Algebra liniowa IS
Egzamin 10.02.2010, drugi termin
1. Podać definicję grupy i ciała
Niech S := {(t, 2
t
) : t ∈ R}, S zawiera więc pary liczb rzeczywistych.
Działanie ∗ między elementami S (x
1
, y
1
) i (x
2
, y
2
) zdefiniowane jest przez
(x
1
, y
1
)∗(x
2
, y
2
) = (x
1
+x
2
, y
1
y
2
). Pokzazać, że (S, ∗) jest grupę przemien-
ną.
2. Podać postać trygonometryczną liczby zespolonej i reguły mnożenia, dzie-
lenia i potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Omó-
wić znajdowanie pierwiastków liczb zespolonych.
(a) Przedstawić w postaci trygonometrycznej i algebraicznej wyrażenie
(
√
3 − i)
10
(1 − i)
6
(b) Znaleźć pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z liczby i. Wynik po-
dać w postaci algebraicznej.
3. Podać definicję przestrzeni liniowej nad ciałem liczbowym. Czy zbiór wek-
torów postaci (v + t, t − u, 2v + t + u), gdzie v, t, i u są liczbami rze-
czywistymi tworzy podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R
3
. Jaki jest jej
wymiar? Podać przekład wektorów bazowych dla tej podprzestrzeni. Za-
pisać tą podprzestrzeń w postaci V = (x, y, z) ∈ ax + by + cz + d = 0 z
odpowiednio dobranymi a, b, c i d.
4. W bazie {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)} wektro ma wspórzędne (1, 2, 3). Sprawdź,
czy zbiór wektorów {(0, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 1, −1)} jest bazą i, jeżeli tak, zna-
leźć współrzedne podanego wektora w nowej bazie.
5. Podać definicję przekształcenia liniowego A : V → V
0
, jądra przekształce-
nia liniowego i obrazu przekształcenia liniowego. Pokazać, że jądro prze-
kształcenia liniowego jest podprzestrzenią V , a obraz podprzestrzenią w
V
0
.
6. Niech f : (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ R
4
→ (x
1
+ x
3
, x
2
+ x
4
) ∈ R
2
. Wyznaczyć
macierz odwzorowania w bazie kanonicznej. Wyznaczyć jądro i obraz od-
wzorowania (podać wymiary i bazy Ker f , i Im f . Znaleźć rząd odwzo-
rowania. Jaka relacja wiąże rząd odwzorowania f z dim Ker f ?
7. Znajdź macierz przekształcenia f : R
4
→ R
2
danego przez f (x, y, z, t) =
(x+3y−2z, z−y+x−t) w bazach odpowiednio {(2, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 3), (0, 1, 1, 0), (1, −1, 2, 3)}
i {(1, 1), (1, 0)}.
8. Co to jest rząd macierzy? Znaleźć rząd macierzy.
2
1
4
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
3
1
