P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

1 | 

S t r o n a

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

METODA 

 

SIŁ

 

KRATOWNICA

 
 

 

 

P

RZYKŁAD

 

 
 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

2 | 

S t r o n a

 

 

Obliczyć  siły  w  prętach  kratownicy  oraz  sporządzić  wykres  sił  normalnych. 
Rozwiązanie przeprowadzić w oparciu o metodę sił. 

 

 

Rys.1 Schemat kratownicy 

moduł Younga: 

 

przekroje prętów: 

 

 

 

długości prętów: 

 

 

 

Kratownica  przedstawiona  na  rys.  1  jest  układem  jednokrotnie  statycznie  niewyznaczalnym 
zewnętrznie.  
 
Przyjmujemy układ podstawowy usuwając nadliczbowy więz podporowy poziomy w punkcie 
B zastępując go siłą 

 zgodnie z poniższym schematem: 

 

 

Rys.2 Układ podstawowy 

Sporządzamy  wykresy  sił  normalnych  dla  przyjętego  układu  podstawowego  (rys.2)  kolejno 
od  obciążenia  zewnętrznego  i  od  obciążenia  jednostkowego  przyłożonego  w  miejscu  i  na 
kierunku usuniętego więzu (rys. 3 i 4). Pręty ściskane oznaczono strzałkami zwróconymi do 
węzłów, rozciągane – od węzłów. 
 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

3 | 

S t r o n a

 

 

Wykres sił normalnych od obciążenia zewnętrznego dla układu podstawowego: 
 

 

Rys.3 Wykres sił normalnych od obciążenia zewnętrznego dla układu podstawowego

 

Wykres sił normalnych od obciążenia jednostkowego  

  dla układu podstawowego: 

 

 

Rys.4 Wykres sił normalnych od obciążenia jednostkowego X

1

=1 dla układu podstawowego

 

Współczynniki 

  i 

  (przemieszczenia  od  obciążenia  zewnętrznego  i  siły  jednostkowej, 

gdzie  pierwszy  indeks  oznacza  miejsce,  drugi  przyczynę  przemieszczenia)  obliczamy  na 
podstawie  wykresów  sił  normalnych  dla  poszczególnych  stanów.  Obliczenia  wygodnie  jest 
przeprowadzić w tabeli, która zamieszczona została poniżej. 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

4 | 

S t r o n a

 

 

Tabela 1.

 

Nr 

pręta 

 

 

 

 

 

 

 

 

 (5+8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

suma 

 

 

 

suma 

 

 

Wartości sił normalnych w kolumnie 9 Tabeli 1. zostały obliczone wg zależności: 

 

Równanie kanoniczne metody sił: 

 

Przekształcając mamy: 

  

Po podstawieniu odpowiednich wartości z Tabeli 1 otrzymujemy: 

  

skąd: 

 

 

 

P O M O C E   N A U K O W E   I   D Y D A K T Y C Z N E

 

P

O R T A L U  

B

U D O W N I C T W O P O L S K I E

.

P L

 

 

 

5 | 

S t r o n a

 

 

  

Znak    minus  oznacza,  że  zwrot  reakcji  jest  przeciwny  do  założonej  przez  nas  siły 

  w 

układzie podstawowym (rys. 2). 

Ostatecznie wykres sił normalnych otrzymujemy przenosząc wartości sił dla poszczególnych 
prętów z Tabeli 1 z kolumny 9: 
 

 

Rys.5 Wykres sił normalnych 

Reakcje w punktach podparcia wyznaczamy z warunków równowagi lub na podstawie zasady 
superpozycji wg wzoru: 

  

np.: 

  

Na koniec wykonamy jeszcze sprawdzenie zgodności odkształceń. 

Sprawdzenie  to  polega  na  obliczeniu  przemieszczenia  w  miejscu,  w  którym  wiemy  ile 

ono  będzie  wynosić.  W  tym  celu  obliczymy  przemieszczenie  poziome  punktu  B,  które 

powinno wynieść zero ponieważ znajdująca się tam podpora uniemożliwia przesunięcie. 
Przemieszczenie wnosi (zgodnie z kolumną 10 tabeli 1): 

  

Do  obliczenia  przemieszczenia  poziomego  w  punkcie  B  wykorzystano  wykres 

 

(przemieszczenie  obliczamy  przykładając  w  miejscu  i  na  jego  kierunku  jednostkową 

siłę).  

Przemieszczenie  na  podporze  równe  jest  zero  zatem  kratownica  została  rozwiązana 

prawidłowo.