METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW 

 

Analiza matematyczna I: obliczanie granic i pochodnych 

 
 
 

OBLICZANIE GRANIC 

 
 

limit

 (wyrażenie, punkt, kierunek) 

 
 
punkt

 – równanie określające punkt, w którym obliczana jest granica np. x = x

0

. Zamiast 

skończonych wartości x

0

 można padać nazwę infinity (nieskończoność). 

kierunek

 – dodatkowy parametr umożliwiający liczyć granice jednostronne. Przyjmuje 

wartości right lub left.  

 
 
 

OBLICZANIE POCHODNYCH 

 
 
diff

 (wyrażenie, symbol) 

 
symbol

 – określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych 

wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest sekwencja odpowiednich 
symboli. 

 
 
D

 [n](funkcja) 

 
n

 – numer argumentu funkcji, ze względu na który liczona jest pochodna lub, dla pochodnych 

wyższych rzędów, sekwencja odpowiednich liczb całkowitych.  

funkcja 

– nazwa funkcji lub procedury zdefiniowanej przez użytkownika zawierającej 

różniczkowane wyrażenie, albo nazwa wbudowanej funkcji matematycznej 
Maple’a

. 

 
 
 
 
 
 
 
 

Zadania 
 

1.  Obliczyć następujące granice:    
 

a) 

tg( )

tg( )

tg( )

π

π

π

2

2

2

lim 2

, lim 2

, lim 2

x

x

x

x

x

x

−

+

→

→

→

        Odp: nieokreślona,  , 0

∞

 

 

b) 

π

4

cos( ) sin( )

lim

cos(2 )

t

t

t

t

→

−

 

 

 

Odp. 

2

2

 

 

c) 

1

lim 1

n

n

n

→∞





+









   

 

 

Odp.  e  

 

2.  Za pomocą komendy diff i operatora D obliczyć następujące pochodne:  
 

a) 

(

)

( ) ,

( )

5 arctg sin(2 )

f x

f x

x

′

=

 

 

 

 

Odp. 

2

10 cos(2 )

1 sin (2 )

x

x

+

 

 
b) 

2

( ) ,

( )

ln( )

f

x

f x

x

x

′′

=

 w punkcie 

0.5

x =

  

 

Odp. 1.6137 

 

c)  

3

2

2

2

( , )

,

( , )

e

x y

f x y

x

f x y

x y

y

∂

=

+

∂ ∂

 w punkcie 

1,

2

x

y

=

= −   Odp. 

3

4

 

 

 
3.  Wyznaczyć ekstrema funkcji 

2

( )

3

e

x

f x

x

x

=

+

−

. Określić ich charakter (minimum, 

maksimum).