Klasa 3c
Liczby i ich zbiory 2 – poziom rozszerzony
Powtórzenie
1. Wymień elementy zbioru
{
}
2
:
6 0
A
x x
x
x
=
+
− < ∧ ∈C .
2. Wymień elementy zbioru
{
}
3
2
:
3
4
12
0
B
x x
x
x
=
−
−
−
=
.
3. Sprawdź, że liczba
(
)
3
2
2
1
4
3
3
3
1
81
0,027
3
125
6
16
a
−
−
−
−
⎛ ⎞
⎛
⎞
=
+
−
−
−
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
jest wymierna.
4. Sprawdź, która liczba jest większa:
5
32
6
15 3
2
2 2
4
2
x
−
⋅
=
⋅
czy
3
3
4 1
y
=
−
.
5. W układzie współrzędnych naszkicuj zbiór \
A B
, jeśli
( )
}
{
2
2
,
:
4
0
A
x y
x
y
x
y
x
=
∈ ∧ ∈ ∧
+
−
≤
R
R
,
( )
}
{
,
:
0
B
x y
x
y
x
y
=
∈ ∧ ∈ ∧ − ≥
R
R
.
6. Niech
( )
}
{
,
:
5
A
x y
x
y
y
x
=
∈ ∧ ∈ ∧ ≥ +
R
R
i
( )
}
{
,
:
3
5
B
x y
x
y
y
x
=
∈ ∧ ∈ ∧ −
<
R
R
. Na płaszczyźnie
zaznacz zbiór punktów należących do zbioru A
B
∩ .
7. W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają
warunek
(
)
2
2
4
16
x
x
y
+
+
=
.
8. Uzasadnij, że jeśli dwie dowolne liczby całkowite a i b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio równe 2
oraz 3, to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 10 wynosi 6.
9. Uzasadnij, że liczba
4
17 12 2
+
jest równa 2 1
+ .
10.
Wykaż, że liczba
29 12 5 2 5
a
=
−
−
jest całkowita.
11.
Która z liczb
300
6
a
=
czy
500
3
b
=
jest większa?
12.
Porównaj liczby
4
5 2 6
3
2
a
=
−
⋅
+
oraz
9 4 5
14 6 5
b
=
−
+
−
.
13. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 168, a ich największy wspólny dzielnik wynosi 24.
Wyznacz te liczby.
14.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest równość
(
)
1
1
1
1
1
x x
x
x
= −
+
+
.
Korzystając z tej równości oblicz wartość wyrażenia
1
1
1
1
4 5 5 6 6 7
9 10
W
=
+
+
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
…
.
15.
Dane są zbiory
{
}
3
: 5
5
30
x
x
A
x
+
=
∈
+
<
R
i
{
}
3
:
3
4 0
B
x
x
x
=
∈
+
− ≥
R
. Wyznacz zbiory
A
B
∩
oraz
A
B
∪
.
16.
Wyznacz zbiór
\
B A
, jeśli zbiór A jest dziedziną funkcji
( )
(
)
2
2
5
log
1
2
x
x
f x
x
x
−
+
=
+
+
−
a zbiór
(
)
(
)
{
}
: 2log 2
2
log 2
10
log 2
x
x
B
x
=
∈
−
≤
+
+
R
.
17. Ojciec Marka chce złożyć w banku 5000 zł na okres jednego roku. Ma do wyboru dwa banki. W jednym
oprocentowanie półroczne wynosi 8%, a w drugim oprocentowanie roczne 17,5%. Wybór którego banku
byś mu doradził, jeśli w pierwszym banku odsetki dopisuje się co pół roku, a w drugim co rok?
18. Komputer kupowany za gotówkę kosztuje 2000 zł, a kupiony na raty jest o 20% droższy. Przy kupnie na
raty trzeba wpłacić 400 zł, a resztę w pięciu równych ratach. Jaka jest wysokość jednej raty?
19. Zwiększając o 3 pewną liczbę naturalną n, która jest większa od 50, zwiększamy ją o więcej niż 5,5%.
Jaka to liczba?
