- 16 -
7.2. OPIS SYGNAŁU IMPULSOWEGO
Sygnał określony funkcją f(t) spełniający następujące warunki:
•
(
)
( )
,...
2
,
1
,
=
≠
+
k
t
f
kT
t
f
(nieokresowy)
•
( )
∞
<
∫
∞
+
∞
−
dt
t
f
2
(o skończonej energii)
nazywamy sygnałem IMPULSOWYM.
PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA
Jeśli funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale t
∈
(-
∞
,
∞
)
to istnieje wówczas jej transformata Fouriera (
F
- transformata) określona
wzorem
( )
( )
( )
[ ]
t
f
dt
e
t
f
j
F
t
j
F
=
=
−
∞
+
∞
−
∫
ω
ω
,
(7.33)
będąca funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej
ω
określoną w przedziale
ω
∈
(-
∞
,+
∞
).
Zatem, zależność (7.33) -
nazywana
PROSTYM
PRZEKSZTAŁCENIEM FOURIERA
- pozwala przyporządkować opisowi sygnału w dziedzinie czasu, opis
w dziedzinie częstotliwości.
Jeśli ponadto funkcja f(t) jest funkcją przedziałami regularną, to pra-
wie wszędzie w przedziale t
∈
(-
∞
,+
∞
) :
( )
( )
[
]
ω
ω
ω
π
ω
j
F
d
e
j
F
t
f
t
j
1
2
1
)
(
−
∞
+
∞
−
=
=
∫
F
,
(7.34)
Czyli, zależność (7.34) -
nazywana
ODWROTNYM
PRZEKSZTAŁCENIEM FOURIERA
- umożliwia wyznaczenie funkcji f(t) na podstawie
F
- transformaty.
- 17 -
WIDMO SYGNAŁU IMPULSOWEGO
Funkcja
F(j
ω
ωω
ω
) nazywana jest funkcją
g
ę
sto
ś
ci widmowej sygnału
f(t). W ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona, którą można przed-
stawić w postaci:
( )
( )
( )
( )
( )
ω
ω
ω
ω
ω
Ψ
X
R
j
F
j
F
e
F
j
F
+
=
=
(7.35)
gdzie:
( )
( )
ω
ω
j
F
F
=
( )
( )
ω
ω
2
2
X
R
F
F
+
=
( )
( )
ω
ω
Ψ
j
F
arg
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ω
ω
ω
ω
ω
ω
F
F
arc
F
F
arc
F
F
tg
arc
R
X
R
X
cos
sin
=
=
=
( )
( )
dt
t
t
f
F
R
ω
ω
cos
∫
∞
+
∞
−
=
( )
( )
dt
t
t
f
F
X
ω
ω
sin
∫
∞
+
∞
−
−
=
Ww. widma są funkcjami ciągłymi zmiennej rzeczywistej
ω
ωω
ω
.
Funkcje typu F(j
ω
) nazywamy również obrazem, a f(t) oryginałem. Zatem
prosta transformata Fouriera przyporządkowuje jednoznacznie oryginałowi
jego obraz.
UWAGA:
( )
( )
(
)
ω
ω
ω
j
F
j
F
F
−
=
=
-
funkcja parzysta
( )
( )
ω
Ψ
ω
Ψ
−
−
=
-
funkcja nieparzysta
gęstość widmowa
widmo gęstości fazy
widmo gęstości amplitud
- 18 -
WIDMO G
Ę
STO
Ś
CI ENERGII
Dla sygnałów nieokresowych energia sygnału rozpatrywanego w nie-
ograniczonym przedziale czasu (-
∝
, +
∝
) ma na ogół wartość skończoną,
zaś średnia wartość mocy takiego sygnału (tj. średnia energia na jednostkę
czasu) jest równa zeru. Dlatego dla sygnałów impulsowych stosuje się po-
jęcie widma gęstości energii.
Energię sygnału
( )
dt
t
f
W
∫
∞
+
∞
−
=
2
(7.36)
można także określić w dziedzinie częstotliwości (kątowej) na podstawie
równości Parsevala-Rayleigha:
( )
( )
ω
ω
π
d
F
dt
t
f
∫
∫
∞
+
∞
−
∞
+
∞
−
=
2
2
2
1
(7.37)
czyli
( )
ω
ω
π
d
F
W
∫
∞
+
=
0
2
1
(7.38)
Wielkość
( )
( )
ω
π
ω
2
1
F
S
df
=
(7.39)
nazywamy
widmem gęstości energii
sygnału f(t).
Zatem energia sygnału
( )
( )
∫
∫
∞
+
∞
+
∞
−
=
=
0
2
ω
ω
d
S
dt
t
f
W
(7.40)
Z powyższego wyrażenia wynika, że sygnał f(t) zajmuje nieograniczone
pasmo częstotliwości -
ω
∈
[0,
∞
].
- 19 -
KRYTERIUM ENERGETYCZNE
Często przyjmuje się pewien przybliżony opis częstotliwościowy sy-
gnałów polegający na ograniczeniu pasma zajmowanego przez sygnał.
Przyjmuje się zatem, że sygnał zajmuje pasmo np.
(0-
ω
g
)
bądź (
ω
d
-
ω
g
)
jeśli w tym paśmie zawarta jest k
W
-ta część energii sygnału.
Jeżeli w wyrażeniu (7.40) za górną granicę całkowania w miejsce +
∞
wstawimy
ω
g
to
( )
W
d
S
k
g
W
∫
=
ω
ω
ω
0
(7.41)
Zatem przyjęcie określonej wartości liczbowej dla k
W
- np. k
W
= 0,95
determinuje wartość
ω
g
(częstotliwość graniczną) i tym samym pomijamy
widmo leżące poza pasmem tzn. przyjmujemy F(
ω
) = 0 dla
ω
〉
ω
g.
Szerokość pasma zajmowanego przez sygnał impulsowy określamy w
oparciu o kryterium energetyczne gdzie k
W
stanowi wartość liczbową
tego kryterium, przy czym przyjęcie konkretnej wartości k
W
wynika z
ustalonego a priori przybliżenia rzeczywistości.
- 20 -
PRZYKŁAD:
Dany jest sygnał f(t) będący impulsem prostokątnym
(tzw. funkcja bramkowa) przedstawiony na rysunku.
t
f(t)
τ
A
τ
2
τ
2
1) Opisujemy sygnał f(t) analitycznie
( )
>
<
<
−
−
<
=
2
0
2
2
2
0
τ
τ
τ
τ
t
dla
t
dla
A
t
dla
t
f
2) Wyznaczamy funkcj
ę
g
ę
sto
ś
ci widmowej
(
F
- transformatę)
( )
( )
dt
e
t
f
j
F
t
j
ω
ω
−
∞
+
∞
−
∫
=
( )
ω
j
F
=
−
=
=
=
+
−
−
+
−
−
+
−
−
∫
∫
2
2
2
2
2
2
1
τ
τ
ω
τ
τ
ω
τ
τ
ω
ω
t
j
t
j
t
j
e
j
A
dt
e
A
dt
Ae
=
−
=
−
−
=
−
=
−
−
+
−
−
2
2
2
2
2
2
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
τ
ω
ω
ω
ω
j
j
j
j
t
j
e
e
j
A
e
e
j
A
e
j
A
j
e
e
że
wiemy
j
j
2
sin
,
α
α
α
−
−
=
- 21 -
=
=
−
=
−
2
sin
2
2
2
2
2
τ
ω
ω
ω
τ
ω
τ
ω
A
j
e
e
j
j
A
j
j
2
2
sin
2
2
τ
ω
τ
ω
ω
τ
ω
=
A
Zatem
( )
=
2
τ
ω
τ
ω
Sa
A
j
F
Czyli funkcja gęstości widmowej F(j
ω
) funkcji bramkowej jest funkcją
rzeczywistą a zatem F
X
(
ω
) = 0.
3) Wyznaczamy widmo g
ę
sto
ś
ci amplitud
( )
( )
⋅
=
=
2
ωτ
τ
ω
ω
Sa
A
j
F
F
Uwaga:
( )
τ
A
F
=
0
( )
0
=
ω
F
gdy
n
π
ωτ
=
2
czyli dla
τ
π
ω
n
2
=
- 22 -
4) Wyznaczamy widmo g
ę
sto
ś
ci fazy
( )
( )
ω
ω
Ψ
j
F
arg
=
Ponieważ funkcja gęstości widmowej rozpatrywanego sygnału jest
wielkością rzeczywistą, zatem widmo gęstości fazy jest przedziałami
stałe i przybiera wartości 0 lub
±π
ω
0
2
π
τ
4π
τ
6π
τ
-2
π
τ
-4
π
τ
-6
π
τ
Ψ ω
( )
180
o
-180
o
