
Q
q
q
h
q
q
M
.
(6)
Obliczając kolejno
)
(q
M
,
s
x
h
D
i
s
x
h
K
,
równania ruchu w postaci macierzowej można zapisać jako
)
(t
K
nap
Q
q
q
D
q
M
.
(7)
Przykład
Dla układu z rysunku określić statyczne położenie równowagi i zlinearyzowane
równania ruchu w okolicy tego punktu równowagi.
Rozwiązanie:
Równania ruchu mają postać
0
sin
cos
)
(
sin
cos
)
(
2
2
2
2
)
(
2
2
2
2
2
1
gl
m
x
l
m
l
m
I
ku
kx
l
m
l
m
x
m
m
S
.
Załóżmy, że:
)
(
)
(
t
u
u
t
u
s
,
)
(
)
(
t
x
x
t
x
s
,
)
(
)
(
t
t
s
, gdzie
s
u ,
s
x ,
s
= const.
Wstawiając do równań ruchu i przyjmując dla stanu równowagi prędkości i
przyspieszenia współrzędnych uogólnionych równe zeru otrzymujemy dla
statycznego położenia równowagi
0
sin
2
s
s
s
gl
m
ku
kx
.
Statyczne położenie równowagi ma postać
równowagi
polozenie
e
niestabiln
równowagi
polozenie
stabilne
0
s
s
s
u
x
.
Teraz linearyzacja:
sin
cos
)
(
sin
cos
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2
2
2
2
)
(
2
2
2
2
2
1
2
1
gl
m
x
l
m
l
m
I
kx
l
m
l
m
x
m
m
f
f
S
q
q
q
q
q
q
q
q
q
f
Funkcje
)
,
,
(
1
q
q
q
f
i
)
,
,
(
2
q
q
q
f
rozwijamy w szereg Taylora i przerywamy po
pierwszym (liniowym) wyrazie
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
s
s
s
s
s
s
s
s
s
f
f
f
f
f
1
1
1
1
1
)
,
,
(
)
,
,
(
,
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
s
s
s
s
s
s
s
s
s
f
f
f
f
f
2
2
2
2
2
)
,
,
(
)
,
,
(
.
Dla rozważanego przypadku otrzymujemy
x
k
l
m
l
m
l
m
x
m
m
kx
f
s
s
s
s
s
s
s
s
s
cos
sin
2
cos
)
,
,
(
2
2
2
2
2
1
1
q
q
q
q
q
q
s
s
S
s
s
s
s
gl
m
x
l
m
l
m
I
gl
m
f
cos
cos
)
(
sin
)
,
,
(
2
2
2
2
)
(
2
2
2
q
q
q
q
q
q
.
Zatem zlinearyzowane równania ruchu (łącznie z równaniem statycznym) wokół
położenia równowagi
s
s
x
,
mają postać
0
cos
cos
)
(
sin
cos
)
(
2
2
2
2
)
(
2
2
2
2
1
s
s
S
s
s
s
s
gl
m
x
l
m
l
m
I
gl
m
u
k
ku
x
k
l
m
x
m
m
kx
.
Odejmując równanie statyczne otrzymujemy zlinearyzowane równanie
dynamiczne
0
cos
cos
)
(
cos
)
(
2
2
2
2
)
(
2
2
2
1
s
s
S
s
gl
m
x
l
m
l
m
I
u
k
x
k
l
m
x
m
m
.
Otrzymane równania ruchu są liniowe, ponieważ wszystkie współrzędne
uogólnione występujące w tym równaniu są w pierwszej potędze. Równania są
poprawne w okolicy punktu równowagi
s
s
x
,
a współczynniki równania zależą
od tego położenia równowagi.
Interesujące są dwa przypadki:
a)
0
s
- stabilne wahadło. Wtedy równania ruchu upraszczają się do postaci:
0
)
(
)
(
2
2
2
)
(
2
2
2
2
1
gl
m
l
m
I
x
l
m
u
k
x
k
l
m
x
m
m
S
,
co można zapisać w postaci macierzowej
0
0
0
2
2
2
)
(
2
2
2
2
1
u
k
x
gl
m
k
x
l
m
I
l
m
l
m
m
m
S
.
b)
s
- niestabilne wahadło. Wtedy równania ruchu upraszczają się do
postaci:
0
)
(
)
(
2
2
2
)
(
2
2
2
2
1
gl
m
l
m
I
x
l
m
u
k
x
k
l
m
x
m
m
S
,
co można zapisać w postaci macierzowej
0
0
0
2
2
2
)
(
2
2
2
2
1
u
k
x
gl
m
k
x
l
m
I
l
m
l
m
m
m
S
.
II sposób:
W rozważanym przypadku otrzymujemy z ogólnych nieliniowych równań ruchu
sin
cos
sin
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
2
2
2
1
gl
m
x
l
m
kx
l
m
h
h
q
q
q
q
q
q
h
,
)
(
cos
cos
2
2
)
(
2
2
2
2
1
l
m
I
l
m
l
m
m
m
S
s
s
M
,
0
0
sin
2
0
2
2
2
1
1
l
m
h
x
h
h
x
h
D
,
cos
sin
0
cos
2
2
2
2
2
2
1
1
gl
m
x
l
m
l
m
k
h
x
h
h
x
h
K
.
W postaci macierzowej
)
(t
K
nap
Q
q
q
D
q
M
otrzymujemy
0
cos
sin
0
cos
0
0
sin
2
0
cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
2
2
2
1
u
k
x
gl
m
x
l
m
l
m
k
x
l
m
x
l
m
I
l
m
l
m
m
m
S
s
s
Tutaj też rozważymy te same dwa szczególne przypadki:
a)
0
s
- stabilne wahadło. Wtedy równania ruchu upraszczają się do postaci:
0
0
0
2
2
2
)
(
2
2
2
2
1
u
k
x
gl
m
k
x
l
m
I
l
m
l
m
m
m
S
.
b)
s
- niestabilne wahadło. Wtedy równania ruchu upraszczają się do
postaci:
0
0
0
2
2
2
)
(
2
2
2
2
1
u
k
x
gl
m
k
x
l
m
I
l
m
l
m
m
m
S
.