Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

35-1

Wykład 35 

35.

 

Lasery 

35.1

 

Emisja spontaniczna 

Jeden  z  postulatów  Bohra  mówił,  Ŝe  promieniowanie  elektromagnetyczne  zostaje 

wysłane  tylko  wtedy  gdy  elektron  poruszający  się  po  orbicie  o  całkowitej  energii  E

j

 

zmienia swój ruch skokowo, tak Ŝe porusza się następnie po orbicie o energii E

k

. W ję-

zyku  mechaniki  kwantowej  mówimy,  Ŝe  cząstka  (elektron)  przechodzi  ze  stanu  wzbu-
dzonego (o wyŜszej energii) do stanu podstawowego emitując foton. Częstotliwość emi-
towanego promieniowania jest równa 
 

h

E

E

v

k

j

−

=

 

 
Jak  juŜ  widzieliśmy  źródłem  takiego  promieniowania  jest  na  przykład  jednoatomowy 
gaz pobudzony do świecenia metodą wyładowania elektrycznego (widmo liniowe). 
Teoria kwantowa przewiduje, Ŝe elektron znajdujący się w stanie wzbudzonym 

samoist-

nie

 przejdzie do stanu podstawowego emitując foton. Zjawisko takie jest nazywane 

emi-

sją spontaniczną

. 

JeŜeli  róŜnica  energii  wynosi  kilka  elektronowoltów  (jak  w  atomie  wodoru,  gdzie 
E

1

 = -13.6  eV)  to  czas  charakterystyczny  dla  procesu  emisji  spontanicznej  ma  wartość 

rzędu 10

-8

 s. 

35.2

 

Absorpcja 

Na gruncie modelu Bohra moŜna łatwo zrozumieć własności widm emisyjnych ato-

mów jednoelektronowych. MoŜna równieŜ zrozumieć widma absorpcyjne. 
PoniewaŜ elektron musi mieć w atomie energię całkowitą równą jednej z energii dozwo-
lonych  (stanu  stacjonarnego)  więc  z  padającego  promieniowania  moŜe  on  absorbować 
tylko określone porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów h

ν

 musi być 

równa róŜnicy pomiędzy energiami dozwolonych stanów tak więc linie widma absorp-
cyjnego mają te same częstotliwości (długości fal) co linie widma emisyjnego. 
Doświadczenie pokazuje, Ŝe w chłodnym gazie atomy są w stanie podstawowym n = 1 
więc  procesy  absorpcji  odpowiadają  serii  Lymana.  W  bardzo  wysokich  temperaturach 
atomy  będą  juŜ  w  stanie  n  =  2  i  moŜemy  obserwować  linie  absorpcyjne  serii  Balmera 
(widzialne). 
Procesy  wzbudzania  atomów  na  wyŜsze  poziomy  energetyczne  przez  ich  oświetlanie 
nosi nazwę 

pompowania optycznego

. 

35.3

 

Emisja wymuszona 

Teoria  kwantowa  mówi  takŜe,  Ŝe  oprócz 

emisji  spontanicznej

  oraz  procesów 

ab-

sorpcji

 występuje takŜe inny proces, nazywany 

emisją wymuszoną

. 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

35-2

Przypuśćmy,  Ŝe  atom  znajduje  się  w  stanie  wzbudzonym  E

j

  i  moŜe  emitować  foton 

o energii (E

j

 - E

k

). JeŜeli taki atom zostanie oświetlony promieniowaniem, które zawiera 

fotony  o  energii  właśnie  równej  (E

j

  -  E

k

)  to 

prawdopodobieństwo  wypromieniowania 

przez atom energii wzrośnie

. 

Takie  zjawisko  przyspieszenia  wypromieniowania  energii  przez  oświetlenie  atomów 
wzbudzonych odpowiednim promieniowaniem nazywane jest 

emisją wymuszoną

. 

Uwaga: 

Foton wysyłany w procesie emisji wymuszonej ma taką samą fazę oraz taki sam 

kierunek ruchu jak foton wymuszający

. 

W emisji spontanicznej mamy do czynienia z fotonami, których fazy i kierunki są rozło-
Ŝ

one przypadkowo. Emisja wymuszona stwarza szansę uzyskania promieniowania spój-

nego. 
ś

eby móc przeanalizować moŜliwość takiej emisji musi wiedzieć jak atomy (cząsteczki) 

układu obsadzają  róŜne  stany  energetyczne tzn.  ile  jest  w stanie podstawowym a ile w 
stanach wzbudzonych. 

35.4

 

Rozkład Boltzmana 

Opis  szczegółowy  układu  fizycznego  złoŜonego  z  bardzo  duŜej  liczby  elementów  jest 
bardzo skomplikowany np. próba opisu ruchu jednej cząstki gazu w układzie zawierają-
cym 10

23

 cząstek (1 mol). 

Na szczęście do wyznaczenia podstawowych własności układu (wielkości mierzalnych) 
takich jak temperatura, ciśnienie - informacje szczegółowe są na ogół niepotrzebne. 
Jeśli  do  układu  wielu  cząstek  zastosujemy  ogólne  zasady  mechaniki  (takie  jak  prawa 
zachowania) to moŜemy zaniedbać szczegóły ruchu czy oddziaływań pojedynczych czą-
stek i podstawowe własności układu wyprowadzić z samych rozwaŜań statystycznych. 
Taki przykład juŜ poznaliśmy. Jest nim związek pomiędzy własnościami gazu klasycz-
nego i rozkładem Maxwella prędkości cząsteczek gazu. 
Funkcja rozkładu N(v) daje informację o prawdopodobieństwie, Ŝe cząsteczka ma pręd-
kość w przedziale v, v + d v. Znając funkcję N(v) moŜemy obliczyć takie wielkości jak 
ś

rednia prędkość (pęd niesiony przez cząsteczki), średni kwadrat prędkości (energia ki-

netyczna) itp. a na ich podstawie obliczyć takie wielkości mierzalne jak ciśnienie (zwią-
zane z pędem) czy temperaturę (związaną z energią). 
Spróbujemy teraz znaleźć rozkład prawdopodobieństwa z jakim cząstki układu zajmują 
róŜne stany energetyczne. 
W  tym  celu  rozpatrzymy  układ  zawierający  duŜą  liczbę  cząstek,  które  znajdują  się  w 
równowadze w temperaturze T. By osiągnąć ten stan równowagi cząstki muszą wymie-
niać energię ze sobą (poprzez zderzenia). Podczas tej wymiany ich energie będą fluktu-
ować, przyjmując wartości raz mniejsze raz większe od średniej. 
ś

eby  to  zilustrować  rozwaŜmy  układ,  w którym cząstki  mogą  przyjmować jedną z na-

stępujących wartości energii E = 0, 

∆

E, 2

∆

E, 3

∆

E, 4

∆

E..... . 

Celem  uproszczenia  przyjmijmy,  Ŝe  układ  ma  zawiera  tylko  4  cząstki  oraz,  Ŝe  energia 
całkowita układu ma wartość 3

∆

E. 

PoniewaŜ  te  cztery  cząstki  mogą  wymieniać  energię  między  sobą,  więc  realizowany 
moŜe  być  kaŜdy  moŜliwy  podział  energii  całkowitej  3

∆

E  pomiędzy  te  obiekty.  Na  ry-

sunku poniŜej pokazane są wszystkie moŜliwe podziały, które numerujemy indeksem i. 
Uwaga:  Obliczając  ilość  sposobów  realizacji  danego  podziału  traktujemy  jako  rozróŜ-
nialny podział, który moŜna otrzymać z danego w drodze przestawiania cząstek pomię-

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

35-3

dzy  róŜnymi  stanami.  Przestawienia  cząstek  w  tym  samym  stanie  energetycznym  nie 
prowadzą  do  nowych  sposobów  realizacji  podziałów,  bo  nie  moŜna  eksperymentalnie 
odróŜnić od siebie takich samych cząstek o tej samej energii. Wreszcie ostatnie załoŜe-
nie: wszystkie sposoby podziału energii mogą wydarzyć się z tym samym prawdopodo-
bieństwem. 
 

i 

E=0 

E=

∆

E 

E=2

∆

E 

E=3

∆

E 

E=4

∆

E 

liczba sposobów 

realizacji podzia-

łu 

P

i

 

1 

1,2,3 

 

 

4 

 

 

 

1 

1,2,4 

 

 

3 

 

4 

4/20 

1 

1,3,4 

 

 

2 

 

 

 

1 

2,3,4 

 

 

1 

 

 

 

2 

1,2 

3 

4 

 

 

 

 

2 

1,2 

4 

3 

 

 

 

 

2 

1,3 

2 

4 

 

 

 

 

2 

1,3 

4 

2 

 

 

 

 

2 

1,4 

2 

3 

 

 

 

 

2 

1,4 

3 

2 

 

 

12 

12/20 

2 

2,3 

1 

4 

 

 

 

 

2 

2,3 

4 

1 

 

 

 

 

2 

2,4 

1 

3 

 

 

 

 

2 

2,4 

3 

1 

 

 

 

 

2 

3,4 

1 

2 

 

 

 

 

2 

3,4 

2 

1 

 

 

 

 

3 

1 

2,3,4 

 

 

 

 

 

3 

2 

1,3,4 

 

 

 

4 

4/20 

3 

3 

1,2,4 

 

 

 

 

 

3 

4 

1,2,3 

 

 

 

 

 

n(E) 

40/20 

24/20 

12/20 

4/20 

0/20 

 
Obliczamy  następnie  n(E)  czyli  prawdopodobną  ilość  cząstek  w  danym  stanie  energe-
tycznym E. 
Weźmy stan E = 0. 
Dla podziału i = 1 mamy 3 cząstki a prawdopodobieństwo, Ŝe taki podział ma miejsce 
wynosi 4/20. 
Dla podziału i = 2 mamy 2 cząstki a prawdopodobieństwo, Ŝe taki podział ma miejsce 
wynosi 12/20. 
Wreszcie dla podziału i = 3 mamy 1 cząstkę a prawdopodobieństwo, Ŝe taki podział ma 
miejsce wynosi 4/20. 
Zatem prawdopodobna ilość obiektów w stanie E = 0 wynosi: 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

35-4

 

n(E) = 3 (4/20) + 2 (12/20) + 1 (4/20) = 40/20 = 2 

 
Analogicznie obliczamy n(E) dla pozostałych wartości E (patrz ostatni wiersz tabeli). 
ZauwaŜmy, Ŝe suma tych liczb wynosi cztery, tak Ŝe jest równa całkowitej liczbie czą-
stek we wszystkich stanach energetycznych. 
Wykres zaleŜności n(E) jest pokazany na rysunku poniŜej. 
Ciągła krzywa na rysunku jest wykresem malejącej wykładniczo funkcji 
 

 

0

)

(

E

E

Ae

E

n

−

=

 

(35.1) 

 
MoŜemy teraz brać 

∆

E coraz mniejsze (zwiększając ilość dozwolonych stanów) przy tej 

samej co poprzednio wartości całkowitej energii. Oznacza to, Ŝe będziemy dodawać co-
raz  więcej  punktów  do  naszego  wykresu,  aŜ  w  granicy  gdy 

∆

E 

→

  0  przejdziemy  do 

funkcji ciągłej danej powyŜszym równaniem. 
Potrzebujemy jeszcze znaleźć E

0

. Obliczenia te choć proste wykraczają poza ramy tego 

wykładu. Wystarczy więc zapamiętać, Ŝe E

0

 = kT, tzn. jest równa średniej energii układu 

cząstek w temperaturze T. 
Ostatecznie więc 
 

 

kT

E

Ae

E

n

−

=

)

(

 

(35.2) 

 
Jest to 

rozkład Boltzmana

, który mówi, Ŝe prawdopodobna ilość cząstek układu w rów-

nowadze w temperaturze T, znajdujących się w stanie o energii E jest proporcjonalna do 

kT

E

e

−

. Sposób wyboru stałej proporcjonalności A zaleŜy od tego jaki układ rozwaŜamy. 

PoniŜej pokazana jest zaleŜność n(E) dla trzech róŜnych temperatur i trzech odpowied-
nich wartości stałej A. 
 

2

1

0

4

∆

E

3

∆

E

2

∆

E

∆

E

n(E)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

35-5

 

Widzimy,  Ŝe  stany  o  niŜszej  energii  są  obsadzane  z  większym  prawdopodobieństwem 
niŜ stany o wyŜszym E. 

35.5

 

Laser 

JeŜeli więc układ będący w stanie równowagi oświetlimy odpowiednim promienio-

waniem to w takim układzie 

absorpcja będzie przewaŜała nad emisją wymuszoną

. 

ś

eby  przewaŜała  emisja  wymuszona,  to  w  wyŜszym  stanie  energetycznym  musi  się 

znajdować więcej atomów (cząsteczek) niŜ w stanie niŜszym. Mówimy, Ŝe rozkład musi 
być antyboltzmanowski. 
Taki  układ  moŜna  przygotować  na  kilka  sposobów  min.  za  pomocą  zderzeń  z  innymi 
atomami lub za pomocą pompowania optycznego. 

Ten  pierwszy  sposób  jest  wykorzysty-
wany w laserze helowo-neonowym. 
Schemat  poziomów  energetycznych  dla 
tego  lasera  jest  pokazany  na  rysunku 
obok. 
W  tym  laserze  atomy  neonu  są  wzbu-
dzane  do  na  poziom  E

n’

  w  trakcie  zde-

rzeń  ze  wzbudzonymi  atomami  helu. 
Przejście  na  poziom  E

n

  zachodzi  wsku-

tek  emisji  wymuszonej.  Następnie  ato-
my  neonu  przechodzą  szybko  do  stanu 
podstawowego oddając energię w wyni-
ku zderzeń ze ściankami. 

 

0

1

2

3

0

1

2

a - T = 1000 K
b - T = 5000 K
c - T = 10000 K

c

b

a

n

 (

E

)

E (eV)

 

10

20

eV

E

n’

E

n

h

ν

=1.96 eV

λ

 = 633 nm

E

1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

35-6

d)

c)

b)

a)

Emisja wymuszona w laserze przedstawiona została na rysunkach poniŜej. 

Na  rysunku  (a)  foton  zostaje  „wprowadzony” 
do  gazu.  Foton  wymusza  emisję  drugiego  fo-
tonu  przez  wzbudzony  atom  (b).  Przez  układ 
poruszają się dwa fotony. Wymuszona zostaje 
kolejna  emisja  i  juŜ  trzy  fotony  o  tej  samej 
fazie  poruszają  się  przez  układ  (c).  JeŜeli  na 
końcach  zbiornika  znajdują  się  lustra  to  ten 
proces  będzie  trwał  aŜ  wszystkie  atomy  wy-
promieniują nadmiar energii. 
JeŜeli  jedno  z  tych  zwierciadeł  będzie  czę-
ś

ciowo  przepuszczające  to  układ  będzie 

opuszczała  wiązka  spójna  -  wszystkie  fotony 
będą miały tę samą fazę. 
Inny  sposób  „odwrócenia”  rozkładu  boltzma-
nowskiego  jest  wykorzystany  w  laserze  rubi-
nowym.  Laser  zbudowany  na  ciele  stałym 
składa  się  z  pręta  wykonanego  z  kryształu 

Al

2

O

3

, w którym jonami czynnymi są jony z grupy ziem rzadkich. Na końcach pręta są 

naniesione  zwierciadła  odbijające.  Promieniowanie  pompujące  jest  wytwarzane  przez 
lampę błyskową umieszczoną wokół kryształu tak jak pokazano na rysunku poniŜej. 

Od  czasu  uruchomienia  pierwszego  lasera  tj.  od  1960  roku  technologia  tych  urządzeń 
bardzo  się  rozwinęła.  Obecnie  działają  zarówno  lasery  impulsowe  jak  i  lasery  o  pracy 
ciągłej. Ośrodkami czynnymi w laserach są gazy, ciała stałe i ciecze, a zakres długości 
fal jest bardzo szeroki; od podczerwieni przez obszar widzialny aŜ do nadfioletu (ostat-
nio !!!). 
Zastosowania laserów są wszechstronne. Przykładowo: 

•

 

w odtwarzaczach i nagrywarkach (CD), 

•

 

w dalmierzach, celownikach 

•

 

przy obróbce mechanicznej 

•

 

holografia 

 

lampa
błyskowa

wi

ą

zka 

ś

wiatła

laserowego

kryształ