Wykład dziesiąty
Szeregi liczbowe - c.d.
WW zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych
Uwaga 1. Jeśli (a
n
0, to ciąg sum (S
n
) jest niemalejący. Zatem ciąg sum (S
n
) jest zbieżny
wtw gdy jest ograniczony z góry.
Tw.1.(kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych) Niech m oznacza dowolną liczbę na-
turalną. Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale hm; +∞), to szereg liczbowy
∞
X
n=m
f (n) i całka
Z
+∞
m
f (x)dx
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.
Tw.2. (kryterium porównawcze) Jeżeli
∞
X
n=1
a
n
oraz
∞
X
n=1
b
n
są szeregami o wyrazach nieujemnych
oraz a
n
¬ b
n
dla n > n
0
, to
1. jeżeli szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg
∞
X
n=1
b
n
;
2. jeżeli szereg
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny, to zbieżny jest szereg
∞
X
n=1
a
n
.
Tw.3. (kryterium d’Alemberta) Jeżeli
∞
X
n=1
a
n
jest szeregiem o wyrazach dodatnich i istnieje
granica lim
n→∞
a
n+1
a
n
= g (właściwa lub niewłaściwa), to
1. jeśli 0 ¬ g < 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny;
2. jeśli g > 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Tw.4. (kryterium Cauchy’go) Jeżeli
∞
X
n=1
a
n
jest szeregiem o wyrazach nieujemnych i istnieje
granica lim
n→∞
n
√
a
n
= g (właściwa lub niewłaściwa), to
1. jeśli 0 ¬ g < 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny;
2. jeśli g > 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny.
W obu twierdzeniach jeśli g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności badanego szeregu.
1
Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnego znaku
Def Szereg
∞
X
n=1
(−1)
n+1
a
n
, gdzie a
n
> 0 dla n ∈ N nazywamy szeregiem naprzemiennym.
Tw.5. (kryterium Leibniza) Jeżeli (a
n
)
n∈N
jest ciągiem nierosnącym i lim
n→∞
a
n
= 0, to szereg
∞
X
n=1
(−1)
n+1
a
n
jest zbieżny.
Def. Szereg zbieżny
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny bezwzględnie, jeśli zbieżny jest szereg
∞
X
n=1
|a
n
|. Jeśli szereg
∞
X
n=1
|a
n
| jest rozbieżny, to dany szereg jest zbieżny warunkowo.
Tw.6. Jeżeli szereg
∞
X
n=1
|a
n
| jest zbieżny, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny (bezwzględnie).
Szeregi potęgowe
Def. Szeregiem potęgowym nazywamy szereg funkcyjny postaci
∞
X
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
= a
0
+ a
1
(x − x
0
) + a
2
(x − x
0
)
2
+ · · · ,
gdzie a
n
∈ R – współczynniki liczbowe, x
0
– ustalona liczba rzeczywista, a x oznacza zmienną.
Dla x
0
= 0 szereg potęgowy ma postać :
∞
X
n=0
a
n
x
n
. Wystarczy rozpatrywać własności szeregów
potęgowych tej postaci.
Uwaga 2. Jeżeli szereg
∞
X
n=0
a
n
x
n
jest zbieżny w punkcie x = a, to jest zbieżny w przedziale
(−|a|; |a|).
Niech X
df
={x ∈ R :
∞
X
n=0
a
n
x
n
jest zbieżny}. X 6= ∅, bo 0 ∈ X. Zatem zbiór {|x| : x ∈ X} jest
niepustym podzbiorem R, więc posiada kresy; jego kres dolny jest równy 0, a jego kres górny
oznaczamy przez R i nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=0
a
n
x
n
. Oczywiście
0 ¬ R ¬ +∞.
Uwaga 3. Jeżeli promień zbieżności R jest
1. równy 0, to szereg
∞
X
n=0
a
n
x
n
jest zbieżny tylko w punkcie x = 0;
2. równy +∞, to szereg
∞
X
n=0
a
n
x
n
jest zbieżny dla każdego x ∈ R;
2
3. 0 < R < +∞, to szereg
∞
X
n=0
a
n
x
n
jest zbieżny w przedziale (−R; R) i jest rozbieżny w
zbiorze (−∞; −R) ∪ (R; +∞).
Tw.7 Jeżeli istnieje lim
n→∞
a
n+1
a
n
= λ lub lim
n→∞
n
q
|a
n
| = λ, to promień zbieżności R szeregu
potęgowego
∞
X
n=0
a
n
x
n
jest równy
R =
0
,
λ = +∞
1
λ
, 0 < λ < +∞
+∞ ,
λ = 0
3