Schematy zastępcze linii
Schematy zastępcze linii
elektroenergetycznych
elektroenergetycznych
do obliczeń:
¾
Rozpływów prądów
¾
Spadków i strat napięcia
¾
Prądów zwarciowych
¾
Strat mocy i energii
2 / 29
Założenia
Założenia
1. Symetria obciążenia – każdy przewód prowadzi prąd o takiej
samej wartości skutecznej, a wektory prądów są przesunięte
względem siebie o 120
°.
2. Symetria elementu – wszystkie przewody fazowe są
jednakowo wykonane i usytuowane względem siebie i
względem ziemi.
Każda faza układu pracuje tak samo, schemat
zastępczy jest schematem jednofazowym
3 / 29
Napięć
=
=
=
1A
1A
2
1B
1A
1C
1A
U
U
U
a U
U
aU
=
=
=
1A
1A
2
1B
1A
1C
1A
I
I
I
a I
I
aI
U
C
U
A
U
AB
U
B C
U
C A
U
B
2
3
4
2
3
3
j
3
1
2
2
j
j
2
3
1
2
2
a e
j
a
e
e
j
π
π
− π
=
= − +
=
=
= − −
Układ symetryczny
Układ symetryczny
Prądów
4 / 29
Równania elementu 3
Równania elementu 3
-
-
fazowego
fazowego
Schemat układu
3-fazowego
(
)
(
)
(
)
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
A
AA
AB
AC
A
A
C
B
B
BA
BB
BC
B
A
B
C
C
CA
CB
CC
C
A
B
C
U
E
I Z
I Z
I Z
U
E
I Z
I Z
I Z
U
E
I Z
I Z
I Z
E
A
A
I
Z
AA
E
B
B
I
Z
BB
E
C
C
I
Z
CC
Z
AB
BC
Z
AC
Z
C
U
U
B
U
A
5 / 29
Równania elementu 3
Równania elementu 3
-
-
fazowego
fazowego
Δ =
U
Z I
W postaci macierzowej:
gdzie:
Impedancje własne
:
AA
BB
CC
s
Z
Z
Z
Z
=
=
=
Impedancje wzajemne:
AB
AC
BA
BC
CA
CB
m
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
=
=
=
=
=
=
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
Δ
=
−
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣ ⎦
A
A A
A B
A C
A
A
B
B A
B B
B C
B
B
C
C A
C B
C C
C
C
E
U
Z
Z
Z
I
E
U
;
Z
Z
Z
;
I
E
U
Z
Z
Z
I
U
Z
I
s
m
m
m
s
m
m
m
s
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Z
6 / 29
Równania elementu 3
Równania elementu 3
-
-
fazowego
fazowego
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
−
=
+
+
=
+
+
=
−
−
=
+
+
=
+
+
=
−
−
=
+
+
=
+
+
=
−
2
2
A
s
m
m
s
m
m
s
m
A
A
A
A
A
A
2
2
B
m
m
m
s
m
s
m
B
B
B
B
B
B
s
2
2
C
m
m
s
m
m
s
s
m
C
C
C
C
C
C
E
U
I Z
a I Z
aI Z
I
Z
a Z
aZ
I
Z
Z
E
U
aI Z
I Z
a I Z
I aZ
Z
a Z
I Z
Z
E
U
a I Z
aI Z
I Z
I a Z
aZ
Z
I Z
Z
Przy symetrycznych prądach:
Strata napięcia w danej fazie zależy tylko od prądu tej fazy -
równania są od siebie niezależne, a macierz impedancji Z jest
macierzą diagonalną
Idea obwodu zastępczego jednofazowego
7 / 29
Idea obwodu zastępczego
Idea obwodu zastępczego
Wszystko trzeba robić tak prosto, jak to tylko jest możliwe, ale ani trochę prościej.
Albert Einstein
8 / 29
Schemat zastępczy linii
Schemat zastępczy linii
W schemacie zastępczym linii elektroenergetycznej uwzględnia się
następujące parametry:
rezystancję R – związaną ze stratami mocy czynnej w
przewodach wiodących prąd
reaktancję indukcyjną X – wynikającą z istnienia pola
magnetycznego wokół przewodów
konduktancję G – odwzorowującą zjawisko upływności oraz ulotu
w liniach WN
susceptancję B – wynikająca z istnienia pola elektrycznego
pomiędzy przewodami i ziemią
9 / 29
W ogólnym przypadku linię przesyłową zastępuje się schematem o
parametrach rozłożonych:
( )
( )
( )
( )
f1
f2
2 f
f2
1
2
f
U
U ch l
I Z sh l
U
I I ch l
sh l
Z
=
γ +
γ
=
γ +
γ
Równania linii długiej:
Schemat zastępczy linii
Schemat zastępczy linii
10 / 29
(
)(
)
γ =
=
+
+
k
k
k
k
k
k
Z Y
R
j X
G
jB
(
)
(
)
+
=
=
+
k
k
k
f
k
k
k
R
j X
Z
Z
Y
G
jB
Współczynnik rozchodzenia się fali:
Impedancja falowa:
Wielkości występujące w równaniach linii długiej:
Parametry dla całej linii:
(
)
(
)
=
⋅ =
+
⋅
=
⋅ =
+
⋅
k
k
k
k
k
k
Z
Z
l
R
j X
l
Y
Y
l
G
jB
l
Równania linii długiej
Równania linii długiej
l – długość linii
Z
k
, Y
k
– parametry kilometryczne
11 / 29
(
)
(
)
(
)
(
)
f1
f2
2
1
2
f2
Z
U
U ch
Z Y
I
sh
Z Y
Y
Y
I I ch
Z Y
U
sh
Z Y
Z
=
+
=
+
Po przekształceniach:
( )
( )
2
4
6
3
5
7
a
a
a
ch a
1
2!
4!
6!
a
a
a
sh a
a
3!
5!
7!
= +
+
+
+
= +
+
+
+
K
K
Funkcje hiperboliczne można rozwinąć w szeregi:
Równania linii długiej
Równania linii długiej
12 / 29
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3
f1
f2
2
3
2 2
2
3
1
2
2
3
f2
Z Y
Z Y
Z Y
U
U
1
2
24
720
Z Y
Z Y
Z Y
I Z
1
6
120
5040
Z Y
Z Y
Z Y
I I 1
2
24
720
Z Y
Z Y
Z Y
U Y 1
6
120
5040
⎡
⎤
⎢
⎥
=
+
+
+
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
+
+
+
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
=
+
+
+
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
+
+
+
+
+
⎢
⎥
⎣
⎦
K
K
K
K
Po rozwinięciu w szeregi
równania linii długiej
przybierają postać:
Równania linii długiej
Równania linii długiej
13 / 29
( )
( )
( )
( )
f1
f2
2
f2
2
2
2
f2
2
1
2
f2
2
f2
2
2
2
f2
Z Y
Z Y
U
U
I Z U
I Z
2
6
Z Y
Z Y
U
I Z
24
120
Z Y
Z Y
I
I
U Y I
U Y
2
6
Z Y
Z Y
I
U Y
24
120
=
+
+
+
+
+
+
+
= +
+
+
+
+
+
+
K
K
Po uporządkowaniu:
Równania linii długiej
Równania linii długiej
W zależności od liczby
wyrazów uwzględnionych
w równaniach linii
otrzymuje się różne typy
schematów linii stosowane
w praktyce.
14 / 29
f1
f2
2 l
1
2
U
U
I R
I
I
=
+
=
Do linii I-go rodzaju zalicza się linie niskiego napięcia oraz kable
o napięciu znamionowym 6 kV o małych przekrojach.
Linia I rodzaju
Linia I rodzaju
15 / 29
f1
f2
2 l
1
2
U
U
I Z
I
I
=
+
=
Do linii II-go rodzaju zalicza się linie napowietrzne o napięciu
znamionowym do 30 kV oraz linie kablowe o napięciu
znamionowym do 15 kV włącznie.
Linia II rodzaju
Linia II rodzaju
Z
l
=R
l
+jX
l
16 / 29
l l
f1
f2
2
f2
l
l l
1
2
f2 l
2
Z Y
U
U
I Z U
2
Z Y
I I
U Y I
2
=
+
+
= +
+
W równaniach linii uwzględnia się trzy składniki:
Stosuje się dwa typy schematów zastępczych: typu
Π i T.
Do linii III-go rodzaju zalicza się linie napowietrzne o napięciu U
n
powyżej 30 kV i kablowe o napięciu U
n
powyżej 15 kV , o długości
nie przekraczającej 5% długości fali elektromagnetycznej.
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
17 / 29
Schemat
typu Π
Schemat
typu T
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
18 / 29
f
υ
λ =
Długość fali elektromagnetycznej wyraża się wzorem:
υ - prędkość rozchodzenia się fali
f – częstotliwość
Prędkość fali oblicza się w zależności od stałej kątowej linii
β
(
γ = α+jβ)
ω
υ=
β
ω- pulsacja
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
W linii bez strat R
l
= G
l
= 0 oraz:
α = 0
LC
β=ω
1
L C
υ=
19 / 29
Po podstawieniu przybliżonych wzorów na L i C :
a
L
ln
r
μ
≈
π
C
a
ln
r
πε
≈
0 0
r r
1
1
υ=
=
εμ
ε μ
ε μ
R – promień przewodu,
a – średnia odległość między przewodami
ε, μ - przenikalność elektryczna i magnetyczna środowiska,
w którym znajdują się przewody,
ε
0
,
μ
0
- przenikalność elektryczna i magnetyczna próżni,
ε
r
,
μ
r
- przenikalność elektryczna i magnetyczna względna
otrzymuje się:
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
20 / 29
Ponieważ prędkość światła:
0
0 0
1
c
≈
ε μ
0
r
r
c
υ≈
ε μ
więc:
W linii napowietrznej bez strat
ε
r
=
μ
r
= 1, a zatem
υ ≅ c
0
≅ 300 000 km/s. Dla częstotliwości f = 50 Hz daje to długość
fali:
300000
6000 km
f
50
υ
λ = =
=
Ostatecznie długość linii przesyłowej, która może być opisana
równaniem III-go rodzaju nie powinna przekraczać 300 km –
w przypadku linii napowietrznej i 150 km – w przypadku kablowej.
Linia III rodzaju
Linia III rodzaju
21 / 29
Linie IV rodzaju to linie WN i NN o długościach przekraczających
5% długości fali elektromagnetycznej. Do ich opisu stosuje się
schemat o parametrach rozłożonych i pełne równania linii długiej
(slajd 9), z uwagi na falowy charakter zachodzących w nich
zjawisk.
Linia IV rodzaju
Linia IV rodzaju
Długość linii przesyłowej, która powinna być opisana równaniami
linii długiej przekracza 300 km – w przypadku linii napowietrznej
i 150 km – w przypadku kablowej.
22 / 29
Obliczanie parametrów
Obliczanie parametrów
linii
linii
Rezystancja
γ-
konduktywność (przewodność właściwa) przewodu, w m/
Ωmm
2
s – przekrój przewodu, w mm
2
k
1000
R
[ / km]
s
=
Ω
γ
miedź twarda: drut
γ = 55 m/Ωmm2, linka γ = 53 m/Ωmm
2
,
miedź miękka
γ = 56 m/Ωmm
2
,
aluminium twarde
γ = 34 m/Ωmm
2
,
aluminium miękkie
γ = 35 m/Ωmm
2
,
stal (zależnie od wytrzymałości)
γ = 5÷8 m/Ωmm
2
.
23 / 29
4
4
4
śr
śr
śr
k
b
b
b
L
2ln
0,5 10
4,6lg
0,5 10
4,6lg
10
r
r
0,779r
−
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⋅
=
+
⋅
=
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Reaktancja indukcyjna
Obliczanie parametrów
Obliczanie parametrów
linii
linii
k
k
k
X
L
2 f L
[ / km]
=ω = π
Ω
4
śr
k
w
b
L
2ln
0,5
10
[H/ km]
r
−
⎛
⎞
=
+
μ
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
ω - pulsacja prądu, w rd/s (ω = 2πf),
L
k
– indukcyjność jednostkowa (kilometryczna) linii, w H/km
b
śr
– średni odstęp między przewodami, w cm,
r – promień przekroju przewodów, w cm,
μ - względna przenikalność magnetyczna materiału przewodowego.
Dla stosowanych praktycznie materiałów przewodowych (miedź, aluminium)
μ
w
= 1,
a wówczas:
24 / 29
Obliczanie parametrów
Obliczanie parametrów
linii
linii
3
śr
12 23 31
b
b b b
=
śr
b
b
=
Dla układu trójkąta równobocznego:
Dla układów niesymetrycznych:
Obliczanie średniego odstępu pomiędzy przewodami
Linia 2-torowa z symetrycznie względem
siebie rozmieszczonymi torami:
12 23 31 12' 23' 31'
3
śr
11' 22' 33'
b b b b b
b
b
b b
b
=
25 / 29
n 1
1
n
n
śr
r ' r c
−
= ⋅
Obliczanie parametrów
Obliczanie parametrów
linii
linii
4
4
śr
śr
k
b
b
1
1
L
2ln
10
4,6lg
10
r '
2n
r '
2n
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⋅
=
+
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Indukcyjność przewodów wiązkowych:
b
śr
– średni odstęp pomiędzy środkami geometrycznymi wiązek,
r – rzeczywisty promień przekroju przewodów,
n – liczba przewodów w wiązce,
c
śr
– średni geometryczny odstęp przewodu wiązki od pozostałych przewodów tej
samej wiązki
Dla linii WN można w przybliżeniu przyjąć:
dla linii napowietrznej X
k
= 0,4
Ω/km,
dla linii kablowej X
k
= 0,1
Ω/km
26 / 29
Konduktancja
Obliczanie parametrów
Obliczanie parametrów
linii
linii
śr
śr
fkr
p
a
p
a
b
b
U
21,1m m
r ln
48,9m m
r lg
[kV]
r
r
=
⋅
⋅δ⋅ ⋅
=
⋅
⋅δ⋅ ⋅
m
p
- współczynnik zależny od stanu powierzchni przewodu:
przewód jedno drutowy nowy m
p
= 1, stary m
p
= 0,93
÷0,98
linka m
p
= 0,83
÷0,87, przewód rurowy m
p
= 0,9
m
a
- współczynnik zależny od stanu pogody:
pogoda sucha, słoneczna m
a
= 1
pogoda deszczowa, mgła m
a
= 0,8
δ - współczynnik zależny od ciśnienia i temperatury powietrza:
w normalnych warunkach polskich przyjmuje się
δ = 1
r - promień przewodu, w cm
b
śr
- średnia odległość między przewodami, w cm
W praktyce uwzględniana, jeśli w linii występuje zjawisko ulotu, tj. gdy
napięcie robocze linii U
f
jest większe od napięcia krytycznego ulotu U
fkr
:
27 / 29
Obliczanie parametrów
Obliczanie parametrów
linii
linii
(
)
2
ul
f
f kr
śr
r
P
0,18
U U
[kW / km]
b
Δ
=
−
3
ul
k
2
f
P
G
10
[S / km]
U
−
Δ
=
⋅
Strata mocy spowodowana ulotem, na 1 km linii wyrażona jest wzorem:
Znając straty mocy spowodowane ulotem można obliczyć
konduktancję linii:
Zwiększanie napięcia krytycznego ulotu prowadzi do ograniczenia
tego zjawiska.
28 / 29
Susceptancja
C
k
– pojemność robocza linii
6
k
śr śr
2
2
śr
śr
0,02415
C
10
[F / km]
2h b
lg
r 4h
b
−
=
⋅
+
k
k
B
C
[S / km]
=ω⋅
6
k
śr
0,02415
C
10
[F / km]
b
lg
r
−
=
⋅
Jeśli h >> b
sr
h
sr
- średni odstęp przewodów od ziemi
Obliczanie parametrów
Obliczanie parametrów
linii
linii
29 / 29
a
2r
2R
Kabel 3-żyłowy z izolacją rdzeniową
(
)
(
)
6
w
k
3
2
2
2
2
6
6
0,0483
C
10
[F / km]
3a R
a
lg
r R
a
−
⋅ε
=
⋅
−
−
a – odstęp środka żyły od środka kabla
R – promień wewnętrzny płaszcza ołowianego
r – promień żyły
Obliczanie parametrów
Obliczanie parametrów
linii
linii
Kabel ekranowany lub trójpłaszczowy
6
w
k
0,02415
C
10
[F / km]
R
lg
r
−
ε
=
⋅