Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
1
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
B A D A N I A O P E R A C Y J N E
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWAē
MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBS
àUGI
F
1
(t)
n
1
..
1
S
1
KS
1
n
2
..
1
S
2
KS
2
F
2
(t)
N
Materiaáy pomocnicze do wykáadu v.9
adam.kadzinski@put.poznan.pl
ELEMENTARNE SYSTEMY MASOWEJ OBS
àUGI
(1)
F
1
(t)
F
1
(t)
t
21
t
24
, t
22
, t
23
,
, t
25
, …
1
F
2
(t)
KS
2
S
2
F
1
(t)
n
2
t
21
, t
22
, t
23
,
t
24
, t
25
, …
t
31
, t
32
, t
33
,
t
34
, t
35
, …
1
F
3
(t)
KS
3
S
3
F
1
(t)
n
3
t
31
, t
32
, t
33
,
t
34
, t
35
, …
t
41
, t
42
, t
43
,
t
44
, t
45
, …
n
4
2
S
4
KS
4
F
4
(t)
F
1
(t)
1
t
41
, t
42
, t
43
,
t
44
, t
45
, …
t
11
, t
12
, t
13
,
t
14
, t
15
, …
n
1
2
S
1
KS
1
1
t
11
, t
12
, t
13
,
t
14
, t
15
, …
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
2
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
ELEMENTARNE SYSTEMY MASOWEJ OBS
àUGI
(2)
F
1
(t)
F
1
(t)
t
21
t
24
, t
22
, t
23
,
, t
25
, …
1
F
2
(t)
KS
2
S
2
F
1
(t)
n
2
t
21
, t
22
, t
23
,
t
24
, t
25
, …
t
31
, t
32
, t
33
,
t
34
, t
35
, …
1
F
3
(t)
KS
3
S
3
F
1
(t)
n
3
t
31
, t
32
, t
33
,
t
34
, t
35
, …
t
41
, t
42
, t
43
,
t
44
, t
45
, …
n
4
2
S
4
KS
4
F
4
(t)
F
1
(t)
1
t
41
, t
42
, t
43
,
t
44
, t
45
, …
t
11
, t
12
, t
13
,
t
14
, t
15
, …
n
1
2
S
1
KS
1
1
t
11
, t
12
, t
13
,
t
14
, t
15
, …
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
3
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
ELEMENTARNE SYSTEMY MASOWEJ OBS
àUGI
(3)
F
1
(t)
F
1
(t)
t
21
t
24
, t
22
, t
23
,
, t
25
, …
1
F
2
(t)
KS
2
S
2
F
1
(t)
n
2
t
21
, t
22
, t
23
,
t
24
, t
25
, …
t
31
, t
32
, t
33
,
t
34
, t
35
, …
1
F
3
(t)
KS
3
S
3
F
1
(t)
n
3
t
31
, t
32
, t
33
,
t
34
, t
35
, …
t
41
, t
42
, t
43
,
t
44
, t
45
, …
n
4
2
S
4
KS
4
F
4
(t)
F
1
(t)
1
t
41
, t
42
, t
43
,
t
44
, t
45
, …
t
11
, t
12
, t
13
,
t
14
, t
15
, …
n
1
2
S
1
KS
1
1
t
11
, t
12
, t
13
,
t
14
, t
15
, …
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
4
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
ELEMENTARNE SYSTEMY MASOWEJ OBS
àUGI
(4)
F
1
(t)
t
21
, t
22
, t
23
,
t
24
, t
25
, …
1
F
2
(t)
KS
2
S
2
F
(t)
1
n
2
t
21
, t
22
, t
23
,
t
24
, t
25
, …
t
11
, t
12
, t
13
,
t
14
, t
15
, …
F
1
(t)
n
1
2
S
1
KS
1
1
t
11
, t
12
, t
13
,
t
t
14
,
, …
15
S
3
F
1
(t)
t
31
, t
32
, t
33
,
t
34
, t
35
, …
1
F
3
(t)
KS
3
t
31
, t
32
, t
33
,
t
34
, t
35
, …
F
4
(t)
n
3
F
1
(t)
t
41
, t
42
, t
43
,
t
44
, t
45
, …
n
4
2
S
4
KS
4
1
t
41
, t
42
, t
43
,
t
44
, t
45
, …
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
5
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
SIE
û ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW MASOWEJ OBSàUGI
(1)
3
1 ...
Į
nn
(t
i
)
Į
1n
(t
i
)
Į
n
(t
i
)
ȕ
n
(t
i
)
n
1
(T
i
), p
1
(m)
...
1
X
n
KX
n
Į
n1
(t
i
)
Ȟ
n
Į
11
(t
i
)
Ȟ
1
ȕ
1
(t
i
)
Į
1
(t
i
)
...
1
X
1
KX
1
3
n ...
Į
22
(t
i
)
Ȟ
2
ȕ
2
(t
i
)
Į
2
(t
i
)
...
1
X
2
KX
2
Į
21
(t
i
)
Į
12
(t
i
)
n
2
(T
i
), p
2
(m)
n
n
(T
i
), p
n
(m)
3
2 ...
Į
1j
(t
i
)
ȕ
j
(t
i
)
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
6
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
SIE
û ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW MASOWEJ OBSàUGI
(2)
3
1 ...
Į
nn
(t
i
)
Į
1n
(t
i
)
Į
n
(t
i
)
ȕ
n
(t
i
)
n
1
(T
i
), p
1
(m)
...
1
X
n
KX
n
Į
n1
(t
i
)
Ȟ
n
Į
11
(t
i
)
Ȟ
1
ȕ
1
(t
i
)
Į
1
(t
i
)
...
1
X
1
KX
1
3
n ...
Į
22
(t
i
)
Ȟ
2
ȕ
2
(t
i
)
Į
2
(t
i
)
...
1
X
2
KX
2
Į
21
(t
i
)
Į
12
(t
i
)
n
2
(T
i
), p
2
(m)
n
n
(T
i
), p
n
(m)
3
2 ...
Į
1j
(t
i
)
ȕ
j
(t
i
)
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
7
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
SIE
û ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW MASOWEJ OBSàUGI
(3)
ANALIZA SIECI
3
1 ...
Į
nn
(t
i
)
Į
1n
(t
i
)
Į
n
(t
i
)
ȕ
n
(t
i
)
n
1
(T
i
), p
1
(m)
...
1
X
n
KX
n
Į
n1
(t
i
)
Ȟ
n
Į
11
(t
i
)
Ȟ
1
ȕ
1
(t
i
)
Į
1
(t
i
)
...
1
X
1
KX
1
3
n ...
Į
22
(t
i
)
Ȟ
2
ȕ
2
(t
i
)
Į
2
(t
i
)
...
1
X
2
KX
2
Į
21
(t
i
)
Į
12
(t
i
)
n
2
(T
i
), p
2
(m)
n
n
(T
i
), p
n
(m)
3
2 ...
Į
1j
(t
i
)
ȕ
j
(t
i
)
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
8
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
SIE
û ELEMENTARNYCH SYSTEMÓW MASOWEJ OBSàUGI
(4)
WYBÓR PEWNEGO SYSTEMU Z SIECI
3
1 ...
Į
nn
(t
i
)
Į
1n
(t
i
)
Į
n
(t
i
)
ȕ
n
(t
i
)
n
1
(T
i
), p
1
(m)
...
1
X
n
KX
n
Į
n1
(t
i
)
Ȟ
n
Į
11
(t
i
)
Ȟ
1
ȕ
1
(t
i
)
Į
1
(t
i
)
...
1
X
1
KX
1
3
n ...
Į
22
(t
i
)
Ȟ
2
ȕ
2
(t
i
)
Į
2
(t
i
)
...
1
X
2
KX
2
Į
21
(t
i
)
Į
12
(t
i
)
n
2
(T
i
), p
2
(m)
n
n
(T
i
), p
n
(m)
3
2 ...
Į
1j
(t
i
)
ȕ
j
(t
i
)
F
1
(t)
n
1
…
1
S
1
KS
1
n
2
....
1
S
2
KS
2
F
2
(t)
N
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
9
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
POJ
ĉCIE DWUFAZOWEGO CYKLICZNEGO SYSTEMU
MASOWEJ OBS
àUGI
W dwufazowym cyklicznym systemie masowej obs
áugi staáa liczba N obiektów, podlega
cyklicznie obs
áudze w dwu fazach (
rys. 1
). Ka
Īda faza obsáuguje wchodzące do niej obiekty,
niezale
Īnie od fazy poprzedniej, zgodnie z wáasnym rozkáadem czasu obsáugi – jednakowym dla
ka
Īdego z kanaáów obsáugi. W fazie pierwszej, na kanaáach stanowiska S
1
, czas obs
áugi okreĞla
rozk
áad F
1
(t), a w fazie drugiej, na kana
áach stanowiska S
2
, czas obs
áugi obiektów okreĞla rozkáad
F
2
(t).
S
2
Rys. 1. Schemat ideowy dwufazowego cyklicznego systemu masowej
obs
áugi (objaĞnienie oznaczeĔ w tekĞcie)
n
1
2
1
KS
F
2
(t)
N
S
1
2
KS
1
F
1
(t)
F
1
(t)
F
1
(t)
n
3
n
2
1
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
10
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
PRZYK
àADY
ĩwirownia;
Firma taksówkowa;
Zajezdnia autobusowa i tramwajowa;
Zak
áad Taboru – Lokomotywownia (lokomotywy);
Zak
áad Taboru – Wagonownia (wagony pasaĪerskie);
Firma transportowa.
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
11
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
F a z a d r u g a s y s t e m u
ZA
àOĩENIA
N
2
Stanowisko obs
áugowe w fazie pierwszej ma N takich
samych kana
áów obsáugiwania. Czas przebywania w fazie
pierwszej opisuje rozk
áad wykáadniczy o parametrze O
a wi
Ċc o dystrybuancie postaci:
Przed stanowiskiem w fazie pierwszej nie tworzy si
Ċ kolejka.
Stanowisko obs
áugowe w fazie drugiej ma n takich samych
kana
áów obsáugiwania. Czas obsáugi zgáoszeĔ opisuje
rozk
áad wykáadniczy o dystrybuancie:
n
1
2
1
F
2
(t)
N
S
1
KS
2
S
2
S
2
j
KS
1
F
1
(t)
F
1
(t)
F
1
(t)
2
1
n
2
1
F
1
(t)
KS
F
2
(t)
N
S
1
2
F
1
(t)
F
1
(t)
2
1
n
N-j
F a z a p i e r w s z a s y s t e m u
t
e
t
F
O
1
)
(
1
t
e
t
F
P
1
)
(
2
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
12
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
POSZUKIWANE
F a z a d r u g a s y s t e m u
N
2
S
2
j
o
Stany systemu;
o
Graf stanów systemu;
o
Stacjonarne prawdopodobie
Ĕstwa stanów systemu;
o
Wspó
áczynnik przestoju obiektów;
o
Wspó
áczynnik przestoju stanowiska obsáugiwania w fazie drugiej systemu;
o
Gotowo
Ğü cyklicznego systemu obsáugowego.
1
F
1
(t)
F
2
(t)
N
S
1
KS
2
F
1
(t)
F
1
(t)
2
1
n
N-j
F a z a p i e r w s z a s y s t e m u
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
13
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
o
Stany systemu
ROZWI
ĄZANIA
S
0
systemie w fazie drugiej nie ma obiektów (zg
áoszeĔ), w fazie pierwszej jest N zgáoszeĔ,
S
1
jeden obiekt (zg
áoszenie) znajduje siĊ w fazie drugiej systemu (nastĊpuje jego obsáuga na
pierwszym kanale obs
áugowym; kolejka nie wystĊpuje), w fazie pierwszej jest (N-1)
obiektów (zg
áoszeĔ),
S
2
dwa obiekty (zg
áoszenia) znajdują siĊ w fazie drugiej systemu (pierwszy jest obsáugiwany
na pierwszym kanale obs
áugowym; drugi na drugim kanale obsáugowym), w fazie
pierwszej jest (N-2) obiektów (zg
áoszeĔ),
S
n-1
(n-1) obiektów (zg
áoszeĔ) znajduje siĊ w drugiej fazie systemu (wszystkie obsáugiwane są
na kolejnych kana
áach obsáugowych; jeden kanaá obsáugowy jest wolny), w fazie pierwszej
jest (N-n+1) obiektów (zg
áoszeĔ),
S
n
n obiektów (zg
áoszeĔ) znajduje siĊ w fazie drugiej systemu (wszystkie z n kanaáów
obs
áugowych są zajĊte; kolejka nie wystĊpuje), w fazie pierwszej jest (N-n) obiektów,
S
n+1
(n+1) obiektów znajduje si
Ċ w fazie drugiej systemu (wszystkie kanaáy obsáugowe są
zaj
Ċte, jedno zgáoszenie czeka w kolejce), w fazie pierwszej jest (N-n-1) obiektów,
S
N
N obiektów (zg
áoszeĔ) znajduje siĊ w fazie drugiej systemu (wszystkie z n kanaáów
obs
áugowych stanowiska są zajĊte; w kolejce oczekuje (N-n) zgáoszeĔ), w fazie pierwszej
brak jest obiektów (zg
áoszeĔ).
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
14
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
o
Graf stanów systemu
F a z a d r u g a s y s t e m u
Rys. 2. Graf stanów dwufazowego cyklicznego systemu masowej obs
áugi
(obja
Ğnienie oznaczeĔ w tekĞcie)
O
1O
1 O
1n O
1n– O
n
P
(n-1)
P
S
N
n
P
3
P
. . .
1 O
2
P
P
S
0
S
1
S
2
n
P
n
P
S
n-1
S
n
S
n+1
. . .
STANY BEZ KOLEJKI
W DRUGIEJ FAZIE
1n O
1n O
STANY Z KOLEJK
Ą
W DRUGIEJ FAZIE
N
2
1
F
2
(t)
N
S
1
KS
2
S
2
F
1
(t)
F
1
(t)
j
F
1
(t)
2
n
1
N-j
F a z a p i e r w s z a s y s t e m u
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
15
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
o
Stacjonarne prawdopodobie
Ĕstwa stanów systemu
o
Stacjonarne prawdopodobie
Ĕstwa stanów systemu
2
P
N
.
O
. . .
(N-1)
.
O
P
S
0
S
1
1.
1.
t
t
p
t
N
t
p
ǻt
t
p
'
'
P
O
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
0
0
P
O
'
'
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
0
0
t
p
N
t
p
t
t
p
t
t
p
lim
0
o
't
P
O
'
'
o
'
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
1
0
0
0
0
t
p
N
t
p
t
t
p
t
t
p
t
Wykorzystuj
ąc definicjĊ pochodnej
t
t
p
t
t
p
dt
t
dp
t
'
'
o
'
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
otrzymuje si
Ċ
P
O
)
(
)
(
)
(
1
0
0
t
p
N
t
p
dt
t
dp
Dla warunków ustalonych:
0
)
(
0
dt
t
dp
;
0
0
)
(
p
t
p
;
1
1
)
(
p
t
p
.
St
ąd
P
O
1
0
0
p
N
p
i pierwsze równanie modelu analitycznego ma posta
ü:
P
O
1
0
p
N
p
(1)
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
16
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
2.
>
@
^
`
t
t
p
t
N
t
p
t
N
t
p
t
t
p
'
'
'
'
P
O
P
O
2
)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
2
0
1
1
3
P
. . .
N
.
O
(N-1)
.
O
2
P
P
S
0
S
1
S
2
(N-2)
.
O
>
@
P
O
P
O
'
'
2
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2
0
1
1
1
t
p
N
t
p
N
t
p
t
t
p
t
t
p
Dla warunków ustalonych:
>
@
P
O
P
O
2
1
0
2
0
1
p
N
p
N
p
a st
ąd drugie równanie modelu analitycznego ma postaü:
>
@
P
O
P
O
2
1
2
0
1
p
N
p
N
p
(2)
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
17
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
(k-1)
.
P
(k+2)
.
P
. . .
[N-(k-2)]
.
O
[N-(k-1)]
.
O
(N-k)
.
O
[N-(k+1)]
.
O
k
.
P
(k+1)
.
P
S
k-1
S
k
S
k+1
. . .
k.
>
@
^
`
>
@
t
k
t
p
t
k
N
t
p
t
k
k
N
t
p
t
t
p
k
k
k
k
'
'
'
'
P
O
P
O
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
1
>
@
>
@
P
O
P
O
'
'
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
k
t
p
k
N
t
p
k
k
N
t
p
t
t
p
t
t
p
k
k
k
k
k
a st
ąd k-te równanie modelu analitycznego ma postaü:
>
@
>
@
P
O
P
O
)
1
(
)
1
(
)
(
1
1
k
p
k
N
p
k
k
N
p
k
k
k
(k)
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
18
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
n.
(n-1)
.
P
. . .
[N-(n-3)]
.
O
[N-(n-2)]
.
O
(N-n)
.
O
[N-(n-1)]
.
O
n
.
P
(n-1)
.
P
S
n-2
S
n-1
S
n
. . .
n
.
P
>
@
^
`
>
@
t
n
t
p
t
n
N
t
p
t
n
n
N
t
p
t
t
p
n
n
n
n
'
'
'
'
P
O
P
O
)
(
)
2
(
)
(
)
1
(
1
1
)
(
)
(
2
1
1
>
@
^
`
>
@
P
O
P
O
'
'
n
t
p
n
N
t
p
n
n
N
t
p
t
t
p
t
t
p
n
n
n
n
n
)
(
)
2
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
a st
ąd n-te równanie modelu analitycznego ma postaü:
>
@
^
`
>
@
P
O
P
O
n
p
n
N
p
n
n
n
N
p
n
n
n
)
2
(
1)
(
1)
1)(
(
2
1
(n)
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
19
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
Wykorzystuj
ąc równania:
(1)
,
(2)
, ...,
(k)
,...,
(n)
mo
Īna zapisaü nastĊpujący ukáad równaĔ:
P
O
1
0
p
N
p
(1)
>
@
P
O
P
O
2
1
2
0
1
p
N
p
N
p
(2)
>
@
>
@
P
O
P
O
)
1
(
)
1
(
)
(
1
1
k
p
k
N
p
k
k
N
p
k
k
k
(k)
>
@
^
`
>
@
P
O
P
O
n
p
n
N
p
n
n
N
p
n
n
n
2)
(
1)
(
1)
(
2
1
(n)
O
1O
1 O
1n O
1n– O
n
P
(n-1)
P
1n O
1 O
2
P
1n O
S
N
n
P
3
P
. . .
P
S
0
S
1
S
2
n
P
n
P
. . .
S
n-1
S
n
S
n+1
STANY Z KOLEJK
Ą
W DRUGIEJ FAZIE
STANY BEZ KOLEJKI
W DRUGIEJ FAZIE
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
20
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
Po rozwi
ązaniu ukáadu równaĔ otrzymuje siĊ prawdopodobieĔstwa stacjonarne stanów
1
yn
postaci:
1
0
1
!
)
1
(
!
1
!
¸
¹
·
¨
©
§
P
O
N
N
p
p
1
0
1
!
)
1
(
!
1
!
U
N
N
p
p
2
0
2
!
)
2
(
!
2
!
¸
¹
·
¨
©
§
P
O
N
N
p
p
2
0
2
!
)
2
(
!
2
!
U
N
N
p
p
o
P
O
U
k
k
k
N
k
N
p
p
¸
¹
·
¨
©
§
P
O
!
)
(
!
!
0
k
k
k
N
k
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
n
n
n
N
n
N
p
p
¸
¹
·
¨
©
§
P
O
!
)
(
!
!
0
n
n
n
N
n
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
k
k
k
N
k
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
21
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
Wyznaczenie prawdopodobie
Ĕstw przebywania systemu w stanach wyĪszych od
n
mo
Īna
przeprowadzi
ü wykorzystując zaleĪnoĞci juĪ istniejące. Zostanie to pokazane na przykáadzie
algorytmu dla stanów
(n+1)
i
(n+2)
:
n+1
>
@
>
@
P
O
P
O
n
p
n
N
p
n
n
N
p
n
n
n
1
1
)
1
(
)
(
(n-1)
.
P
n
.
P
. . .
[N-(n-2)]
.
O [N-(n-1)]
.
O
(N-n)
.
O
[N-(n+1)]
.
O
n
.
P
n
.
P
S
n-1
S
n
S
n+1
. . .
st
ąd
>
@
>
@
P
O
P
O
n
n
N
p
n
n
N
p
p
n
n
n
)
1
(
)
(
1
1
ale wiadomo,
Īe:
>
@
1
0
1
!
)
1
(
)!
1
(
!
n
n
n
N
n
N
p
p
U
i
n
n
n
N
n
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
k
k
k
N
k
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
Na tej podstawie otrzymuje si
Ċ:
>
@
1
0
1
!
)
1
(
!
!
n
n
n
N
n
n
N
p
p
U
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
22
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
Obliczenia pomocnicze potwierdzaj
ące prawidáowoĞü zaleĪnoĞci na
p
n+1
.
>
@
>
@
P
O
P
O
n
n
N
p
n
n
N
p
p
n
n
n
)
1
(
)
(
1
1
>
@
P
O
P
O
n
n
N
p
n
p
n
N
p
p
n
n
n
n
)
1
(
)
(
1
1
>
@
P
O
P
P
P
O
n
n
N
p
n
n
p
n
n
N
p
p
n
n
n
n
)
1
(
)
(
1
1
ale
U
P
O
>
@
U
U
n
n
N
p
p
n
n
N
p
p
n
n
n
n
)
1
(
)
(
1
1
n
n
n
N
n
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
>
@
1
0
1
!
)
1
(
)!
1
(
!
n
n
n
N
n
N
p
p
U
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
23
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
Cd. oblicze
Ĕ pomocniczych potwierdzających prawidáowoĞü zaleĪnoĞci na
p
n+1
.
>
@
>
@
U
U
U
U
U
n
n
N
n
N
n
N
p
n
N
n
N
p
n
n
N
n
N
n
N
p
p
n
n
n
n
)
1
(
!
)
1
(
)!
1
(
!
!
)
(
!
!
)
(
!
)
(
!
!
1
0
0
0
1
>
@
>
@
n
n
N
n
N
n
N
p
n
N
n
N
p
n
n
N
n
N
n
N
p
p
n
n
n
n
)
1
(
!
)
1
(
)!
1
(
!
!
)
(
!
!
)
(
!
)
(
!
!
0
0
1
0
1
U
U
U
>
@
n
n
n
n
n
N
n
N
p
n
N
n
N
p
n
N
n
n
N
p
p
U
U
U
!
)
(
!
!
!
)
(
!
!
!
)
1
(
!
!
0
0
1
0
1
>
@
1
0
1
!
)
1
(
!
!
n
n
n
N
n
n
N
p
p
U
cnp.
Ilustracje pomocnicze
>
@
>
@ >
@ >
@ >
@
)
1
(
)
1
(
)
2
(
3
2
1
!
)
1
(
n
N
n
N
n
N
n
N
n
N
>
@ >
@ >
@
)
1
(
!
!
)
1
(
n
N
n
N
n
N
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
24
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
n+2
n
.
P
n
.
P
. . .
[N-(n-1)]
.
O
(N-n)
.
O
[N-(n+1)]
.
O [N-(n+2)]
.
O
n
.
P
n
.
P
S
n
S
n+1
S
n+2
. . .
>
@
^
`
P
O
P
O
n
p
n
N
p
n
n
N
p
n
n
n
2
1
)
1
(
st
ąd
>
@
^
`
P
O
P
O
n
n
N
p
n
n
N
p
p
n
n
n
)
(
)
1
(
1
2
ale wiadomo,
Īe:
n
n
n
N
n
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
i
>
@
1
0
1
!
)
1
(
!
!
n
n
n
N
n
n
N
p
p
U
Na tej podstawie otrzymuje si
Ċ:
>
@
2
2
0
2
!
)
2
(
!
!
n
n
n
N
n
n
N
p
p
U
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
25
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
Na podstawie otrzymanych rezultatów mo
Īna zauwaĪyü, Īe:
>
@
>
@
>
@
U
U
U
n
n
N
n
N
n
N
p
n
N
n
n
N
p
p
p
n
n
n
n
!
!
!
!
)
1
(
!
!
0
1
0
1
oraz
>
@
>
@
>
@
U
U
U
n
n
N
n
N
n
n
N
p
n
N
n
n
N
p
p
p
n
n
n
n
)
1
(
!
)
1
(
!
!
!
)
2
(
!
!
1
0
2
2
0
1
2
Na tej podstawie wida
ü, Īe:
U
n
k
N
p
p
k
k
)
(
1
co pozwala zapisa
ü nastĊpującą zaleĪnoĞü rekurencyjną obowiązującą w zakresie stanów nyN:
U
n
k
N
p
p
k
k
)
(
1
dla k = n, n+1, ..., N
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
26
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
Zale
ĪnoĞü rekurencyjna oraz zaleĪnoĞci na
i
, pozwalaj
ą sformuáowaü postaü modelu na
prawdopodobie
Ĕstwo stacjonarne k-tego stanu w zakresie stanów nyN:
1
n
p
2
n
p
U
n
k
N
p
p
k
k
)
(
1
dla k = n, n+1, ..., N
k
n
k
k
k
N
n
n
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
dla k = n, n +1, ..., N
O
1O
1 O
1n O
1n O
1n O
1 O
1n O
n
P
(n-1)
P
S
N
n
P
3
P
. . .
2
P
P
S
0
S
1
S
2
n
P
n
P
. . .
S
n-1
S
n
S
n+1
STANY Z KOLEJK
Ą
W DRUGIEJ FAZIE
STANY BEZ KOLEJKI
W DRUGIEJ FAZIE
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
27
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
U
n
k
N
p
p
k
k
)
(
1
dla k = n, n+1, ..., N
n
n
n
N
n
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
dla k = n
U
n
n
N
p
p
n
n
)
(
1
U
U
n
n
N
n
N
n
N
p
p
n
n
)
(
!
)
(
!
!
0
1
1
1
0
1
!
)
)
1
(
(
!
!
n
n
n
N
n
n
N
p
p
U
dla k = n+1
U
n
n
N
p
p
n
n
))
1
(
(
1
2
U
U
n
n
N
n
N
n
n
N
p
p
n
n
))
1
(
(
!
)
)
1
(
(
!
!
1
1
0
2
2
2
0
2
!
)
)
2
(
(
!
!
n
n
n
N
n
n
N
p
p
U
dla k = n+2
U
n
n
N
p
p
n
n
))
2
(
(
2
3
U
U
n
n
N
n
N
n
n
N
p
p
n
n
))
2
(
(
!
)
)
2
(
(
!
!
2
2
0
3
3
3
0
3
!
)
)
3
(
(
!
!
n
n
n
N
n
n
N
p
p
U
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
28
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
W cyklicznym systemie masowej obs
áugi obowiązuje równieĪ warunek postaci:
1
0
¦
N
i
i
p
Wykorzystuj
ąc utworzone uprzednio równania moĪna zapisaü, Īe:
dla k = 1,2,...,n,
k
n
k
k
k
N
n
n
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
dla k = n+1,...,N
mo
Īna zapisaü, Īe:
1
!
)
(
!
!
!
)
(
!
!
1
0
0
0
¦
¦
N
n
k
k
n
k
n
k
k
k
N
n
n
N
p
k
N
k
N
p
U
U
k
k
k
N
k
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
a st
ąd
1
1
0
0
!
)
(
!
!
!
)
(
!
!
»
¼
º
«
¬
ª
¦
¦
N
n
k
k
n
k
n
k
k
k
N
n
n
N
k
N
k
N
p
U
U
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
29
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
ROZWI
ĄZANIA
- DWUFAZOWY CYKLICZNY SYSTEM MASOWEJ
OBS
àUGI
dla k = 1,2,...,n,
k
n
k
k
k
N
n
n
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
dla k = n+1,...,N
1
1
0
0
!
)
(
!
!
!
)
(
!
!
»
¼
º
«
¬
ª
¦
¦
N
n
k
k
n
k
n
k
k
k
N
n
n
N
k
N
k
N
p
U
U
k
k
k
N
k
N
p
p
U
!
)
(
!
!
0
O
1O
1 O
1n O
1n O
1n O
1 O
1n O
n
P
(n-1)
P
S
N
n
P
3
P
. . .
2
P
P
S
0
S
1
S
2
n
P
n
P
S
n-1
S
n
S
n+1
. . .
STANY Z KOLEJK
Ą
W DRUGIEJ FAZIE
STANY BEZ KOLEJKI
W DRUGIEJ FAZIE
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
30
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
Wspó
áczynnik przestoju obiektów w cyklicznym systemie masowej obsáugi
S
2
W cyklicznym systemie obs
áugowym jest to stosunek Ğredniej liczby obiektów oczekujących
w kolejce KS1 do liczby wszystkich N obiektów znajdujących siĊ w systemie:
N
L
V
KS
1
ob
,
gdzie:
1
KS
L
Ğrednia liczba obiektów oczekujących w kolejce
,
1
KS
N
staáa liczba obiektów znajdujących siĊ w systemie.
n
1
2
1
F
1
(t)
KS
F
2
(t)
N
S
1
2
KS
1
F
1
(t)
F
1
(t)
2
1
n
2
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
31
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
o
Wspó
áczynnik przestoju stanowiska obsáugiwania w cyklicznym systemie masowej obsáugi
Jest to stosunek
Ğredniej liczby kanaáów stanowisk nie zajĊtych obsáugą, do liczby wszystkich
kana
áów stanowisk pracujących w systemie (n
2
):
S
2
2
2
kon
2
n
L
n
V
S
,
gdzie:
2
S
L
Ğrednia liczba obiektów znajdujących siĊ na stanowisku ,
2
S
liczba kana
áów stanowiska .
2
n
2
S
n
1
2
1
F
1
(t)
KS
F
2
(t)
N
S
1
2
KS
1
F
1
(t)
F
1
(t)
2
n
2
1
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
32
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
o
Gotowo
Ğü cyklicznego systemu obsáugowego
Jest to prawdopodobie
Ĕstwo takiego zdarzenia, Īe w pierwszej fazie cyklicznego systemu
obs
áugowego znajduje siĊ co najmniej tyle obiektów, ile jest kanaáów stanowiska S
1
w tej fazie.
Wska
Ĩnik ten moĪna wyraziü zaleĪnoĞcią:
S
2
^
`
1
sys
1
n
L
P
G
S
,
gdzie:
liczba obiektów znajduj
ących siĊ na stanowisku ,
1
S
L
1
S
liczba kana
áów stanowiska .
1
n
1
S
n
1
2
1
F
1
(t)
KS
F
2
(t)
N
S
1
2
KS
1
F
1
(t)
F
1
(t)
2
n
2
1
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
33
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
PODSUMOWANIE
i
Cykliczny system masowej obs
áugi:
x poj
Ċcie cyklicznego systemu masowej obsáugi, przykáady zastosowania cyklicznego
systemu masowej obs
áugi,
x stan systemu, graf stanów,
x rozk
áad liczby (L
2
) pojazdów znajduj
ących siĊ w fazie drugiej systemu – p(i)=P{ L
2
= i },
x prawdopodobie
Ĕstwo, Īe system w fazie drugiej jest pusty – p
0
,
x prawdopodobie
Ĕstwo, Īe wszystkie kanaáy stanowiska w fazie drugiej są zajĊte – p
zaj
,
x
Ğrednia liczba obiektów oczekujących na obsáugĊ w fazie drugiej – L
KS2
,
x
Ğrednia liczba pojazdów na stanowisku w fazie drugiej – L
S2
,
x
Ğrednia liczba pojazdów w fazie drugiej – L
2
,
x
Ğrednia liczba pojazdów w fazie pierwszej – L
1
,
x wspó
áczynnik przestoju kanaáów stanowiska w fazie drugiej – W
2
= ( n
2
– L
S2
) / n
2
.
Plik:
BO_CSO_Analityczne_p_s_[v9].doc
34
/
34
A. KADZI
ēSKI,
POJ
ĉCIE I MOĩLIWOĝCI ZASTOSOWANIA MODELU CYKLICZNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSàUGI
4
/
34