NIELINIOWOŚCI W UKŁADACH REGULACJI
I. PODSTAWY
TEORETYCZNE
1. Zjawisko
windup’u
W większości stosowanych układów sterowania sygnał sterujący posiada górne oraz dolne
ograniczenie. Może ono wynikać np. z fizycznych właściwości urządzenia sterującego.
Najprostszym takim urządzeniem jest zawór, który znajduje się w stanie górnego nasycenia w
momencie, w którym jest całkowicie otwarty, natomiast, analogicznie, gdy jest zamknięty, znajduje
się on w stanie dolnego nasycenia. Innym przykładem może być samolot, w którym sterowani
lotem odbywa się za pomocą odpowiedniego ułożenia powierzchni lotnych (tzw. lotek), jednakże
zmiana położenia może odbywać się tylko w pewnym zakresie.
Rozważmy teraz układ (rys. 1.1) w którym sygnał sterujący u posiada górne i dolne ograniczenie.
Rys. 1.1 Model układu z nasyceniem sygnału sterującego
( )
( )
( )
( )
( )
max
max
min
max
min
min
u
, jeżeli v
u
u
= v
, jeżeli u
v
u
u , jeżeli v
u
t
t
t
t
t
≥
<
<
≤
(1.1)
Wprowadzenie ograniczenia na sygnał sterujący powoduje znaczne zwiększenie przeregulowania,
a także wydłużenie czasu regulacji (czasu, po którym układ osiąga stan ustalony). Zjawisko to
określane jest w literaturze jako windup. W języku polskim nie ma dokładnego odpowiednika tej
nazwy, jednakże zjawisko to można by nazwać windowaniem.
Układ przedstawiony na rys. 1.2 prezentuje inny przypadek powstawania zjawiska windup’u, w
którym ograniczona została szybkość zmian sygnału sterującego. Ograniczenie to może wystąpić,
np. w przypadku, gdy regulator wystawia sygnał zmieniający się z szybkością większą niż fizyczna
możliwość prędkości otwierania lub zamykania zaworu.
Rys. 1.2 Model układu z ograniczeniem prędkości zmian sygnału sterującego
( )
( )
( )
( )
( )
max
max
min
max
min
min
, jeżeli v
u
= v
, jeżeli
v
, jeżeli v
t
t
t
t
t
σ
σ
σ
σ
σ
≥
<
<
≤
σ
(1.2)
Oba przedstawione przypadki są przykładem na to jak negatywny wpływ na działanie układu
regulacji ma zjawisko windup’u, dlatego też niezbędne jest jemu przeciwdziałanie. W literaturze
spotyka się rożne metody mające na celu zapobieganie całkowaniu regulatora gdy jego sygnał
wyjściowy znajduje się w stanie nasycenia. Wszystkie one jednak wymagają ingerencji w strukturę
regulatora, gdyż tylko to zapewnia odpowiednia jego prace.
2. Regulator
PID
Regulator jest urządzeniem porównującym wielkość regulowana z wartością zadana tej wielkości,
który wytwarza na wyjściu sygnał zależny od ich różnicy. Poniżej przedstawiona zostanie struktura
algorytmu regulatora PID.
Rys. 2.1 Schemat blokowy regulatora
Algorytm ten można przedstawić w dwojaki sposób:
- w postaci czasowej (przypadek regulatora idealnego z idealnym różniczkowaniem):
( )
( )
( )
( )
0
0
t
r
r
c
r
c
P
D
I
de t
K
v t
K e t
e t dt v
K T
T
d
==
⋅
+
⋅
+
+
⋅ ⋅
∫
r
t
(2.1)
- lub w postaci operatorowej (przypadek rzeczywisty z członem różniczkującym z inercją):
( )
( )
( )
N
N
1
[1
]
1
1
r
r
r
r
c
b
c
P
I
D
V s
s T
K
s K T
R s
K
K
E s
s T
s T
s T
s T
r
r
b
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅ +
+
=
+
+
⋅
+ ⋅
⋅
+ ⋅
(2.2)
[ ]
0 np. 0,01
b
T
s
≈
ek
Algorytm regulatora PID posiada kilka praktycznych realizacji.
2.1. Struktura PD-PI
Jest to struktura, w której wartość zadana nie jest różniczkowana.
Rys. 2.2 Schemat układu z regulatorem typu PD-PI
2.2. Struktura równoległa
Transmitancja tego regulatora jest wyrażona zależnością (2.2). Istnieją trzy praktyczne odmiany
realizacji tej struktury:
1) uchyb podawany jest na wszystkie człony regulatora
Rys. 2.3 Schemat regulatora zrealizowanego w strukturze równoległej, w którym uchyb
podawany jest na wszystkie jego człony
2) uchyb podawany na człon proporcjonalny i całkujący regulatora
Rys. 2.4 Schemat regulatora zrealizowanego w strukturze równoległej, w którym uchyb
podawany jest na działanie proporcjonalno- całkujące
3) uchyb podawany na człon całkujący regulatora
Rys. 2.5 Schemat regulatora zrealizowanego w strukturze równoległej, w którym uchyb
podawany jest na działanie całkujące
3. Mechanizm powstawania zjawiska windup’u
W większości układów regulacji sygnał sterujący u posiada dolne oraz górne ograniczenie
wynikające np. z fizycznych właściwości elementów układu. Dojście sygnału wyjściowego z
regulatora v do ograniczenia nie ma wpływu na jego działanie całkujące, toteż zmiana znaku
uchybu regulacji e nie powoduje natychmiastowego odejścia od ograniczenia. Mechanizm
powstawania windup’u w tym przypadku przedstawiony został na rys. 3.2 dla układu jak na
rys. 3.1.
Rys. 3.1 Schemat układu pokazującego wpływ zmiany uchybu na pracę regulatora przy
ograniczeniu amplitudy sterowania
Rys. 3.2 Mechanizm powstawania windup’u w przypadku ograniczenia amplitudy sygnału
sterującego
Rysunek 3.2 pokazuje, że ograniczenie amplitudy sygnału wyjściowego z regulatora nie ma
wpływu na prace regulatora. Zmiana znaku uchybu regulacji powoduje zmianę sygnału sterującego
dopiero po czasie nasycenia.
4. Metody
antiwindup
W literaturze spotyka się rożne metody przeciwdziałania wpływowi działania członu całkującego
regulatora w chwili, gdy układ znajduje się w stanie nasycenia. Większość z nich działa tylko w
przypadku ograniczenia amplitudy sygnału wyjściowego z regulatora v gdyż to ograniczenie
występuje prawie zawsze. Natomiast zjawisko windup’u przy ograniczeniu prędkości zmian
sygnału wyjściowego regulatora zachodzi rzadko toteż mało jest sposobów jemu zapobiegania i nie
będzie przedmiotem badań w powyższym ćwiczeniu.
Analizie poddawany będzie układ jak na rys. 4.1 z regulatorem PID o strukturze równoległej
(rys. 2.3)
Rys. 4.1 Model układu z nasyceniem sygnału sterującego
Poniżej przedstawionych zostało kilka metod pozwalających ograniczyć wpływ zjawiska
windowania na pracę układy regulacji.
4.1. Wyłączenie działania całkującego sygnałem członu całkującego
Metoda ta polega na wyłączeniu działania całkującego regulatora w chwili, gdy sygnał części
całkującej regulatora dochodzi do ograniczenia. Rysunek 4.2 przedstawia w postaci schematu ideę
tego rozwiązania.
Rys. 4.2 Regulator z wyłączaniem działania całkującego sygnałem członu całkującego
4.2. Wyłączenie działania całkującego
Metoda ta polega na wyłączeniu działania całkującego w regulatorze w chwili, gdy jego sygnał
wyjściowy dochodzi do ograniczenia. Na rys 4.3 przedstawiono schemat takiego układu jako
implementację w środowisku Matlab/simulink.
Rys. 4.3 Regulator z wyłączaniem działania całkującego
4.3. Ograniczenie sygnału wyjściowego z regulatora przez oddziaływanie na udział
składowej całkowej
Metoda ta polega na uruchomieniu silnego ujemnego sprzężenia zwrotnego w torze działania
całkującego w chwili, gdy sygnał wyjściowy regulatora dojdzie do ograniczenia. Schemat takiego
układu przedstawiony jest na rys 4.4.
Rys. 4.4 Regulator z oddziaływaniem na udział składowej całkowej
4.4. Ograniczenie sygnału wyjściowego z regulatora przez oddziaływanie na udział
wszystkich składowych
W metodzie tej dojście sygnału wyjściowego z regulatora do ograniczenia powoduje powstanie
silnego ujemnego sprzężenia zwrotnego oddziaływującego na wszystkie składowe regulatora.
Schemat układu realizującego taką strukturę przedstawia rys. 4.5.
Rys. 4.5 Regulator z oddziaływaniem na udział wszystkich składowych
II. PROGRAM ĆWICZENIA
Zjawisko windup’u w regulatorach PID
Struktura analizowanego regulatora przedstawiona jest na rys. 2.3.
1. Zamodelować w środowisku simulink regulator PID z podanymi nastawami i odpowiednio
dobranym elementem nieliniowym odpowiedzialnym za nasycenie sygnału regulatora. W
oparciu o układ przedstawiony na rys. 3.1 wyznaczyć, na jednym wykresie, przebiegi
czasowe sygnałów e, v, u oraz członu całkującego regulatora. Na uzyskanym wykresie
pokazać czas nasycenia badanego regulatora.
Wpływ nasycenia na pracę układu
2. Dla układu regulacji o strukturze jak na rys. 1.1, przy braku elementu odpowiedzialnego za
nasycenie sygnału sterującego, przyjąć jako obiekt element o transmitancji:
( )
(
)
3
1
k
K s
sT
=
+
,
następnie dobrać tak wartości nastaw regulatora PID () aby analizowany układ był stabilny.
3. Porównać przebiegi czasowe sygnału wyjściowego
( )
y t
będące odpowiedzą na skok
wartości zdanej
( )
( )
zad
w t
w
t
=
1
w przypadku wystąpienia jak i braku elementu
odpowiedzialnego za nasycenie sygnału sterującego regulatora.
4. Zbadać wpływ wartości granicznych nasycenia (
) na zjawisko windup’u w
analizowanym układzie.
max
u
i
min
u
5. Ocenić jakoś regulacji stosując całkowy wskaźnik jakości:
( )
(
)
2
0
t
zad
J
y t
w
=
−
∫
dt
(*)
(Wskazówka: wskaźnik można zamodelować w simulinku używając elementu całkującego).
Metody zapobiegania zjawisku windup’u
Struktura analizowanego układu przedstawiona jest na rys. 1.1 z regulatorem o nastawach i
strukturze jak w punkcie drugim ćwiczenia.
6. Dla metody polegającej na wyłączeniu członu całkującego regulatora (pkt. 4.1 i 4.2) zbadać
dobór nastaw elementu „strefy nieczułości” na skuteczność eliminacji zjawiska windowania.
Jako kryterium oceny przyjąć charakter odpowiedzi badanego układu na skok jednostkowy.
7. W metodzie bazującej na ograniczeniu sygnału wyjściowego z regulatora przez
oddziaływanie na składową całkową (pkt. 4.4), dla pewnej stałej wartości wzmocnienia
zwrotnego K w pętli sprzężenia zwrotnego regulatora dobrać optymalną wartość nastaw
elementu „strefy nieczułości”. Następnie dla tak dobranych nastaw „strefy nieczułości”
zbadać wpływ wartości wzmocnienia zwrotnego K.
8. Powtórzyć badania, jak w punkcie 7 programu ćwiczenia, dla metody polegającej na
ograniczeniu sygnału wyjściowego z regulatora przez oddziaływanie na udział wszystkich
składowych (pkt. 4.5).
9. Dla powyższych metod (pkt. 6 - 8) wyznaczyć symulacyjnie wskaźnik jakości regulacji
opisany zależnością (*).
J
Porównać jakość regulacji w poszczególnych układach (pkt. 2 oraz 6 - 8).
III. SPRAWOZDANIE
- opracować i przedstawić wszystkie przebiegi czasowe sygnałów regulatora z ograniczeniem
wartości wyjściowej;
- w oparciu o porównanie przebiegów odpowiedzi czasowej i sygnału sterującego u w
badanym układzie z i bez elementu nasycenia omówić wpływ zjawiska windowania na
pracę układu;
- uzasadnić dobór „optymalnych” wartości parametrów w metodach (pkt. 6 – 8)
zapobiegających zjawisku windup’u; przedstawić i omówić odpowiadające im przebiegi
czasowe sygnału wyjściowego y oraz sygnału sterującego u badanego układu;
- na uzyskanych przebiegach czasowych odpowiedzi badanego układu omówić skuteczność
poszczególnych rozwiązań;
- porównać jakość regulacji w oparciu o wartość wyznaczonego wskaźnika jakości dla
poszczególnych przypadków (pkt. 2 oraz 6 - 8);
- sformułować wnioski dotyczące wpływu zjawiska windup’u na pracę układu oraz
skuteczność poszczególnych rozwiązań zapobiegających temu zjawisku.