Twierdzenia graniczne i statystyki z próby
Zadanie 1
Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1. Które z poniższych zdarzeń jest
bardziej prawdopodobne:
a) spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację,
b) spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób? Proszę uzasadnić metodę
rozwiązania.
Zadanie 2
Ostatnie badania przeprowadzone w Wielkiej Brytanii wykazały, że 7 na 10 Brytyjczyków żyje w
ciągłym stresie. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w grupie 500 Brytyjczyków znajdzie
się:
a) od 300 do 350 osób “zestresowanych”;
b) od 370 do 410 osób “zestresowanych”;
c) udział „zestresowanych” będzie większy niż 0,6.
Zadanie 3
Dobowy czas snu dorosłej osoby jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(8 godz.; 1 godz.).
Załóżmy, że rozkład ten jest identyczny dla wszystkich osób dorosłych. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że
a) łączny czas snu grupy 120 osób dorosłych w ciągu 1 doby przekroczył 1000 godzin.
b) czas snu grupy 300 osób wyniósł w sumie od 2350 do 2440 godzin.
c) grupa 300 osób spędziła we śnie w ciągu jednej doby w sumie od 2410 do 2460 godzin.
d) w grupie 100 osób średni czas snu na dobę wyniesie od 8 do 9 godzin.
Zadanie 4
W Urzędzie ds. Walki z Biurokracją pracuje 900 osób. Każda z nich pisze średnio 40 notatek
służbowych w miesiącu, przy wariancji 49 notatek
2
. Rozkład liczby notatek w miesiącu jest taki sam
dla każdego pracownika. Za każdą notatkę pracownik płaci karę 10 zł. Obliczyć i zinterpretować
prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu łączna wartość zapłaconych kar będzie
mniejsza niż 347 400.
Zadanie 5
Prędkość czytania u dorosłego człowieka jest zmienną losową, gdzie E(X)=200 (słów na minutę) oraz
D(X)=40 (słów na minutę). Załóżmy, że rozkład niezależnych zmiennych X
k
jest identyczny dla
wszystkich dorosłych. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przeciętna prędkość czytania (na jedną
osobę) w grupie 200 dorosłych osób będzie się zawierała w przedziale 195-203 słów na minutę.
Zadanie 6
Dzienne przychody ze sprzedaży pasty do zębów są zmienną losową o wartości oczekiwanej równej
4000 zł i odchyleniu standardowym stanowiącym 50% poziomu wartości oczekiwanej. Rozkład tej
zmiennej losowej jest jednak nieznany. Oblicz, jeśli jest to możliwe, prawdopodobieństwo, że w
przeciągu 100 losowo wybranych dni przeciętne przychody ze sprzedaży pasty będą zawierać się w
przedziale 3800-4500 zł. Uzasadnij sposób rozwiązania.
Zadanie 7
Zakład ubezpieczeń Poli S.A. zatrudnia 400 agentów (ubezpieczeniowych). Liczba klientów
zdobywanych przez każdego z nich miesięcznie ma jednakowy rozkład z wartością oczekiwaną 50
klientów i wariancją 100 klientów
2
. Za każdego zdobytego klienta zakład wypłaca premię 25 zł.
Obliczyć i zinterpretować prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu wartość
wypłaconych premii przekroczy 525 tys. zł.
1
Zadanie 8
Wartość jednorazowych zakupów dokonywanych przez mieszkańca osiedla w najbliższym
supermarkecie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(38,5 zł; 9 zł). Jeśli w ciągu dnia
supermarket odwiedza 500 mieszkańców osiedla, to jak często obrót ten przekracza 25 000 zł?
Zadanie 9
Waga produkowanych w zakładzie mleczarskim kostek masła ma rozkład normalny z wartością
oczekiwaną 20 dag i odchyleniem standardowym 0,8 dag. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) waga wybranej kostki masła będzie mieścić się w przedziale od 19,5 do 20,5 dag?
b) w losowej próbie 40 kostek masła średnia waga kostki masła przekroczy 20,3 dag?
Zadanie 10
Miesięczne zużycie energii elekt.(kWh) w rodzinach czteroosobowych ma rozkład N(300,100).
Obliczyć prawdopodobieństwo:
a) zużycia ponad 450 kWh w miesiącu przez losowo wybraną rodzinę czteroosobową.
b) że wśród 25 losowo wybranych rodzin średnie zużycie energii będzie niższe niż 320 kWh.
Zadanie 11
Przypuszcza się , że czas eksploatacji komputerów (w latach) jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym N (6;1,2)
a) Podać prawdopodobieństwo, że losowo wybrany komputer będzie eksploatowany krócej niż 5 lat i
jeden kwartał.
b) Zaznaczyć obliczone w p. a) prawdopodobieństwo na wykresie funkcji gęstości oraz dystrybuanty
rozkładu normalnego.
c) Jaki czas pracy ma 80% komputerów najszybciej wycofanych z eksploatacji?
d) Wiedząc, że komputery stoją w pracowniach po 16 sztuk, odpowiedzieć, jakie jest
prawdopodobieństwo, że średni czas eksploatacji komputerów w losowo wybranej pracowni
przekroczy 6,5 roku
Zadanie 12
Rozkład obrotów przedsiębiorstw pewnej branży jest normalny, z odchyleniem standardowym
równym 2 mln zł. Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnie obroty w 40-elementowej próbie
przedsiębiorstw będą się różniły od średniej w populacji o:
a) mniej niż 0,8 mln zł?
b) więcej niż 0,5 mln zł?
Zadanie 13
Na podstawie danych o wysokości opłat (€) za wizytę u lekarza internisty w krajach Unii Europejskiej
ustalono, że rozkład opłat był zgodny z rozkładem normalnym o przeciętnej równej 33,68 €.
a) Określ typ rozkładu średniej opłaty dla 9 losowo wybranych krajów, jeśli dodatkowo wiadomo, że
w grupie tych krajów nieobciążone odchylenie standardowe wyniosło 23,10€.
b) Oblicz P(
)
48
X
9
>
. Wynik zilustruj graficznie.
Zadanie 14
Trener (a zarazem miłośnik statystyki) oświadczył trójskoczkowi, że pojedzie na olimpiadę do Pekinu,
jeśli będzie skakał daleko i regularnie tzn. spełni dwa poniższe warunki:
a) średni wynik wśród 25 losowo wybranych skoków w sezonie nie będzie niższy niż 16,32 m
b) rozrzut wyników (mierzony odchyleniem standardowym) wśród losowo wybranych 25 skoków nie
przekroczy 0,38 m.
Który z warunków łatwiej będzie spełnić trójskoczkowi, jeśli rozkład jego wyników jest N(16,2 ; 0,5)
2
Zadanie 15
W rozgrywkach sportowych można zdobyć maksymalnie 50 punktów, przy czym rozkład liczby
punktów zdobytych przez pojedynczego gracza ma wartość oczekiwaną 30 i odchylenie standardowe
5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) drużyna licząca 30 graczy zdobędzie wspólnie ponad 1000 punktów?
b) średnia liczba punktów zdobytych przez 30 graczy jest większa niż 32.
Zadanie 16
W wyniku obserwacji rocznych wydatków na książki mieszkańców miast i mieszkańców wsi
stwierdzono, że mieszkańcy miast wydają na książki przeciętnie 500 zł rocznie z odchyleniem
standardowym 100zł , natomiast mieszkańcy wsi 350 zł z odchyleniem standardowym 50zł. Pobrano
niezależnie 50-elementową próbę losową mieszkańców miast oraz 60-elementową próbę losową
mieszkańców wsi. Wiedząc, że rozkład wydatków na książki zarówno w mieście jak i na wsi jest
rozkładem normalnym, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że:
a) średnie wydatki na książki w mieście są większe od średnich wydatków na książki na wsi o ponad
120zł
b) średnie wydatki na książki w mieście są większe od średnich wydatków na książki na wsi o 150zł.
Zadanie 17
Zmienne X
1
i X
2
mają rozkłady normalne odpowiednio: N(90,12) i N(30,8). Sprawdź, czy przy
założeniu, że pobrane niezależnie próby losowe liczyły po 25 jednostek, zachodzi nierówność:
2
>
)
90
(
)
65
55
(
1
2
1
>
<
−
<
x
P
x
x
P
Zadanie 18
Ostatnie badania pt. “Polak w Internecie” wykazały, że 86% młodych Polaków łączy się z siecią co
najmniej raz w tygodniu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w próbie 150 młodych Polaków odsetek
osób łączących z siecią nie przekroczy 83%.
Zadanie 19
Wiadomo, że w El Salvador 76 mężczyzn na 100 oraz 70 na 100 kobiet potrafi czytać. Oblicz
prawdopodobieństwo, że odsetek kobiet umiejących czytać w losowo wybranej grupie 220 kobiet
będzie większy od odsetka wylosowanych 325 mężczyzn.
Zadanie 20
Na studiach dziennych 25% studentów wybiera specjalizację w zakresie zarządzania i marketingu, na
studiach zaocznych tę samą specjalizację wybiera 20% studentów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
w losowo wybranej próbie liczącej 200 studentów studiów dziennych udział wybierających badaną
specjalizację będzie przynajmniej o 7 punktów procentowych wyższy od udziału specjalizujących się
w zarządzaniu i marketingu w grupie 150 studentów studiów zaocznych.
Dodatkowe zadania do rozwiązania w domu:
Zbiór zadań: 3.1.3, 3.1.4, 3.1.7, 3.3.3., 3.3.5, 3.3.9
Zestaw dr Wieczorek: 12-28, 31, 32.
3