Szczecin, 27-06-2007
Egzamin z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
Zadanie I.
Poda_ definicjê maksimum funkcji dwóch zmiennych. Korzystajźc z definicji wyka-
2 pkt.
za_, 'e funkcja
z = −x
4
− y
2
Posiada w punkcie (0, 0) maksimum.
Zadanie II.
Poda_ definicjê pochodnej czźstkowej pierwszego rzêdu funkcji f wzglêdem y w
2 pkt.
punkcie (x
0
, y
0
). Korzystajźc z definicji obliczy_ pochodnź
∂f
∂y
(−1, 1), gdzie f (x, y) =
y
x
.
Zadanie III.
Poda_ definicjê jakobianu przeksztașcenia T :
x = φ(u, v)
y = ψ(u, v)
. Korzystajźc z
2 pkt.
definicji obliczy_ jakobian przeksztașcenia
T :
x = uv
y =
u
v
Zadanie IV.
Poda_ kryterium cașkowe zbie'noIJci szeregów. Korzystajźc z tego kryterium
2 pkt.
zbada_ zbie'noIJ_ szeregu liczbowego
∞
X
n=1
1
4 + n
2
Zadanie V.
Poda_ definicjê oryginașu oraz warunek wystarczajźcy istnienia transformaty
2 pkt.
Laplace’a funkcji f (t).
Zadania
Zadanie 1.
Obliczy_ dșugoIJ_ șuku krzywej
1 pkt.
y =
p
1 − x
2
+ arcsin x
Zadanie 2.
Wyznaczy_ ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
2 pkt.
z = x
2
+ xy + y
2
− 3 ln x − 3 ln y
Zadanie 3.
Obliczy_ cașkê podwójnź
3 pkt.
ZZ
D
p
x
2
+ y
2
dxdy,
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi x
2
+ y
2
= 2y, x
2
+ y
2
= 4y.
Zadanie 4.
Rozwiźza_ równania ró'niczkowe
6 pkt.
a. y
0
cos x − y sin x = y
4
sin x
b. (1 + 3x
2
sin y)dx − xctgydy = 0
c. y
000
+ y
00
= sin 2x
Zadanie 5.
Znale§_ przedziaș zbie'noIJci szeregu potêgowego oraz wyznaczy_ jego sumê we-
3 pkt.
wnźtrz tego przedziașu.
∞
X
n=0
(n + 1)x
n+2
2
n
Zadanie 6.
Rozwinź_ w szereg Fouriera wzglêdem cosinusów funkcjê
2 pkt.
f (x) = 2 −
x
π
,
0 < x < π
Zadanie 7.
Korzystajźc z transformacji Laplace’a rozwiźza_ równanie ró'niczkowe z warunkami
3 pkt.
poczźtkowymi
y
000
+ y
0
= e
2t
y(0) = y
0
(0) = y
00
(0) = 0
I. L[1] =
1
s
II. L[t
n
] =
n!
s
n+1
III. L[e
at
] =
1
s−a
IV. L[sin at] =
1
s
2
+a
2
V. L[cos at] =
s
s
2
+a
2
1. L[αf (t) + βf (t)] = αF (s) + βG(s)
2. L[f (αt)] =
1
α
F
s
α
3. L[1(t − t
0
)f (t − t
0
)] = e
−t
0
s
F (s)
4. L[e
s
0
t
f (t)] = F (s − s
0
)
5. L[f
(n)
(t)] = s
n
F (s)−s
n−1
f (0+)−s
n−2
f
0
(0+)−
. . . − sf
(n−2)
(0+) − f
(n−1)
(0+)
6. L[t
n
f (t)] = (−1)
n
F
(n)
(s)
7. L
h
R
t
0
f (τ )dτ
i
=
F (s)
s
8. L
h
f (t)
t
i
=
R
∞
s
F (p)dp