Strona 1 z 9
METODA TRZECH MOMENTÓW
Metoda trzech momentów słu
Ŝ
y do rozwi
ą
zywania belek ci
ą
głych statycznie niewy-
znaczalnych.
Za belk
ę
ci
ą
gł
ą
statycznie niewyznaczaln
ą
uwa
Ŝ
amy belk
ę
, która spełnia nast
ę
puj
ą
-
ce warunki:
1) nie ma przegubów po
ś
rednich,
2) jest podparta na wi
ę
cej ni
Ŝ
dwóch po
ś
rednich podporach przegubowych,
3) jest dowolnie podparta na ko
ń
cach,
4) tylko jedna podpora jest nieprzesuwna, a pozostałe podpory s
ą
przesuwne,
5) obci
ąŜ
enie tych belek wraz z reakcjami podpór stanowi
ą
płaski układ sił
równoległych (obci
ąŜ
enie prostopadłe do osi belki).
Stopie
ń
statycznej niewyznaczalno
ś
ci takiej belki ci
ą
głej, zgodnie z powy
Ŝ
szymi za-
ło
Ŝ
eniami, mo
Ŝ
emy obliczy
ć
ze wzoru:
SSN=r-2
, (1)
gdzie:
r
- to liczba podpór belki ci
ą
głej.
Odrzucenie
r-2
podpór (wi
ę
zów - czyli 2 podpór przegubowo przesuwnych), przy
powy
Ŝ
szych zało
Ŝ
eniach, daje układ statycznie wyznaczalny.
Przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e działa tylko obci
ąŜ
enie prostopadłe do osi belki nie wyst
ę
puje reakcja pozioma (jest
tylko jedna podpora nieprzesuwna ale reakcja pozioma jest równa zeru, zało
Ŝ
enie 5), we wzorze wy-
starczy od liczby podpór odj
ąć
2
, aby uzyska
ć
liczb
ę
wyra
Ŝ
aj
ą
c
ą
SSN. Podobnie b
ę
dzie, gdy na układ
b
ę
d
ą
działały obci
ąŜ
enia pod k
ą
tem < 90
0
, poniewa
Ŝ
zgodnie z zało
Ŝ
eniem,
Ŝ
e w belce ci
ą
głej jest
tylko jedna podpora nieprzesuwna, to wła
ś
nie ona przejmie całe obci
ąŜ
enie zrzutowane na o
ś
belki.
Układ podstawowy metody trzech momentów przyjmujemy w postaci szeregu belek
wolnopodpartych, poł
ą
czonych nad podporami przegubami, obci
ąŜ
onych danymi si-
łami zewn
ę
trznymi oraz momentami podporowymi
X
i
.
Momenty podporowe
X
i
re-
kompensuj
ą
, zlikwidowan
ą
przez wprowadzone nad podporami przeguby, ci
ą
gło
ść
belki.
Aby sprowadzi
ć
belk
ę
ci
ą
gł
ą
o dowolnej liczbie prz
ę
seł (rys. 1) do układu podstawo-
wego nale
Ŝ
y wprowadzi
ć
przeguby w przekrojach podporowych (rys. 2).
Rys. 1: Belka ci
ą
gła statycznie niewyznaczalna o dowolnej liczbie prz
ę
seł
Wielko
ś
ciami nadliczbowymi b
ę
d
ą
momenty podporowe
X
k
nad podporami po
ś
red-
nimi, a tak
Ŝ
e moment utwierdzenia, o ile w belce ci
ą
głej statycznie niewyznaczalnej
podpor
ą
nieprzesuwn
ą
b
ę
dzie utwierdzenie ko
ń
ca belki. Zwroty momentów
X
k
(nadliczbowych) przyjmujemy najcz
ęś
ciej tak, aby wyginały belki ku dołowi (rozci
ą
ga-
ły dolne włókna - momenty dodatnie). Schemat podstawowy takiej belki przedstawia
rys. 2.
Strona 2 z 9
−
k
l
długo
ść
rzeczywista pr
ę
ta „
k
”,
−
'
k
l
długo
ść
sprowadzona pr
ę
ta „
k
”,
−
o
EJ
sztywno
ść
porównawcza,
−
k
EJ
sztywno
ść
rzeczywista prz
ę
sła „
k
”,
k
k
o
k
l
EJ
EJ
l
=
'
(1)
Rys. 2: Schemat podstawowy belki (metoda trzech momentów)
Przy zało
Ŝ
eniach takich,
Ŝ
e:
1. rozpatrujemy belki ci
ą
głe,
2. obci
ąŜ
enie belek wraz z reakcjami podporowymi tworzy płaski układ sił równo-
ległych,
3. nadliczbowe
X
k
stanowi
ą
momenty podporowe podpór po
ś
rednich i momenty
utwierdzenie podpór sztywnych,
otrzymujemy ogóln
ą
posta
ć
równania ci
ą
gło
ś
ci
k-tej
podpory (zgodno
ś
ci przemiesz-
cze
ń
k-tej
podpory), na któr
ą
działa nadliczbowa
X
k
(wzór 2):
ko
o
k
k
k
k
k
k
k
EJ
X
l
X
l
l
X
l
δδδδ
6
)
(
2
1
'
1
'
1
'
1
'
−
=
+
+
+
+
+
+
−
(2)
Równanie (2) nazywamy równaniem trzech momentów.
Takich równa
ń
układamy tyle ile wynosi stopie
ń
statycznej niewyznaczalno
ś
ci belki.
Równania układamy kolejno dla w
ę
złów, w których wprowadzili
ś
my nadliczbowe
X
k
.
W ka
Ŝ
dym równaniu wyst
ę
puj
ą
tylko trzy niewiadome momenty podporowe
X
k
.
Współczynnik
ko
δδδδ
w równaniu (2) zawiera w sobie wpływ wszystkich czynników ze-
wn
ę
trznych, czyli obci
ąŜ
enie „
p
”, wpływ temperatury „
t
”, wpływ osiadania podpór „
∆
”
(wzór 3):
∆
+
+
=
k
kt
kp
ko
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
, (3)
gdzie:
kp
δδδδ
-
wpływ obci
ąŜ
enia zewn
ę
trznego (obliczamy z wykorzystaniem równania pracy wirtualnej
dla ciał odkształcalnych lub metod
ą
Mohra)
przemieszczenie sprowadzone
Strona
3 z 9
kt
δδδδ
- wpływ temperatury; obliczamy wg wzoru (4):
∆
+
∆
=
+
+
+
1
1
1
2
k
k
k
k
k
k
t
kt
t
h
l
t
h
l
αααα
δδδδ
, (4)
∆
k
δδδδ
- wpływ osiadania podpór; obliczamy wg wzoru (5):
1
1
1
1
1
1
+
+
+
−
∆
∆
+
∆
+
−
∆
=
k
k
k
k
k
k
k
k
l
l
l
l
δδδδ
. (5)
Wprowadzone oznaczenia we wzorach (4,5):
t
αααα
- współczynnik rozszerzalno
ś
ci termicznej,
k
h
,
1
+
k
h
- wysoko
ś
ci przekroju poprzecznego odpowiednio prz
ę
sła „
k
” i „
k+1
”,
k
l
,
1
+
k
l
- długo
ś
ci prz
ę
seł (odpowiednio prz
ę
sła „
k
” i „
k+1
”),
k
t
,
1
+
k
t
- ró
Ŝ
nica temperatur dolnych i górnych w włókien w prz
ę
słach belki (odpowiednio w prz
ę
-
ś
le „
k
” i „
k+1
”),
g
d
t
t
t
−
=
∆
,
d
t
- temperatura włókien dolnych,
g
t
- temperatura włókien górnych,
k
∆
,
1
−
∆
k
,
1
+
∆
k
- osiadanie podpór (odpowiednio podpory: „
k
”, „
k-1
”, „
k+1
”).
W przypadku, gdy skrajna podpora belki jest utwierdzona, to w układzie podstawowym nale
Ŝ
y wpro-
wadzi
ć
tzw. fikcyjne prz
ę
sło, którego długo
ść
jest zerowa a sztywno
ść
równa si
ę
∞
(rys. 3).
Rys. 2: Fikcyjne prz
ę
sła
Strona
4 z 9
Przy osiadaniu podpór, za dodatnie kierunki przemieszcze
ń
podpór przyjmuje si
ę
kierunki tak jak po-
kazano na rys. 4.
Rys. 4
Strona
5 z 9
ZADANIE 1.
Dla podanej belki ci
ą
głej statycznie niewyznaczalnej sporz
ą
dzi
ć
wykresy sił przekrojowych
(M, T) od działaj
ą
cego obci
ąŜ
enia zewn
ę
trznego.
Rys. 5: Belka ci
ą
gła statycznie niewyznaczalna
1. Obliczenia pomocnicze
Rysunek pomocniczy (rys. 6):
Rys. 6
Stopie
ń
statycznej niewyznaczalno
ś
ci: SSN = 1
Jako sztywno
ść
porównawcz
ą
przyjmujemy sztywno
ść
prz
ę
sła 1-2:
o
EJ
EJ
EJ
=
=
−
2
1
Sztywno
ść
prz
ę
sła 0-1 równie
Ŝ
opisujemy sztywno
ś
ci
ą
porównawcz
ą
.
Ogólny wzór, wg którego mo
Ŝ
emy opisa
ć
sztywno
ść
dowolnego prz
ę
sła „
k
” sztywno
ś
ci
ą
po-
równawcz
ą
, ma posta
ć
(sztywno
ść
k
EJ
mno
Ŝ
ymy przez iloraz
o
o
EJ
EJ
):
o
o
k
k
EJ
EJ
EJ
EJ
=
o
o
o
k
k
EJ
EJ
EJ
EJ
EJ
ηηηη
=
=
,
gdzie:
o
k
EJ
EJ
=
ηηηη
.
•
Zatem sztywno
ś
ci prz
ę
seł wynosz
ą
odpowiednio:
0
2
1
EJ
EJ
=
−
0
0
0
1
0
2
2
EJ
EJ
EJ
EJ
EJ
=
=
−
Obliczenie długo
ś
ci sprowadzonych prz
ę
seł:
Strona
6 z 9
Wzór ogólny (por. wzór 1, str.2)
k
k
o
k
l
EJ
EJ
l
=
'
.
•
długo
ść
sprowadzona prz
ę
sła 0-1:
4
8
2
2
0
0
1
0
0
'
1
=
=
=
EJ
EJ
l
EJ
EJ
l
•
długo
ść
sprowadzona prz
ę
sła 1-2:
4
4
0
0
2
0
0
'
2
=
=
=
EJ
EJ
l
EJ
EJ
l
2. Schemat podstawowy
Rys. 7: Schemat podstawowy metody trzech momentów
3. Równanie trzech momentów
Ogólny wzór na równanie trzech momentów (por. wzór nr 2 str. 2):
ko
o
k
k
k
k
k
k
k
EJ
X
l
X
l
l
X
l
δδδδ
6
)
(
2
1
'
1
'
1
'
1
'
−
=
+
+
+
+
+
+
−
.
Belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna, a zatem zwalniamy tylko jeden wi
ę
z i w jego miejsce
wprowadzamy jedn
ą
par
ę
momentów przypodporowych
1
X
w podporze nr. 1 (rys. 7).
Równania trzech momentów piszemy tylko dla tych podpór gdzie wprowadzone zostały momenty
k
X
.
W naszym zadaniu mamy wpływ tylko obci
ąŜ
enia zewn
ę
trznego „p” (nie ma działania temperatury i osiada-
nia podpór). W zwi
ą
zku z tym w naszym zadaniu
p
1
10
δδδδ
δδδδ
=
bowiem
0
1
=
t
δδδδ
i
.
Piszemy równanie tylko dla dla k=1 (na podstawie wy
Ŝ
ej podanego wzoru):
p
EJ
X
l
X
l
l
X
l
1
0
1
1
'
1
1
1
'
1
1
'
1
1
1
'
1
6
)
(
2
δδδδ
−
=
+
+
+
+
+
+
−
p
o
EJ
X
l
X
l
l
X
l
1
2
'
2
1
'
2
'
1
0
'
1
6
)
(
2
δδδδ
−
=
+
+
+
p
o
EJ
X
X
X
1
2
1
0
6
4
)
4
4
(
2
4
δδδδ
−
=
+
+
+
0
0
=
X
oraz
0
2
=
X
st
ą
d ostatecznie otrzymujemy jedno równanie w postaci:
p
o
EJ
X
1
1
6
16
δδδδ
−
=
4. Wyznaczenie
p
1
δδδδ
4.1. metod
ą
pracy wirtualnej
•
rysujemy wykresy (rys. 8):
momentów zginaj
ą
cych od obci
ąŜ
enia zewn
ę
trznego wyliczony dla schematu podstawo-
wego,
Strona
7 z 9
wykres momentu zginaj
ą
cego od stanu obci
ąŜ
enia
1
1
=
X
Rys. 8: Wykresy momentów zginaj
ą
cych dla schematu podstawowego
•
nast
ę
pnie wyliczamy współczynnik
p
1
δδδδ
ze wzoru znanego z metody sił
ds
EJ
M
M
k
l
i
l
i
p
ip
∫
=
δδδδ
:
0
0
0
10
3
82
2
1
3
2
6
2
2
1
2
1
3
1
2
1
6
2
2
1
1
1
2
1
8
16
3
2
2
1
EJ
EJ
EJ
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δδδδ
4.2. metod
ą
obci
ąŜ
e
ń
wtórnych (Mohra)
Rys. 9
Strona
8 z 9
•
rysujemy wykres momentów zginaj
ą
cych (rozbijamy na beleczki - belk
ę
przyj
ę
t
ą
w schemacie
podstawowym) - rys. 9,
•
przyjmujemy beleczki zast
ę
pcze (wg Mohra - rys. 9) i obci
ąŜ
amy je odpowiednio wykresem
momentów zginaj
ą
cych (obci
ąŜ
enie wtórne -
P
~
),
•
w beleczkach zast
ę
pczych obliczamy wtórne reakcje podporowe w w
ęź
le „1”, tzn. wyliczamy
[ ]
L
V
1
i
[ ]
P
V
1
. Suma tych reakcji da nam warto
ść
[ ] [ ]
P
L
p
V
V
1
1
1
+
=
δδδδ
.
[ ]
[ ]
0
0
1
0
3
64
8
8
3
2
2
1
EJ
EJ
V
V
L
=
⋅
⋅
⋅
=
=
[ ]
[ ]
0
0
0
2
1
3
18
6
6
2
2
1
EJ
EJ
EJ
V
V
P
=
=
⋅
⋅
=
=
[ ]
[ ] [ ]
p
P
L
EJ
EJ
EJ
V
V
V
1
0
0
0
1
1
1
3
82
3
18
3
64
δδδδ
=
=
+
=
+
=
0
1
3
82
EJ
p
=
δδδδ
5. Wyliczenie
1
X
Posta
ć
równania:
0
1
3
82
6
16
EJ
EJ
X
o
⋅
−
=
]
[
25
.
10
1
kNm
X
−
=
Znak momentu
1
X
wyszedł ujemny, to oznacza,
Ŝ
e przyj
ę
te zwroty momentów podporowych w schema-
cie podstawowym s
ą
złe.
6. Wyliczenie pozostałych wielko
ś
ci statycznych i sporz
ą
dzenie ko
ń
cowych
wykresów sił przekrojowych M i T
Obliczenia:
Znaj
ą
c moment przypodporowy
1
X
,
mo
Ŝ
emy potraktowa
ć
belk
ę
jako poł
ą
czone ze sob
ą
2 proste be-
leczki w w
ęź
le „1” przegubem, w którym działa para momentów zginaj
ą
cych
1
X
(rys.10).
Nast
ę
pnie obliczamy reakcje podporowe i wykonujemy pozostałe niezb
ę
dne obliczenia.
∑
=
0
1
L
M
0
25
,
10
4
8
2
8
0
=
+
⋅
⋅
−
⋅
V
71875
,
6
0
=
V
∑
=
0
1
P
M
0
25
,
10
6
2
4
2
=
−
⋅
+
⋅
−
V
4375
,
0
2
=
V
Strona
9 z 9
∑
=
0
y
P
0
6
8
2
2
1
0
=
+
−
+
⋅
−
V
V
V
84375
,
14
1
=
V
Równanie tn
ą
cej w prz
ęś
le 0-1:
x
x
q
V
x
T
2
71875
,
6
)
(
0
−
=
⋅
−
=
Po przyrównaniu
T(x)
do zera otrzymamy miejsce zerowe funkcji
T(x)
i jednocze
ś
nie warto
ść
zmiennej
x
,
dla której
M(x)
osi
ą
ga ekstremum.
0
)
(
=
x
T
359375
,
3
≅
x
.
2854
,
11
)
359375
,
3
(
ekstr
M
x
M
=
≅
≅
Rys. 10: Ko
ń
cowe wykresy sił przekrojowych M i T