2008 12 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 26466

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

(

)

[

]

[

]

=

=

+

+

+

+

=

=

+

+

+

9

2

9

3

2

1

2

4

4

3

2

3

3

2

1

2

4

3

X

X

X

X

X

X

X

E

X

X

X

X

X

E

(

)

(

)

( )

2

4

3

2

1

3

4

3

2

1

2

3

9

2

9

X

E

X

X

X

X

E

EX

X

X

X

X

E

+

=

+

+

+

=

+

+

=

(

) (

)

4

3

2

1

3

3

2

1

4

3

9

9

EX

X

X

X

X

E

X

X

X

X

X

E

+

=

+

+

=

=

+

+

+


dla

)

9

,...,

0

(

i

(

)

(

)

(

)

=

+

+

=

+

=

=

=

+

+

=

3

1

;

9

9

9

,

9

3

2

1

2

1

3

3

2

1

3

Bernoulli

X

X

X

P

i

X

X

i

X

P

X

X

X

i

X

P

czyli:

(

)

[

]

181

10

10

3

1

9

10

2

3

1

9

3

2

3

1

9

9

2

2

3

2

1

2

4

3

=

+

+

+

+

=

=

+

+

+

X

X

X

X

X

E

(

)

13

10

3

9

3

2

1

4

3

=

+

=

=

+

+

+

X

X

X

X

X

E

12

)

13

(

181

2

=

=

ODP


Zadanie 2

0<X+Y<2
X-Y<0

Sprawdzamy (B)

[

]

(

)

∫ ∫

=

=

=

=

1

0 0

1

0

1

0

5

,

0

5

,

0

0

5

,

0

5

,

0

5

,

0

5

,

0

2

2

25

,

0

2

25

,

0

25

,

0

x

x

x

x

y

x

x

y

e

e

e

e

dydx

e

e

P

[

]

(

)

1

1

1

0

5

,

0

5

,

0

5

,

0

2

2

5

,

0

5

,

0

2

5

,

0

=

=

=

e

e

e

x

czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa


Zadanie 3

(

)

(

)

1

,

1

1

,

1

,

1

3

2

3

2

1

=

=

X

X

P

X

X

X

P

P

(

)

(

)

=

=

=

=

1

1

1

,

1

1

1

3

2

X

P

X

X

X

P

LICZ

(

)

(

)

[

]

12

1

9

2

8

3

9

1

9

1

8

3

9

4

4

1

9

2

2

1

8

3

....

1

1

1

4

3

2

1

0

0

1

=

=

+

=

+

=

+

=

=

=

=

X

P

X

X

P

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

=

+

=

+

=

=

=

=

=

3

1

1

1

1

1

1

3

2

3

4

3

2

4

3

1

4

3

2

1

1

,

1

i

X

P

X

P

X

P

i

X

P

i

X

X

X

P

MIAN

3

2

12

8

12

3

4

1

4

1

3

1

12

1

3

1

4

3

9

4

4

3

9

2

8

3

9

4

4

3

4

3

3

1

9

2

2

1

4

3

9

4

4

1

9

2

2

1

8

3

=

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

+

+

=

8

1

2

3

12

1

=

=

ODP

background image

Zadanie 4

B – liczba białych pozostałych po I losowaniu

( )

B

S

2

ma rozkład hipergeometryczny

N=10, M=B, n=5

( )

B

B

B

S

E

2

1

10

5

2

=

=

( )

(

)

B

B

B

B

B

S

=

=

10

36

1

9

5

10

10

10

5

var

2


rozkład B:
X - liczba wylosowanych białych
X=8-B
B=8-X
N=16, n=6, M=8

3

16

8

6

=

=

EX

1

15

10

2

1

2

1

6

var

=

=

X

10

9

1

2

=

+

=

EX

5

3

8

)

8

(

=

=

=

X

E

EB

(

)

26

10

3

16

64

16

64

)

8

(

2

2

2

=

+

=

+

=

=

X

X

E

X

E

EB

1

5

26

var

2

=

=

B

( )

(

)

( )

(

)

(

)

12

11

12

3

8

4

1

3

2

4

1

26

5

10

36

1

var

var

2

2

=

+

=

+

=

+

=

+

=

B

S

E

B

S

E

ODP


Zadanie 5

(

)

(

)

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

1

1

1

F

F

t

F

X

P

t

X

P

X

t

X

P

+

=

>

+

<

<

=

>

<

=

=

=

=

=

=

t

t

t

w

x

X

e

dw

e

dw

xdx

w

x

dx

xe

t

F

0

0

2

2

2

2

1

2

2

)

(

θ

θ

θ

θ

θ

(

)

(

)

t

t

t

t

e

e

e

e

e

e

e

X

t

X

P

t

Y

P

2

)

1

(

)

1

(

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

)

(

+

+

+

=

=

+

+

=

>

<

=

<

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

(

)

(

)

[

]

(

)

t

t

t

t

e

t

t

e

x

x

f

y

f

2

2

2

2

)

1

(

2

2

2

1

1

)

(

+

+

+

=

=

>

=

θ

θ

θ

θ

θ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)





=

+

+

=

=

=

=

+

=

+

=

+

10

1

2

1

2

10

1

2

1

10

1

2

2

1

2

2

10

1

2

10

1

2

10

1

10

10

1

2

10

2

10

1

2

1

2

)

(

)

(

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

y

i

y

y

i

i

y

y

i

e

e

y

e

y

x

p

x

p

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

dla

(

)

(

)

)

(

2

1

)

(

dla

i

10

1

2

1

2

x

T

L

y

y

x

T

i

i

i

=

+

=

>

θ

θ

jest funkcją niemalejącą

czyli

(

)

05

,

0

)

(

3

=

>

=

c

x

T

P

θ

background image

przy

:

3

=

θ

(

)

y

y

e

y

y

f

2

3

2

)

1

(

6

)

(

+

+

=

(

) (

) (

)

(

)

=

+

<

+

=

+

<

+

=

<

+

=

<

+

1

1

1

)

1

(

1

)

1

(

2

2

2

2

t

y

P

t

y

P

t

y

P

t

y

y

P

(

)

(

)

)

3

(

1

1

1

1

3

2

1

2

1

1

2

1

3

wykl

e

e

t

y

P

t

t

t

t

=

=

+

<

=

+

+

+

+

+

(

)

=

Γ

+

10

1

2

)

3

,

10

(

2

i

i

i

Z

y

y

=

=

=

=

Γ

=

<

=

>

c

x

dt

dx

t

x

dx

e

x

c

Z

P

c

Z

P

1

0

3

9

10

2

1

3

2

3

)

10

(

3

1

1

=

=

=

Γ

=

Γ

=

c

c

t

t

c

c

e

t

dt

e

t

6

0

6

0

)

20

(

10

2

1

2

20

2

10

9

10

851

,

10

6

851

,

10

6

05

,

0

2

20

2

6

)

10

(

3

2

43

42

1

χ

czyli odrzucamy, gdy:

(

)

851

,

10

6

2

1

10

1

2

>

+

=

i

i

i

y

y

czyli:

(

)

=

<

+

10

1

2

6

851

,

10

2

i

i

i

y

y

(

)

=

<

+

10

1

2

6

851

,

10

10

1

i

i

y

(

)

=

=

=

+

=

+

<

+

10

1

2

8085

,

11

6

851

,

70

6

60

851

,

10

10

6

851

,

10

1

i

i

Y


Zadanie 6

(

)

0

;

t

(

)

[ ]

=

=

=

<

t

t

e

t

e

e

x

x

t

X

P

0

2

1

0

2

1

ln

Y

n

X

i

Γ

2

1

;

ln

=

i

n

X

n

U

ln

1

ln


sprawdzamy (B)

(

)

=





+

⋅⋅

=





+

2

2

1

1

2

2

4

4

e

n

e

X

X

P

e

n

e

U

P

n

n

n

=







+

>

=







+

>

=

2

2

2

2

4

ln

ln

4

ln

ln

1

e

n

e

n

X

P

e

n

e

X

n

P

i

i


background image

(

)

n

X

X

N

P

n

n

e

n

e

n

n

n

Y

P

e

n

e

n

Y

P

n

lim

2

2

4

ln

2

2

4

ln

2

2

2

2

<





+

<

=







+

<

=

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

=





+

=





+

+

=





+

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

e

n

X

1

4

ln

2

1

2

2

1

4

ln

2

2

2

1

4

ln

2

2

4

2

1

1

4

ln

2

1

4

4

=





+

=

n

n

e

n

n

43

42

1

977

,

0

)

2

(

<

N

P

czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa


Zadanie 7

(

)

(

)

t

k

k

t

k

e

e

k

t

P

t

X

X

k

P

2

2

1

1

1

min

1

,...,

min

=



=

>

=

<

)

2

(

2

)

(

2

min

wykl

e

t

f

t

k

=

(

)

(

)

(

)

=

=

=

=

=

=

=

=

1

1

1

2

1

)

(

2

1

)

(

k

r

k

N

N

p

k

N

P

k

N

P

k

N

NZ

E

NZ

E

(

)

(

)

(

)

(

)

=

=

=

=

=

=

=

=

1

1

2

2

1

2

1

)

(

2

1

)

(

k

k

r

N

N

p

k

N

P

k

N

P

k

N

NZ

E

NZ

E

(

)

(

) (

)

4

1

4

2

1

2

2

2

1

4

1

1

2

1

var

2

2

2

r

r

r

r

r

r

r

N

p

p

p

p

p

p

p

NZ

=

+

=

+

=


Zadanie 8

STAŁE NIEISTOTNE:

(

)

(

)

Y

m

X

m

to

m

Y

m

X

LICZ

i

i

m

m

=

=

=

2

1

2

2

2

1

,

,

dla

wiemy

18

1

2

1

exp

sup

2

1

(

)

(

)





=

4

4

4

4

4

4

3

4

4

4

4

4

4

2

1

)

(

2

2

18

1

2

1

exp

sup

m

f

i

i

m

m

Y

m

X

MIAN

(

)

(

)

=





+

=

m

Y

m

X

m

f

m

i

i

2

18

1

exp(...)

)

(

(

)

+

=

+

=





+

=

m

m

Y

X

m

Y

m

X

i

i

i

i

9

20

20

9

1

0

20

9

1

20

exp(...)

background image

10

9

9

200

9

20

20

Y

X

Y

X

m

+

=

+

=

(

)

(

)

=







+

+





+

+

=

2

2

2

2

10

9

18

1

10

9

2

1

18

1

2

1

exp

Y

X

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X

i

i

i

i

λ

(

) (

)

+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

2

2

01

,

0

18

,

0

81

,

0

5

1

5

9

2

1

20

18

1

20

2

1

exp

Y

Y

X

X

X

Y

X

X

X

Y

y

X

X

i

i

i

i

i

=

+

+

+

+

2

2

2

01

,

0

18

,

0

81

,

0

5

1

5

9

18

1

Y

Y

X

X

y

Y

y

X

y

i

i

i



+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

2

2

1

,

8

20

10

1

20

10

9

2

1

9

10

18

1

10

2

1

exp

X

Y

X

X

X

Y

y

X

X

i

i

i

+

+

+

+

2

2

2

2

20

18

1

81

,

0

20

90

1

20

1

,

0

18

1

20

5

,

0

01

,

0

20

09

,

0

X

Y

Y

X

y

Y

Y

X

i

[

]

(

)

[

]

2

2

2

2

exp

2

exp

20

18

1

01

,

0

20

18

1

18

,

0

Y

X

Y

X

Y

X

Y

Y

X

=

+

=



+

+


dla

:

0

H

(

)

64

,

1

20

7

ln

64

,

1

7

ln

20

1

,

0

ln

7

20

ln

=

=

=



>

=

>

c

c

c

N

P

c

Y

X

P

bo:

20

9

;

,

20

1

;

m

N

Y

m

N

X

(

)

( )

(

)

20

7

var

var

,

20

400

1

2

20

9

20

1

,

cov

2

var

var

var

=

+

=

+

=

i

i

i

i

Y

X

Y

X

corr

Y

X

Y

X

Y

X

CHCEMY

1

,

0

64

,

1

20

7

<



<

Y

X

P

(

)

(

)

1

,

0

7

20

64

,

1

7

20

64

,

1

2

1

2

1

<



<

<

m

m

N

m

m

P

sprawdzamy i wychodzi 1,66 (najbliżej)

Zadanie 9

(

)

min

ˆ

2

m

m

E

(

) ( )

( )

2

2

2

2

ˆ

2

ˆ

ˆ

2

ˆ

m

m

mE

m

E

m

m

m

m

E

+

=

+

=

=

=

=

n

i

n

i

i

i

a

m

m

a

m

E

1

1

ˆ

(

)(

)

[

]

=

+

+

+

+

+

+

=

n

n

n

n

X

a

X

a

X

a

X

a

X

a

X

a

E

m

E

...

...

ˆ

2

2

1

1

2

2

1

1

2

(

)

=

=

+

=

n

i

j

i

j

i

j

i

i

i

X

X

E

a

a

EX

a

1

2

2

background image

=

+





+

=

n

i

j

i

j

i

i

m

a

a

m

i

m

a

1

2

2

2

2

=

=

+

+





+

n

i

j

i

n

i

i

j

i

i

m

a

m

m

a

a

m

i

m

a

1

1

2

2

2

2

2

2

min

2

=

+





+

=

i

j

j

i

i

m

m

a

m

i

m

a

a

0

2

2

2

2

2

2

2

0

2

1

2

2

2

=

+

+

=

m

a

a

m

i

im

m

a

n

i

i

i

i

=

=

+

n

i

i

i

a

m

m

m

i

im

m

a

1

2

2

2

2

2

=

=

=

=

n

i

i

n

i

i

i

a

i

i

m

a

m

a

1

2

1

2

1

1

(

)

=

+

+

=

i

j

j

i

i

im

m

a

i

im

m

a

i

a

0

2

2

2

2

2

(

)

∑ ∑

=

=

=

=

=

+

+

=

n

i

n

i

n

i

i

j

n

i

j

i

i

im

m

a

i

im

m

a

i

a

1

1

1

1

2

2

2

2

0

2

=

=

=

=

=

+

+

+

n

i

n

i

n

i

n

i

i

i

i

i

n

n

m

a

a

im

ia

m

a

m

1

1

1

2

1

2

2

2

0

2

)

1

(

=

=

=

=

=

+

+

+

+

n

i

n

i

n

i

n

i

i

i

i

i

n

n

m

ia

m

a

n

n

m

ia

m

a

m

1

1

1

1

2

2

2

2

2

0

2

)

1

(

2

)

1

(

=

+

=

+

+

n

i

i

n

n

m

a

n

n

m

m

1

2

2

2

2

)

1

(

2

)

1

(

=

+

+

+

=

+

+

+

=

n

i

i

n

n

n

n

n

n

m

m

n

n

m

a

1

2

2

2

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

2

2

2

)

1

(


Z tego:

n

n

i

n

n

n

n

n

n

i

n

n

n

n

i

a

i

+

+

=

+

+

+

+

=





+

+

+

=

2

2

2

2

2

)

1

(

2

2

)

1

(

2

)

1

(

1


Zadanie 10

)

(

i

)

1

,

0

(

),

;

0

(

i

U

STAT

J

X

J

X

i

i

θ

θ

θ

[

]

(

)

=

<

>

=

)

,

2

(

)

,

3

(

:

2

:

3

2

1

i

5

,

0

2

,

2

n

n

n

n

n

n

U

U

P

X

X

P

θ

4

4

4

3

4

4

4

2

1

0

2

3

2

3

2

3

2

1

i

2

1

2

1

2

1

1

5

,

0

lub

2

1

1

=

<

>

+

<

>

=

=

n

n

n

J

J

P

J

P

J

P

J

J

P

background image

(

)

(

)

=

+

=

=

=

=

>

1

5

,

0

5

,

0

0

3

2

3

2

3

2

1

2

)

1

)(

2

(

1

)

1

(

)!

3

(

2

!

5

,

0

n

n

t

t

t

n

n

n

t

x

dx

x

x

n

n

J

P

=





+

=

+

=

n

n

n

n

n

n

n

t

n

t

n

t

n

n

n

n

n

n

n

n

n

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

)

2

)(

1

(

1

2

2

2

)

2

)(

1

(

1

2

5

,

0

0

1

2

(

) (

)

=

+

+

=





+

=

+

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

)

1

)(

2

(

2

3

2

4

4

2

)

2

)(

1

(

1

1

4

2

4

2

1

2

)

2

)(

1

(

2

2

2

1

(

)

2

2

1

2

1

+

+

=

+

n

n

n

(

)

(

)

+

+

=

=

=

<

+

5

,

0

0

2

1

2

3

2

2

2

1

SAMO

TO

ZE

WIDAC

)

1

(

2

)!

3

(

!

5

,

0

n

n

dx

x

x

n

n

J

P

n

n

n

(

)

(

)

9

,

0

2

2

1

1

2

2

2

1

2

2

1

+

+

=

+

+

=

+

n

n

n

n

P

n

n

1

,

0

2

2

)

(

2

+

+

=

n

n

n

n

f

f(n) jest malejąca więc sprawdzamy i wychodzi n=11







Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2008.12.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2002 06 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21643
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2010 12 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 27016
2007 12 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 25662
2008.06.02 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.12.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 12 06 prawdopodobie stwo i statystykaid 21710
2008 03 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 26449
2008 06 02 prawdopodobie stwo i statystykaid 26454
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
1998.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.12.03 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.12.07 prawdopodobie stwo i statystyka
1998 12 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 18587
2002.06.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.01.15 prawdopodobie stwo i statystyka

więcej podobnych podstron