wyklad

dr Dušan Bogdanov

Ekonometria 1

Wykład 3

Dobór zmiennych do liniowego modelu ekonometrycznego

Przedmiotem naszego zainteresowania jest jednorównaniowy model liniowy, który mo

emy

zapisa

w postaci ogólnej:

...

(3.1)

gdzie:

- t-ta realizacja zmiennej obja

nianej

- t –ta realizacja j – tej zmiennej obja

niaj

cej

- t – ty składnik losowy

Po okre

leniu celu, przedmiotu i zakresu bada

ekonometrycznych przechodzimy do specyfikacji

zmiennych. Na podstawie merytorycznej oceny i analizy modelowanych kategorii ekonomicznych

i relacji mi

dzy nimi definiuje si

zmienn

obja

nian

przez model oraz potencjalne zmienne

obja

niaj

ce. Pomi

dzy zmienn

obja

nian

a zmiennymi obja

niaj

cymi powinna zachodzi

zale

ść

przyczynowo-skutkowa lub przynajmniej symptomatyczna. Wybrane zmienne powinny by

mierzalne i dost

pne, co pozawala utworzy

szeregi ich realizacji.

Dana jest, wi

c macierz obserwacji zmiennej obja

nianej i potencjalnych zmiennych

obja

niaj

cych:













...

(3.2)

Dalsza analiza ma charakter formalno-statystyczny i jest prowadzona na empirycznych

realizacjach zmiennych. Prowadzi ona zwykle do redukcji zbioru zmiennych obja

niaj

cych. Zmienne

stosowane w modelowaniu ekonometrycznym powinny posiada

dostatecznie du

Ŝą

zmienno

ść

Zmienno

ść

(zawarto

ść

informacyjna) jest mierzona współczynnikiem zmienno

ci.

Przyjmuje si

e dla zmiennych obja

niaj

cych współczynnik zmienno

ci powinien mie

warto

ść

ksz

10%, dla zmiennej obja

nianej mo

na przyj

ąć

nieco ni

warto

ść

krytyczn

współczynnika.

Dalsza redukcja zbioru zmiennych obja

niaj

cych ma na celu wyłonienie zbioru zmiennych

obja

niaj

cych silnie skorelowanych ze zmienn

obja

nian

i słabo skorelowanych pomi

dzy sob

Pierwsza z wymienionych własno

ci zwi

zana jest z faktem,

e zmienna obja

niana w modelu

liniowym jest funkcj

liniow

zmiennych obja

nianych. Druga własno

ść

decyduje natomiast

o dokładno

ci ocen parametrów modelu uzyskanych metod

najmniejszych kwadratów. Zagadnienia

te bli

ej zostan

omówione na wykładach dotycz

cych estymacji.

Wykład opracowano na podstawie K Hanusik, U. Łangowska, Modelowanie ekonometryczne procesów

społeczno-ekonomicznych, Uniwersytet Opolski, Opole 1994, ss. 45-47

dr Dušan Bogdanov

Ekonometria 1

Informacja niezb

dna do przeprowadzenia doboru zmiennych na tym etapie zawarta jest

w macierzy korelacji rozpatrywanych cech:













...

(3.3)

W przypadku małej ilo

ci rozpatrywanych zmiennych bezpo

rednia analiza macierzy korelacji

pozwala na dokonanie redukcji zbioru zmiennych obja

niaj

cych wprowadzanych do danego

równania modelu. Przy wi

kszych ilo

ciach kandydatek na zmienne obja

niaj

ce analiza taka jest

utrudniona ze wzgl

du na rozmiary macierzy korelacji. Istniej

metody analityczne pozwalaj

pokona

trudno

ść

. Do najpopularniejszych nale

y metoda optymalnego doboru predykant

oraz metoda grafowa.

Metoda optymalnego doboru predykant. Na wst

pie nale

y utworzy

wszystkie mo

liwe

kombinacje zbioru zmiennych kandyduj

cych do roli zmiennych obja

niaj

cych w równaniu modelu:

},…,{X

}, {X

},...,{X

, X

...,X

}. Otrzymujemy 2

-1 kombinacji. Ka

kombinacj

rozpatrujemy

oddzielnie, wyznaczaj

c dla niej tak zwan

integraln

pojemno

ść

informacyjn

, która jest sum

indywidualnych pojemno

ci informacyjnych zmiennych wchodz

cych w skład rozpatrywanej

kombinacji. Pojemno

ść

indywidualn

zmiennej w danej kombinacji wyznacza si

według formuły:

∑

(3.4)

gdzie:

l - numer rozpatrywanej kombinacji,

- liczba zmiennych w rozpatrywanej kombinacji,

- współczynnik korelacji pomi

dzy i-t

i j-t

kandydatk

na zmienn

obja

niaj

(i,j=1,2,...m),

- współczynnik korelacji j-tej kandydatki na zmienn

obja

niaj

ze zmienn

obja

nian

Z przedstawionego wzoru wida

e pojemno

ść

informacyjna zmiennej jest tym wi

ksza,

im wi

ksza jest jej korelacja ze zmienn

obja

nian

oraz im słabsze s

zwi

zki korelacyjne mi

dzy

zmiennymi w danej kombinacji. Pojemno

ść

integralna l

−

tej kombinacji kandydatek na zmienne

obja

niaj

ce wyra

a si

natomiast wzorem:

dr Dušan Bogdanov

Ekonometria 1

(

)

∑

−

,...

(3.5)

Kombinacja o najwi

kszej pojemno

ci wyznacza zbiór zmiennych obja

niaj

cych. Istota metody

optymalnego wyboru predykant polega na tym,

e wybiera si

tak

kombinacj

zmiennych

obja

niaj

cych, które s

relatywnie najsilniej powi

zane ze zmienn

obja

nian

i najsłabiej powi

zane

ze sob

Metoda grafowa. Jest to metoda prawie identyczna jak metoda grafowa stosowana do redukcji

zbioru zmiennych diagnostycznych. Metoda ta w zasadzie uwzgl

dnia tylko postulat,

e zmienne

obja

niaj

ce powinny by

nieskorelowane mi

dzy sob

. Poniewa

w praktyce nie ma mo

liwo

uzyskania takiego układu zmiennych, dla których r

= 0, zast

puje si

ten warunek mniej

rygorystycznym, a mianowicie: r

≈

0. Oznacza to, i

przyjmuje si

e korelacja mi

dzy zmiennymi jest

dostatecznie niska, gdy charakteryzuj

cy j

współczynnik korelacji mi

dzy zmiennymi przyjmuje

warto

ść

nieistotnie ró

od zera, przy danej liczbie obserwacji i zało

onym poziomie istotno

ci.

W utworzonej macierzy korelacji zmiennych - kandydatek do zbioru zmiennych obja

niaj

cych-

wszystkie współczynniki korelacji nieistotnie ró

ne od zera zast

puje si

zerami, a pozostałe

jedynkami. Zmodyfikowan

w ten sposób macierz korelacji traktuje si

jako macierz przyległo

ci grafu,

którego w

złami s

zmienne. Graf ten dzieli si

nast

pnie na podgrafy spójne. Zmienne

reprezentowane przez wierzchołki ka

dego podgrafu spójnego charakteryzuj

istotnym

skorelowaniem mi

dzy sob

. Zgodnie z zało

eniem omawianej metody, jako zmienne obja

niaj

typowane s

reprezentantki ka

dego podgrafu. Reprezentantk

danego podgrafu jest natomiast

zmienna poł

czona najwi

ksz

liczb

zadeł z pozostałymi jego w

złami. Je

eli w podgrafie

spójnym jest kilka w

złów o tym samym maksymalnym stopniu, to wybiera si

spo

ród nich jako

zmienn

obja

niaj

cech

najsilniej skorelowan

ze zmienn

obja

nian

Opisane procedury maj

charakter pomocniczy, w ogólnym przypadku nie daj

identycznych

rozwi

i nale

y przy ich pomocy d

ąŜ

do uzyskania nie jednego, ale małej ilo

ci potencjalnych

układów zmiennych obja

niaj

cych. Zwykle dopiero w wyniku procesu weryfikacji nast

puje wybór

najlepszego wariantu zestawu zmiennych obja

niaj

cych modelu.