Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław
Bud. A4 „Stara kotłownia”, pokój 359
Tel.: 071 320 3201
Fax: 071 328 3218
E-mail:
juliusz.b.gajewski@pwr.wroc.pl
Internet:
www.itcmp.pwr.wroc.pl/elektra
Politechnika Wrocławska
Instytut Techniki Cieplnej
i Mechaniki Płynów
Zakład Elektrostatyki i Tribologii
Podstawy elektrotechniki
Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. PWr
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe
Prąd i napięcie trójfazowe
(
)
(
)
(
)
3
/
2
m
3
/
4
m
3
/
2
m
m
sin
sin
sin
sin
π
ω
π
ω
π
ω
ω
+
=
−
=
−
=
=
t
E
t
E
e
t
E
e
t
E
e
T
S
R
0
=
+
+
T
S
R
e
e
e
2
m
E
E
E
E
T
S
R
=
=
=
0
=
+
+
T
S
R
E
E
E
Obwody trójfazowe
Prąd i napięcie trójfazowe
t
e
2
π
/3
0
e
R
e
S
4
π
/3
e
T
2
π
Obwody trójfazowe
Prąd i napięcie trójfazowe
120°
120°
120°
E
T
ω
E
R
E
S
E
T
E
R
E
S
Obwody trójfazowe
Prąd i napięcie trójfazowe
(
)
(
)
(
)
ϕ
π
ω
ϕ
π
ω
ϕ
ω
−
−
=
−
−
=
−
=
3
/
4
m
3
/
2
m
m
sin
sin
sin
t
I
i
t
I
i
t
I
i
T
S
R
Założenia:
Z
R
= Z
S
= Z
T
U
R
= U
S
= U
T
∧ I
R
= I
S
= I
T
Obwody trójfazowe
Prąd i napięcie trójfazowe
ω
ϕ
ϕ
ϕ
120°
120°
120°
U
T
U
R
U
S
I
R
I
T
I
S
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe skojarzone
Obwody skojarzone w gwiazdę
U
X
Y
Z
W
V
R
S
T
0
f
T
S
R
U
U
U
U
=
=
=
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe skojarzone
Obwody skojarzone w gwiazdę
60°
R
S
T
30°
U
RS
U
TR
U
ST
U
R
U
T
U
S
U
RS
U
R
−U
S
R
T
TR
T
S
ST
S
R
RS
U
U
U
U
U
U
U
U
U
−
=
−
=
−
=
U
U
U
U
TR
ST
RS
=
=
=
f
f
f
U
U
U
U
3
2
3
2
30
cos
2
=
=
°
=
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe skojarzone
Obwody skojarzone w gwiazdę
R
S
T
0
M
3~
M
1~
0
0
=
+
+
+
I
I
I
I
T
S
R
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe skojarzone
Obwody skojarzone w gwiazdę
Symetria obciążenia
0
=
+
+
T
S
R
I
I
I
0
0
=
I
Asymetria obciążenia
(
)
T
S
R
I
I
I
I
+
+
−
=
0
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe skojarzone
Obwody skojarzone w gwiazdę
Asymetria obciążenia
ϕ
T
0
0
I
R
I
T
I
S
U
R
U
T
U
S
ϕ
R
ϕ
S
= 0
I
R
I
S
I
T
I
0
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe skojarzone
Obwody skojarzone w trójkąt
U
X
Y
Z
W
V
R
S
T
U
R
U
S
U
T
0
=
+
+
T
S
R
U
U
U
T
TR
S
ST
R
RS
U
U
U
U
U
U
=
=
=
f
f
I
I
U
U
3
oraz
=
=
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe skojarzone
Moc symetrycznego układu trójfazowego
ϕ
ϕ
cos
3
3
cos
f
f
f
f
f
f
I
U
P
P
I
U
P
=
=
⇒
=
R
S
T
U
f
Z
f
I
= I
f
U
= √3 U
f
Gwiazda
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe skojarzone
Moc symetrycznego układu trójfazowego
ϕ
ϕ
cos
3
3
cos
f
f
f
f
f
f
I
U
P
P
I
U
P
=
=
⇒
=
R
S
T
I
= √3 I
f
U
= U
f
I
f
Z
f
Trójkąt
Obwody trójfazowe
Obwody trójfazowe skojarzone
Moc symetrycznego układu trójfazowego
ϕ
ϕ
cos
3
3
cos
f
f
f
f
f
f
I
U
P
P
I
U
P
=
=
⇒
=
I
I
U
U
f
f
=
=
,
3
3
,
I
I
U
U
f
f
=
=
]
VA
[
3
]
var
[
sin
3
]
W
[
cos
3
UI
S
UI
Q
UI
P
=
=
=
ϕ
ϕ
gwiazda
trójkąt
Obwody trójfazowe
Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego
R
S
T
0
W
W
W
P
R
P
T
Z
R
P
S
Z
S
Z
T
T
S
R
P
P
P
P
+
+
=
f
f
T
S
R
P
P
P
P
P
P
3
=
⇒
=
=
=
Asymetria obciążenia
Symetria obciążenia
Obwody trójfazowe
Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego
R
S
T
W
W
Odb.
P
β
P
α
I
R
I
T
U
RS
U
TS
Układ Aarona
Punkt zerowy jest niedostępny (odbiornik nie jest połączony ze źródłem
zasilania za pomocą przewodu zerowego) — moc układu trójfazowego
można zmierzyć za pomocą t y l k o dwóch watomierzy, połączonych w
tzw. układ Arona.
Obwody trójfazowe
Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego
Układ Aarona
(
)
(
)
°
+
=
°
−
=
30
cos
30
cos
ϕ
ϕ
β
α
UI
P
UI
P
(
)
(
)
[
]
ϕ
ϕ
ϕ
β
α
cos
3
30
cos
30
cos
UI
UI
P
P
P
=
°
+
+
°
−
=
+
=
β
α
β
α
cos
cos
R
RS
T
TS
I
U
I
U
P
P
P
+
=
+
=
α
= ∠(
I
T
,
U
TS
) i
β
= ∠(
I
R
,
U
RS
)
Ogólnie (asymetria obciążenia)
Szczególnie (symetria obciążenia)
Obwody trójfazowe
Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego
Układ Aarona
ϕ
[°]
-50
50
150
-100
0
100
200
P
[%]
0
P
P
α
P
β
−
90
−
60
−
30
30
60
90
charakter
pojemnościowy
charakter
indukcyjny
Obwody trójfazowe
Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego
Układ Aarona
UI
UI
P
P
2
3
30
cos
=
°
=
=
β
α
Gdy
ϕ
= 0 ∧ cos
ϕ
= 1
Gdy
ϕ
= 60° ∧ cos
ϕ
= 0,5
UI
P
P
P
3
=
+
=
β
α
UI
P
P
P
2
3
;
0
=
=
=
α
β
Obwody trójfazowe
Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego
R
S
T
W
I
R
U
ST
Z
R
Z
S
Z
T
Energię elektryczną mierzy się licznikami energii (miernikami indukcyj-
nymi). W układach trójfazowych symetrycznych można zmierzyć moc
albo energię bierną włączając watomierz albo licznik tak, aby cewka
prądowa miernika była włączona np. w fazę R, a cewka napięciowa
między fazy S i T.
Pomiar mocy albo energii biernej prądu
trójfazowego w układzie symetrycznym
Watomierz albo licznik
energii elektrycznej
Obwody trójfazowe
Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego
ϕ
90°
−
ϕ
0
I
R
U
ST
U
R
U
T
U
S
ϕ
sin
R
R
R
I
U
Q
=
(
)
ϕ
ϕ
sin
90
cos
R
ST
R
ST
I
U
I
U
P
=
−
°
=
Moc bierna z definicji
Moc czynna mierzona
Pomiar mocy albo energii biernej prądu
trójfazowego w układzie symetrycznym
Obwody trójfazowe
Pomiary mocy i energii prądu trójfazowego
R
ST
U
U
3
=
P
Q
Q
P
Q
R
R
3
3
3
=
=
∧
=
Pomiar mocy albo energii biernej prądu
trójfazowego w układzie symetrycznym
Qt
A
b
=
Energia bierna
Moc bierna
