Metody Matematyczne w Akustyce - Zestaw 5 na 25 kwietnia 2014.
5.1. Obliczy¢ ∇ · (∇f) we wspóªrz¦dnych sferycznych, jesli pole skalarne f(r, θ, φ) =
r
2
(1 + θ
2
+ φ
2
)
.
5.2. Znale¹¢ △T , gdzie T (r, θ, φ) = r(cos θ + sin θ cos φ), sprawdzaj¡c wynik we
wspóªrz¦dnych kartezja«skich.
5.3. Korzystaj¡c z metody Frobeniusa rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych wyka»,
»e dla równania
y
′′
(x) + y(x) = 0
otrzymane rozwi¡zanie jest to»same z otrzymanym metod¡ przewidywania, czyli
y(x) = C
1
cos x + C
2
sin x
5.4. Korzystaj¡c z metody Frobeniusa rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych znajd»
rozwi¡zanie ogólne (dwa rozwi¡zania liniowo niezale»ne)
a) równania Legendre'a
(1
− x
2
)y
′′
(x)
− 2xy
′
(x) + α(α + 1)y(x) = 0
wokóª punktu regularnego x = 0.
b) sprawd¹, »e dla parametru α = n, gdzie n - liczba naturalna, dostaniemy
wielomian stopnia n - P
n
(x)
, który b¦dzie regularny tak»e w punktach x = ±1.
Znajd¹ posta¢ tego wielomianu przy warunku P
n
(1) = 1
.
c) znajd¹ posta¢ równania Legendre'a i wielomianów Legendre'a dla x = cos θ,
0
≤ θ ≤ π, bardzo cz¦sto wyst¦puj¡cych w rozwi¡zaniach problemów zycznych,
tak»e w akustyce.
b)wyka», »e prawdziwy jest zwi¡zek rekurencyjny
c
n+2
=
(α
− n)(α + n + 1)
(n + 1)(n + 2)
c
n
5.5. Korzystaj¡c z metody Frobeniusa rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych
znajd» rozwi¡zanie ogólne (dwa rozwi¡zania liniowo niezale»ne) wokóª punktu x = 0
równa«:
1
