Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
Laboratori
um Drgań Mechanicznych
Bielsko-
Biała 2012
o
o
o
p
p
p
r
r
r
a
a
a
c
c
c
o
o
o
w
w
w
a
a
a
ł
ł
ł
A
A
A
r
r
r
k
k
k
a
a
a
d
d
d
i
i
i
u
u
u
s
s
s
z
z
z
T
T
T
r
r
r
ą
ą
ą
b
b
b
k
k
k
a
a
a
ĆWICZENIE NR ...
DRGANIA SKRĘTNE UKŁADU O WIELU STOPNIACH
SWOBODY
1.
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem drgań mechanicznych
układu o wielu stopniach swobody na przykładzie drgań skrętnych układu o
czterech stopniach swobody.
2. Opis stanowiska
Na rysunku 1 przedstawiono schemat układu drgającego o czterech stopniach
swobody, którego głównymi elementami są:
Aluminiowe tarcze osadzone na stalowym pręcie;
Mechanizm korbowo-wahaczowy;
Silnik prądu stałego;
Autotransformator (do płynnej regulacji prędkości obrotowej silnika);
Tachometr elek
troniczny (do pomiaru prędkości obrotowej silnika).
DRGANIA SKRĘTNE UKŁADU O WIELU STOPNIACH SWOBODY
Laboratorium Drgań Mechanicznych
2
Rys.1. Schemat stanowiska pomiarowego
3.
Zależności obliczeniowe
Ruch wymuszający drgania jest realizowany przez mechanizm korbowo-wahaczowy,
w przybliżeniu należy przyjąć, że jest to ruch harmoniczny określony równaniem:
=
sin ωt
(1)
Równania ruchu opisujące drgania wymuszone układu z rys. 1 mają postać:
0
)
(
2
2
1
2
1
1
1
k
k
k
B
0
)
(
3
3
2
3
2
1
2
2
2
k
k
k
k
B
(2)
0
)
(
4
4
3
4
3
2
3
3
3
k
k
k
k
B
t
k
k
k
k
B
sin
)
(
5
4
5
4
3
4
4
4
W równaniach tych pominięto tłumienie, które przy pracy układu w pobliżu częstości
rezonansowych nie wpływa w istotny sposób na relacje pomiędzy wartościami
amplitud.
Celem wyznaczenia częstości drgań własnych oraz postaci drgań należy przyjąć
prawe strony równań (2) równe zeru oraz założyć rozwiązania w postaci:
),
sin(
1
1
t
),
sin(
1
2
1
t
i=1, 2, 3, 4
(3)
Czujnik
tachometru
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
Laboratorium Drgań Mechanicznych
3
otrzymuje się wówczas równanie częstości (4):
1
2
2
1
B
k
k
2
k
0
0
2
k
2
2
3
2
B
k
k
3
k
0
= 0
(4)
0
3
k
3
2
4
3
B
k
k
4
k
0
0
4
k
4
2
5
4
B
k
k
Do wyznaczania miejsc zerowych równania (4) zastosowano metodę Jacobiego.
W wyniku rozwiązania równania (4) otrzymuje się cztery dodatnie wartości częstości
drgań własnych układu:
Postacie drgań wyznacza się z równań otrzymanych z równań (2) po przyjęciu
prawych stron równych zero i po podstawieniu rozwiązań w postaci (3).
Całkę szczególną równania (2) wyznaczamy przewidując rozwiązanie w postaci:
t
D
i
i
sin
t
D
i
i
sin
2
i=1, 2, 3, 4
(5)
Podstawiając rozwiązania (5) do równań (2) oraz porównując współczynniki przy
t
sin
otrzymuje się układ równań algebraicznych w postaci:
0
)
(
2
2
1
1
2
2
1
D
k
D
B
k
k
0
)
(
3
3
2
2
2
3
2
1
2
D
k
D
B
k
k
D
k
(6)
0
)
(
4
4
3
3
2
4
3
2
3
D
k
D
B
k
k
D
k
5
4
4
2
5
4
3
3
)
(
k
D
B
k
k
D
k
stąd wartości amplitud:
W
W
D
2
2
W
W
D
1
1
W
W
D
3
3
W
W
D
4
4
4
3
2
1
,
,
,
DRGANIA SKRĘTNE UKŁADU O WIELU STOPNIACH SWOBODY
Laboratorium Drgań Mechanicznych
4
stosunki amplitud drgań wymuszonych wyrażają związki:
4
3
2
1
4
3
2
1
:
:
:
:
:
:
W
W
W
W
D
D
D
D
(7)
można łatwo wykazać, że dla częstości
i
mamy:
i
i
i
i
W
W
W
W
W
W
W
W
4
3
2
1
4
3
2
1
:
:
:
:
:
:
(8)
a więc:
i
i
i
i
D
D
D
D
4
3
2
1
4
3
2
1
:
:
:
:
:
:
(9)
Zatem przy drganiach wymuszonych układu z rysunku 1 amplitudy drgań przy
częstościach bliskich rezonansowym (
i
), odpowiadają postaciom drgań właściwym
odpowiedniej częstotliwości drgań swobodnych.
Obserwując więc konfigurację amplitud w pobliżu częstości rezonansowych możemy
wnioskować o postaciach drgań swobodnych układu.
4. Przebieg ćwiczenia
Zmierzyć średnice oraz grubości tarcz umieszczonych na wale, a następnie
obliczyć ich masowe momenty bezwładności;
Korzystając ze specjalnego przyrządu zmierzyć długości wszystkich odcinków
wału, a także ich średnice;
Zmieniając prędkość obrotową silnika za pomocą autotransformatora, odczytać z
tachometru kolejne cztery wartości prędkości przy których dominują odpowiednie
postacie drgań. Zaobserwować i wykreślić postacie drgań towarzyszące
częstościom rezonansowym (punkty węzłowe, maksymalne odkształcenia);
Za pomocą programu komputerowego obliczyć sztywności odcinków wału,
częstości drgań własnych oraz odpowiadające im postacie drgań. Wyniki zapisać
w protokole.
5. Zawartość sprawozdania
Cel ćwiczenia;
Przebieg ćwiczenia (w punktach);
Schemat stanowiska laboratoryjnego (z opisem);
Dane wejściowe do przeprowadzanego ćwiczenia;
Zestawienie zmierzonych c
zęstości rezonansowych oraz wykresy
zaobserwowanych postaci odkształceń wału;
Zestawienie wyników obliczeń;
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
Laboratorium Drgań Mechanicznych
5
Porównanie wyników doświadczalnych z wynikami teoretycznymi;
Sporządzony w trakcie ćwiczeń protokół;
Wnioski, spostrzeżenia i uwagi.