Prawo indukcji Faradaya
Jaki jest efekt działania pola magnetycznego na obracającą się ramkę
(przewód w kształcie pętli) ?
Na ładunek q działa siła Lorentza = q
x
. Iloczyn wektorowy x
ma wartość skalarną v B sin
α
(vsin
α
= v
⊥
), tzn. tylko składowa prędkości
⊥
prostopadła do
daje wkład do iloczynu x
, bo
x
= 0).
→
F
→
v
→
B
→
v
→
B
→
v
→
B
→
v
→
B
→
v
→
B
Czyli : F = q v B sin
α
v =
ω
r
W ruchu obrotowym: v =
ω
oraz
α
=
ω
t
F = q
ω
B sin
ω
t
2
2
2
l
2
l
W górnym ramieniu ramki na ładunek q
’
działa analogiczna siła Lorentza
,
również skierowana wzdłuż ramienia ramki, wywołująca przepływ ładunku w
pętli w tym samym kierunku co siła . Natomiast w ramionach poprzecznych
działające siły Lorentza (np.
’’
) są prostopadłe do ramion ramki.
Praca wykonana przez siłę Lorentza przy przesunięciu ładunku wzdłuż
ramienia dolnego (o długości l
1
):
∆ W = F l
1
= q l
1
B
ω
sin
ω
t
taka sama praca dla ramienia górnego, a ponieważ praca sił Lorentza wzdłuż
ramion poprzecznych jest równa 0, (bo siły są prostopadłe do przesunięcia),
to całkowita praca sił Lorentza przy przesunięciu ładunku dookoła ramki (z
punktu 1 do 2) wynosi
W = 2
∆W = q l
1
l
2
B
ω
sin
ω
t
→
F
→
F
→
F
2
2
l
Taką energię uzyska ładunek q przechodząc przez ramkę obracającą się
w stałym polu magnetycznym. Ramka jest więc źródłem siły
elektromotorycznej SEM zdefiniowanej jako praca na jednostkę przy
przejściu ładunku przez źródło SEM:
ε
= = l
1
l
2
B
ω
sin
ω
t
l
1
l
2
= A (pole powierzchni ramki)
(SEM)
ε
= B A
ω
sin
ω
t
W
q
Jak zmienia się strumień magnetyczny przechodzący przez ramkę przy
obrotach ?
φ
B
= d = B
⋅
A
⋅
cos
α
=
pow.
= B
⋅
A
⋅
cos
ω
t
Szybkość zmian strumienia magnetycznego przy obrotach ramki dana jest
przez pochodną strumienia po czasie :
= - B
⋅
A
⋅
ω
⋅sin
ω
t
Porównując z wyrażeniem na SEM :
Siła
elektromotoryczna
ε
= -
Prawo Faradaya
indukcji
→
∫ B
→
A
d
dt
B
φ
d
dt
B
φ
Można wykazać, że prawo Faradaya jest słuszne dla trzech różnych,
ogólnych sytuacji :
1) Pętla przewodnika porusza się w polu magnetycznym tak, że zmienia
się strumień magnetyczny przez nią obejmowany (np. ramka opisana
powyżej).
2) Źródło pola magnetycznego (np. magnes lub solenoid) porusza się
względem nieruchomej pętli przewodnika.
3) Pętla przewodnika jest nieruchoma, lecz zmienia się pole magnetyczne
(a więc i strumień pola obejmowanego przez pętlę) wskutek, np. zmian
natężenia prądu w solenoidzie będącym źródłem pola magnetycznego.
W 1-szym przypadku powstanie SEM wynika z działania siły Lorentza, jak to
wykazano powyżej dla obracającej się ramki:
ε
= d
W 2-gim i 3-cim przypadku przy nieruchomej pętli i zmianie strumienia
magnetycznego wynikającej ze zmiany pola magnetycznego, w pętli
wytworzy się pole elektryczne w wyniku transformacji relatywistycznej i
= -
x
(pole elektryczne wytwarzane przez źródło pola magnetycznego
poruszające się z prędkością )
Siła
elektromotoryczna
ε
=
d
całka krzywoliniowa
czyli :
d = -
Prawo Fradaya
wersja dla nieruchomej pętli
1
q
F
→
∫
→
s
→
B
→
E
→
E
→
v
→
B
→
v
→
∫ E
→
s
→
∫ E
→
s
d
dt
B
φ
Oczywiście zmienne pole magnetyczne (przypadek 2 lub 3) wytworzy pole
elektryczne dane powyższym równaniem niezależnie od obecności pętli
przewodnika; równanie to stosuje się do dowolnego pomyślanego konturu
zamkniętego K w przestrzeni :
d
= -
d ) ; d
= -
d
gdzie S jest dowolną powierzchnią ograniczoną konturem K;
d oznacza całkę krzywoliniową po konturze zamkniętym K,
a d oznacza całkę powierzchniową po powierzchni S.
Zwrot wektora powierzchni d
wyznaczamy względem kierunku
całkowania d z reguły prawej dłoni.
→
∫ E
K
→
s
d
dt
B
S
(
→
∫
→
A
→
∫ E
K
→
s
∂
∂
→
∫
B
t
S
→
A
K
∫
→
s
s
∫
→
A
→
A
→
s
Reguła Lenza
Jakie są konsekwencje występowania znaku minus we wzorze
d
= -
d
?
Jeśli natężenie pola magnetycznego rośnie w kierunku d (iloczyn
⋅ d jest dodatni ), to wywoła on pole elektryczne (i przepływ prądu)
w kierunku przeciwnym do d . Indukowany prąd wytworzy własne pole
magnetyczne, przeciwdziałające początkowej zmianie strumienia, która
wywołała indukcję.
To stwierdzenie jest nazywane regułą Lenza.
Reguła Lenza wyjaśnia m.in. zjawisko „lewitacji” kawałka nadprzewodnika
umieszczonego nad magnesem. Gdy siła ciężkości przesunie
nadprzewodnik nieco w dół, zmieni się strumień magnetyczny - ta zmiana
będzie indukowała w nadprzewodniku prądy wirowe takie, że
oddziaływanie tych prądów z polem magnetycznym (
= I d
x
)
powstrzyma dalszy spadek nadprzewodnika.
→
∫ E
K
→
s
∂
∂
→
∫
B
t
S
→
A
→
A
∂
∂
→
B
t
→
A
→
E
→
s
→
F
→
l
→
B
SEM samoindukcji
Prawo Faradaya i wynikająca z niego reguła Lenza stosują się również do
pojedynczego solenoidu (czy pojedynczej pętli) przez który przepuszcza się
prąd o zmiennym natężeniu. Wywołane tym zmienne pole magnetyczne
sprawia, że strumień przechodzący przez tenże solenoid (czy pętlę) zmienia
się, indukując SEM.
Jest to
siła elektromotoryczna samoindukcji
Dla pętli, lub 1 zwoju w solenoidzie :
ε
= -
dla N zwojów w solenoidzie:
ε
= - N
(*)
jest szybkością zmian strumienia w jednym zwoju; N
⋅φ
jest całkowitym
strumieniem w N zwojach.
d
dt
φ
d
dt
φ
d
dt
φ
Strumień magnetyczny jest wywołany prądem płynącym w solenoidzie, jego
wartość jest proporcjonalna do natężenia prądu I :
N
φ
= L I (**)
Współczynnik propocjonalności nazywamy
indukcyjnością
(współczynnikiem samoindukcji):
L
≡
Różniczka (po czasie) równania (**) : N
Z porównania z (*) :
ε
= -L
SEM samoindukcji
Jednostką indukcyjności L jest henr : 1 H = V
Obwód ma indukcyjność 1 H jeśli zmiana natężenia prądu o 1A w czasie 1 s
indukuje siłę elektromotoryczną
ε
= 1V
N
I
φ
d
dt
L dI
dt
φ
=
dI
dt
s
A
Przykład :
indukcyjność długiego solenoidu o N zwojach, polu przekroju A
i długości l : L =
dla solenoidu :
B =
więc
φ
= B A =
A
L =
φ
=
A =
2
I
2
I
2
I
N
I
φ
4
πk
c
N
l
N
I
4
πk
c
N
l
4
πk
c
N
l
4
2
2
πk
c
N A
l
N
I
Oscylator harmoniczny - obwód LC (bez rezystancji)
W chwili t = 0 (obwód otwarty) naładowano kondensator ładunkiem Q
o
.
Napięcie na kondensatorze wynosiło V
o
=
Po zamknięciu obwodu przepływa ładunek z okładki na okładkę poprzez
solenoid (cewkę indukcyjną) wywołując prąd o natężeniu I(t). Prąd o
zmiennym natężeniu jest przyczyną samoindunkcji; powstaje siła
elektromotoryczna samoindukcji
ε
= - L
tzn. pomiędzy punktami 1 i 2
powstaje różnica potencjałów (napięcie) : V
1,2
= - L
W tym samym momencie na okładkach kondensatora jest ładunek q(t),
więc napięcie między punktami 1 i 2 wynosi:
V
1,2
=
czyli :
= - L
o
Q
C
dI
dt
dI
dt
q t
C
( )
q t
C
( )
dI
dt
Ponieważ I =
, więc
=
⇒
= - L
czyli : = -
(*)
Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego o ogólnej postaci :
= -
ω
2
x ,
którego rozwiązaniem jest x = A cos
ω
t gdzie A jest amplitudą
(maksymalną wartością x), a
ω
=
częstością
A zatem rozwiązaniem równania (*) jest :
ładunek na okładkach kondensatora
q(t) = Q
o
cos
ω
t
i częstotliwość oscylatora LC
ω
2
=
⇒ ω =
; f =
dq
dt
dI
dt
2
2
d q
d t
q
C
2
2
d q
d t
2
2
d q
d t
1
LC
q
2
2
d x
d t
2
π
T
1
LC
1
LC
1
2
1
2
T
LC
=
=
ω
π
π
Napięcie na okładkach kondensatora w dowolnej chwili t:
V(t) =
= V
o
cos
ω
t
tzn. oscyluje ono z tą samą częstotliwością f =
Natężenie prądu płynącego w obwodzie w dowolnej chwili t:
I(t) =
= - Q
o
ω
sin
ω
t
Prąd zmienny „przepływa” przez kondensator. Natężenie prądu oscyluje
także z częstotliwością f =
, ale jest przesunięte w stosunku do
napięcia o fazę
π/2
q t
C
Q
C
t
o
( )
cos
=
ω
1
2
π LC
dq t
dt
( )
1
2
π LC
Ile wynosi całkowita energia zgromadzona w obwodzie LC?
W chwili t = 0 cały ładunek jest zgromadzony na kondensatorze
q(t=0) = Q
o
; I (t=0) = 0.
Energia zmagazynowana w kondensatorze
=
Gdy ładunek odpływa z okładek kondensatora, maleje energia
zmagazynowana w kondensatorze.
W dowolnej chwili energia zmagazynowana w kondensatorze wynosi:
U
c
(t) =
cos
2
ωt =
cos
2
ωt
tzn. cyklicznie zanika od wartości maksymalnej do zera, ponownie
wzrasta do wartości ,
itd.
o
c
U
1
2
Q
C
1
2
CV
o
2
o
2
=
1
2
1
2
2
2
CV
CV
t
o
( )
=
o
c
U
o
c
U
o
c
U
Co się dzieje z energią w momencie gdy U
c
(t) = 0 ?
Gdy U
c
(t) = 0 to również V(t) = 0, natomiast I(t) ma wówczas wartość
maksymalną (I(t) jest przesunięte w fazie w stosunku do V(t) o
π/2).
Efekt samoindukcji „podtrzymuje przepływ prądu przez solenoid (co
doprowadzi do ponownego naładowania kondensatora do ładunku Q
o
, ale
o odwróconych znakach na okładkach). Tzn., że energia była
zmagazynowana w polu magnetycznym cewki indukcyjnej.
W wyniku samoindukcji powstaje różnica potencjałów : V
1,2
=L
więc
ładunek dq przepływając przez cewkę zyskuje energię dU = V
1,2
dq, którą
przekazuje polu magnetycznemu cewki. Czyli zmiana energii pola
magnetycznego wynosi:
dU
L
= (L
)dq = L
L dI
=LIdI
dI
dt
dI
dt
dIdq
dt
=
dq
dt
Energia zmagazynowana w cewce od momentu I(t) = 0 do I
o
:
W dowolnej chwili energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki
wynosi :
U
L
(t) = LI
2
(t) =
tzn. U
L
(t) zmienia cyklicznie wartość, podobnie jak U
c
(t), ale jest
przesunięte w fazie.
o
L
o
o
I
U
LIdI
L I
o
=
=
∫
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
LQ
t
o
ω
ω
sin
Całkowita energia obwodu LC w dowolnej chwili
:
U(t) = U
c
(t) + U
L
(t) =
cos
2
ω
t + L
sin
2
ω
t =
=
cos
2
ω
t +
sin
2
ω
t =
=
Całkowita energia drgającego obwodu LC jest zachowana (stała).
Gdy ładunek na okładkach kondensatora osiąga maksymalną wartość
(Q
o
), cała energia zmagazynowana jest w polu elektrycznym
kondensatora; gdy przez cewkę indukcyjną przepływa prąd o
maksymalnym natężeniu (I
o
), cała energia zmagazynowana jest w polu
magnetycznym cewki.
1
2
2
CV
o
1
2
o
Q
2
2
ω
2
o
o
o
2
2
2
o
2
o
2
1
LC
;Q CV
LQ
LC V
LC
CV
ω
ω
=
=
⇒
=
=
1
2
2
CV
o
1
2
2
CV
o
1
2
2
CV
o
o
c
U
Analogia do ruchu harmonicznego prostego.
Sprężyna z ciałem o masie m
Oscylator
Energia potencjalna sprężyny:
U
=
1
2
kx
2
Energia kondensatora
U
2
=
1
2
1
C
q
2
Energia kinetyczna drgającej masy m:
K
=
1
2
mV
2
Energia cewki indukcyjnej:
U
L
=
1
2
LI
2
Prędkość :
V
=
dx
dt
Natężenie prądu :
I
=
dq
dt
Wychylenie :
x
Ładunek :
q
Stała sprężystości :
k
Odwrotność pojemności :
1
C
Masa :
m
Indukcyjność :
L
Częstość :
ω
=
k
m
Częstość :
ω
=
1
LC
Dla oscylatorów elektromagnetycznych mogą również wystąpić drgania
gasnące (gdy w obwodzie będzie rezystor) i wymuszone (gdy w
obwodzie pojawi się SEM cyklicznie zmienna - dla zgodnych częstości
wystąpi rezonans).
Mimo formalnej analogii do oscylatora mechanicznego, zjawiska
zachodzące w oscylatorze elektromagnetycznym mają zupełnie inną
naturę związaną z powstającymi polami elektrycznymi i magnetycznymi,
przekazującymi sobie cyklicznie energię.
Obliczmy energię pola elektromagnetycznego na przykładzie obwodu LC:
Kondensator :
E = 4
πkσ = 4πk
⇒ Q = oraz C =
gęstość energii pola elektrycznego
Solenoid:
B =
⇒ I =
; oraz L =
=
objętość solenoidu V = A l
gęstość energii pola magnetycznego
Powyższe wyrażenia są ogólnie prawdziwe.
o
c
o
U
Q
C
=
1
2
2
Q
A
EA
k
4
π
A
kd
4
π
o
c
U
EA
k
A
kd
E
k
Ad
E
k
V
=
=
=
1
2
4
4
8
8
2
2
2
(
)
π
π
π
π
U
V
E
8 k
2
=
π
o
L
o
U
L I
=
1
2
2
4
2
πk
c
NI
l
B
kN
c l
4
2
π
4
2
2
πk
c
N A
l
o
L
2
2
2
2
U
1
2
4 k
c
N A
l
B
4 kN
c l
=
π
π
2
2
8
c B
k
V
π
U
V
c B
8 k
2
2
=
π
Ponieważ E i B są w ogólności składowymi tego samego pola
elektromagnetycznego, więc całkowita gęstość energii (ilość energii na
jednostkę objętości) pola elektromagnetycznego jest sumą :
gęstość energii pola
elektromagnetycznego
U
V
1
8 k
( E c B )
2
2
2
=
+
π
Ogólna postać równań Maxwella
Czy 2-gie równanie Maxwella dla prądu stałego,
d =0, jest ogólnie
prawdziwe ?
Nie, bo w obecności zmiennego pola magnetycznego zgodnie z
prawem Faradaya:
d
= -
d
całka krzywoliniowa całka powierzchniowa
Podobnie, w obecności zmiennego pola elektrycznego należy uzupełnić
4-te równanie Maxwella (czyli prawo Ampere
’
a :
d
=
I
wew.
)
całka krzywoliniowa
Zastosujmy prawo Ampere
’
a do konturu K w
kształcie okręgu, przez którego płaszczyznę
przechodzi przewodnik obwodu LC.
Jak wykazaliśmy dla obwodu LC, może w
nim płynąć oscylujący prąd I
∼ sin
ω
t.
Zgodnie z prawem Ampere
’
a :
d =
I = I
wew
d
→
∫ E
→
s
→
∫ E
→
s
∂
∂
→
∫
B
t
s
→
A
→
∫ E
→
s
4
2
πk
c
→
∫B
→
s
4
2
πk
c
4
2
πk
c
→
∫ j
→
A
Ale na tym samym konturze K można rozpiąć powierzchnię półkuli,
przechodzącą między okładkami kondensatora.
Przez tę powierzchnię półkuli nie przepływa prąd! Natomiast przez
powierzchnię tą przechodzi strumień zmiennego pola elektrycznego,
powstającego pomiędzy okładkami kondensatora. Maxwell wykazał, że
powyższa sprzeczność znika, jeśli prawo Ampere
’
a zostanie uzupełnione
o wyraz związany ze zmiennym polem elektrycznym :
d
całka powierzchniowa
zwany
prądem przesunięcia
.
1
2
c
E
t
∂
∂
→
∫
→
A
Wówczas : d
=
d
+
d
(całka krzywol.) (całka pow.) (całka pow.)
Istotnie, stosując to równanie do powierzchni półkuli i biorąc pod uwagę,
że pomiędzy okładkami kondensatora pole jest dane przez :
E = 4
πk
więc:
a gęstość prądu = 0,
dostajemy:
d =
d +
d =
= 0 + (4
πkI)
czyli:
d =
I
co jest zgodne z wynikiem uzyskanym z prawa Ampere
’
a.
→
∫ B
k
→
s
4
2
πk
c
→
∫ j
A
→
A
1
2
c
E
t
A
∂
∂
→
∫
→
A
Q
A
∂
∂
π ∂
∂
π
E
t
k
A
Q
t
k
A
I
=
=
4
4
;
→
j
→
∫ B
k
→
s
4
2
πk
c
→
∫ j
A
→
A
1 4
2
c
k
A
I
A
π
∫
→
A
1
2
c
→
∫ B
k
→
s
4
2
πk
c
Równania Maxwella
1)
Prawo Gaussa
: d
= 4
πkQ
wew.
całka powierz.
________________________________________________
2)
Prawo Faradaya
: d = -
d
całka krzywol.
całka powierzchniowa
_______________________________________________
3)
Ciągłość linii pola
magnetycznego
(nie d
= 0
istnieją ładunki ma-
całka powierzchniowa
gnetyczne):
________________________________________________
4)
Prawo Ampere
’
a
(uzupełnione):
d =
d +
d
całka krzywol. całka pow. całka pow.
→
∫ E
→
A
→
∫ E
→
s
∂
∂
→
∫
B
t
→
A
→
∫ B
→
A
→
∫ B
→
s
4
2
πk
c
j
→
∫
→
A
1
2
c
E
t
∂
∂
→
∫
→
A
Równania Maxwella pozwalają wyznaczyć
i
jako funkcje położenia i
czasu, jeśli znane są położenia i prędkości ładunków, oraz wartości i w
chwili t = 0.
Wynika z nich w szczególności, że ładunki poruszające się ruchem
przyspieszonym (np. w oscylatorze LC) wytwarzają
pole
elektromagnetyczne promieniowania, rozchodzące się w formie fali z
prędkością c = 3 10
8
m/s (i o częstości równej częstości oscylatora LC) w
której
⊥
i E = cB.
Można również wyznaczyć siłę, z jaką pole elektromagnetyczne będzie
oddziaływało na cząstkę o ładunku q:
= q
+ q x
tzn. możliwe jest opisanie wzajemnego oddziaływania poruszających się
naładowanych cząstek.
→
E
→
B
→
E
→
B
→
E
→
B
→
F
→
E
→
V
→
B
Jeśli zmienny prąd wytworzył zmienne pole magnetyczne
to zgodnie z 2-gim równaniem Maxwella powstanie pole
elektryczne (mimo braku ładunku).
Wytworzone pole elektryczne będzie także zmienne
, więc zgodnie
z 4-tym równaniem Maxwella powstanie pole magnetyczne ....itd. Nawet
jeśli pierwotne źródło pola magnetycznego zostanie wyłączone, to pola
elektryczne i magnetyczne będą istniały nadal, rozchodząc się w postaci fal
z prędkością c.
∂
∂
B
t
≠
0
∂
∂
E
t
≠
0
Ładunki, oscylujące w obwodzie LC z pewną częstotliwością, wysyłają
fale elektromagnetyczną
o tej samej częstotliwości, która może
pobudzić do oscylacji z taką samą częstotliwością ładunki w innym,
oddalonym obwodzie LC - Maxwell przewidział łączność radiową!