www.zadania-projekty.pl

  

Miary przeciętne - wzory

Średnia arytmetyczna:

N

x

x

N

i

i







1

_

 

N

n

x

x

k

i

i

i







1

_

 

N

n

x

x

k

i

i

i







1

^

_

 

100

1

^

_







k

i

i

i

w

x

x

 

Średnia  arytmetyczna  dla  wszystkich  grup  łącznie  (w  przypadku,  gdy  znane  są  średnie 

arytmetyczne dla poszczególnych grup): 

N

n

x

x

k

i

i

i









1

_

 

100

1

_









k

i

i

i

w

x

x

 

Suma  odchyleń  poszczególnych  wartości  zmiennej  od  średniej  arytmetycznej  jest  równa 

zeru: 

0

1

_





















N

i

i

x

x

 

0

1

_























i

k

i

i

n

x

x

 

0

1

_

^























i

k

i

i

n

x

x

 

Średnia harmoniczna: 







N

i

i

x

N

H

1

1

 







k

i

i

i

n

x

N

H

1

1

 







k

i

i

i

n

x

N

H

1

^

1

Dominanta: 



 



D

D

D

D

D

D

D

D

i

n

n

n

n

n

n

x

D

1

1

1



















 

Kwartyle:

dla szeregu wyliczającego: 

4

1

1





N

x

Q

 

2

1

2







N

x

Me

Q

 

4

)

1

(

3

3





N

x

Q

 

 

 

 

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: 

1

1

1

1

1

1

4

Q

Q

k

i

i

Q

i

n

n

N

x

Q













 

Me

Me

k

i

i

Me

i

n

n

N

x

Me

Q















1

1

2

2

 

3

3

3

1

1

3

4

3

Q

Q

k

i

i

Q

i

n

n

N

x

Q













Wzór Pearsona 

Związek  pomiędzy  średnią  arytmetyczną,  medianą  i  modalną  w  przypadku  rozkładu  co  najwyżej 

umiarkowanie asymetrycznego:  



















Me

x

D

x

_

_

3

 

www.zadania-projekty.pl

  

Miary zmienności (zróżnicowania) - wzory 

Odchylenie przeciętne: 

N

x

x

d

N

i

i









1

_

  

N

n

x

x

d

k

i

i

i











1

_

 

N

n

x

x

d

k

i

i

i











1

_

^

 

Wariancja: 

N

x

x

s

N

i

i





















1

2

_

2

 

N

n

x

x

s

k

i

i

i























1

2

_

2

 

N

n

x

x

s

k

i

i

i























1

2

_

^

2

 

Wariancja  wartości  zmiennej  jest  różnicą  pomiędzy  średnią  arytmetyczną  kwadratów 

wartości zmiennej a kwadratem średniej arytmetycznej tej zmiennej, czyli: 

2

_

1

2

2























x

N

n

x

s

k

i

i

i

 

Właściwość  ta  jest  matematycznym  przekształceniem  wzoru  definicyjnego  na  wariancję,  a  jej 

znajomość znacznie ułatwia obliczenia. 

Równość wariancyjna: 

Jeżeli  badaną  zbiorowość  podzielimy  według  określonego  kryterium  na  k  grup,  to  wariancja  dla 

całej  zbiorowości  (wariancja  ogólna)  będzie  sumą  dwóch  składników:  średniej  arytmetycznej  

z  wariancji  obliczonych  dla  populacji  cząstkowych  (wariancji  wewnątrzgrupowych)  oraz  wariancji 

średnich grupowych (wariancji międzygrupowej), co można zapisać w następujący sposób: 

N

n

x

x

N

n

s

x

s

s

s

k

i

i

i

k

i

i

i

i

i















































1

2

_

_

1

2

_

2

_

2

2

 

Odchylenie standardowe: 

2

s

s 

 

Odchylenie ćwiartkowe: 

2

1

3

Q

Q

Q





 

Współczynnik zmienności: 

%

100

_





x

s

V

s

  

%

100

_





x

d

V

d

 

%

100





Me

Q

V

Q

 

Typowy obszar zmienności:   

s

x

x

s

x

typ













 

Q

Me

x

Q

Me

typ









 

www.zadania-projekty.pl

  

Miary asymetrii i koncentracji - wzory 

Miary asymetrii 

Wskaźnik asymetrii (skośności): 

D

x

W

s





_

 

)

(

)

(

1

2

2

3

Q

Q

Q

Q

W

s









 

Trzeci moment centralny: 

N

x

x

N

i

i





















1

3

_

3



 

N

n

x

x

k

i

i

i























1

3

_

3



  

N

n

x

x

k

i

i

i























1

3

_

^

3



 

Współczynnik asymetrii: 

s

D

x

A

s





_

 

d

D

x

A

s





_

 

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

A

s

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3





















 

3

3

s

A

s





 

Miary koncentracji

Czwarty moment centralny: 

N

x

x

N

i

i





















1

4

_

4



 

N

n

x

x

k

i

i

i























1

4

_

4



 

N

n

x

x

k

i

i

i























1

4

_

^

4



 

Współczynnik skupienia (kurtoza): 

2

2

4

4

4











s

K

  

1

3

1

9

Q

Q

D

D

K







 

Decyle: 

dla szeregu wyliczającego: 

10

1

1





N

x

D

 

10

)

1

(

9

9





N

x

D

 

 

 

 

 

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: 

1

1

1

1

1

1

10

D

D

k

i

i

D

i

n

n

N

x

D













 

9

9

9

1

1

9

10

9

D

D

k

i

i

D

i

n

n

N

x

D













Eksces:

 

3

'

4

4





s

K



 

Współczynnik koncentracji Lorenza: 

5000

   

lub

   

5

,

0

a

K

a

K

L

L





 

a – pole zawarte między linią równomiernego rozdziału a krzywą koncentracji Lorenza