L

ABORATORIUM FIZYCZNE

 

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej 

Obliczanie i wyrażanie niepewności pomiaru 

wersja podstawowa 

opracował: Jan Kurzyk 

 

 

2 

Spis treści 

1.

 

WPROWADZENIE 

3

 

2.

 

BŁĄD POMIARU 

4

 

2.1

 

Błędy przypadkowe 

4

 

2.2

 

Błędy systematyczne 

4

 

2.3

 

Błędy grube 

5

 

3.

 

NIEPEWNOŚĆ POMIARU 

5

 

3.1

 

Niepewność standardowa 

6

 

3.2

 

Niepewność rozszerzona 

6

 

4.

 

POMIARY BEZPOŚREDNIE I POŚREDNIE 

6

 

5.

 

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW BEZPOŚREDNICH 

7

 

5.1

 

Obliczanie niepewności standardowej metodą A 

7

 

5.2

 

Obliczanie niepewności standardowej metodą B 

7

 

5.2.1

 

Opis ogólny 

7

 

5.2.2

 

Obliczanie niepewności standardowej wynikającej z dokładności przyrządu pomiarowego 

8

 

6.

 

SUMOWANIE SKŁADNIKÓW NIEPEWNOŚCI 

9

 

7.

 

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW POŚREDNICH 

9

 

8.

 

ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW 

10

 

8.1

 

Zaokrąglanie wyników 

10

 

8.2

 

Formy podawania wyniku 

10

 

8.3

 

Przykłady zaokrągleń i zapisów wyniku 

12

 

9.

 

UŚREDNIANIE WYNIKÓW 

12

 

10.

 

OPRACOWYWANIE WYNIKÓW POMIARU WIELKOŚCI ZALEŻNYCH 

12

 

10.1

 

Graficzna prezentacja wyników 

12

 

10.2

 

Regresja liniowa 

13

 

11.

 

PRZYKŁADY OBLICZEŃ I ZAPISU WYNIKÓW POMIARU 

15

 

LITERATURA 

17

 

 

 

 

3 

 

Obliczanie i wyrażanie niepewności pomiaru 

Jan Kurzyk 

1.

 

Wprowadzenie 

W  wielu  dziedzinach  nauki  i  techniki  staramy  się  ilościowo  opisywać  zjawiska  oraz  cechy 

badanych obiektów. W przypadku właściwości fizycznych zjawisk lub obiektów, do ich opisu używamy 
tzw. 

wielkości  fizycznych

.  Przykładowymi  wielkościami  fizycznymi  są  np.  długość  (jakiegoś  obiektu), 

czas (trwania jakiegoś zjawiska) czy natężenie prądu elektrycznego. Aby móc porównywać wielkości 
fizyczne (tego samego typu) musimy im w sposób jednoznaczny przypisać wartości liczbowe. Liczby te 
określają  ile  razy  dana  wielkość  fizyczna  jest  większa  (lub  mniejsza)  od  jej 

jednostki  miary

,  czyli 

wielkości fizycznej (tego samego typu co wielkość mierzona), której umownie przypisaliśmy wartość 
1.  Proces  mający  na  celu  znalezienie  wartości  danej  wielkości  fizycznej  (jako  iloczynu  liczby 
określającej wartość tej wielkości fizycznej i jej  jednostki miary) nazywamy 

pomiarem

.  W  ogólności 

wynik  pomiaru  jest  tylko  estymatą  (oszacowaniem)  wartości  wielkości  mierzonej.  Dlatego  podając 
wynik pomiaru musimy podać jednocześnie ilościową informację o jakości podanego wyniku. Dopiero 
wtedy  będziemy  mogli  określić  jego  wiarygodność  lub  porównać  z  innym  wynikiem.  Miarą  tej 
wiarygodności  jest wartość  tzw. 

niepewności  pomiaru

,  którą  podajemy  w  tych  samych  jednostkach 

miary,  co  wynik  pomiaru.  Wartość  niepewności  w  połączeniu  z  wartością  zmierzoną,  pozwala  nam 
wyznaczyć przedział, w którym z określonym prawdopodobieństwem, nazywanym 

poziomem ufności

 

mieści  się  rzeczywista  wartość  mierzonej  wielkości.  Należy  podkreślić,  że  niepewność  pomiaru  nie 
jest wielkością fizyczną i w związku z tym nie da się jej zmierzyć. Metodami wyznaczania niepewności 
pomiaru zajmuje się tzw. teoria niepewności pomiaru. Ponieważ niepewność pomiaru nie może być 
jednoznacznie zdefiniowana (gdyż nie jest to wielkość fizyczna), procedury wyznaczania niepewności 
pomiaru  w  dużej  mierze  opierają  się  na  międzynarodowych  umowach.  Metody  określania 
niepewności  pomiaru  opisywane  przez  teorię  niepewności  pomiaru  nie  ograniczają  się  jedynie  do 
fizyki. Stosowane są one we wszystkich dziedzinach  nauki i techniki stosujących pomiar jako źródło 
informacji. Zarówno procedury obliczania niepewności, jak i samo nazewnictwo stosowane w teorii 
niepewności  ewoluuje.  Społeczność  naukowa  od  dawna  dążyła  do  ujednolicenia  nazewnictwa  i 
metod wyznaczania niepewności pomiarów. W 1980 roku została powołana Grupa Robocza do spraw 
Określania  Niepewności.  Wynikiem  prac  członków  Grupy  Roboczej,  wytypowanych  przez 
Międzynarodowe  Biuro  Miar

1

,  Międzynarodową  Komisję  elektrotechniczną

2

,  Międzynarodową 

Organizację Normalizacyjną

3

 i Międzynarodową Organizacje Metrologii Prawnej

4

 jest wydany w 1993 

roku przez ISO dokument: Guide to the Expression of Uncertainty Measurement [1]. Dokument ten 
zawiera  zalecenia  dotyczące  wyrażania  niepewności  pomiaru. Polskie  tłumaczenie  tego  dokumentu 
zostało wydane przez Główny Urząd Miar w 1999 roku pod tytułem Wyrażanie niepewności pomiaru. 
Przewodnik [2]. W dalszej części tego tekstu powołując się na ten dokument będziemy nazywać go w 
skrócie Przewodnikiem. 

                                                           

1

 BIPM – Bueaur International des Poids et Mesures. 

2

 IEC – International Electrotechnical Commission. 

3

 ISO – International Organization for Standarization. 

4

 OIML – International Organization of Legal Metrology. 

4 

2.

 

Błąd 

pomiaru 

Niedoskonałości  pomiaru  powodują,  że  wynik  pomiaru  różni  się  od  rzeczywistej  wartości 

wielkości  mierzonej.  Różnicę  między  wartością  zmierzoną    a  wartością  rzeczywistą 

  nazywamy 

błędem pomiaru  

łą 

=   − . 

Oczywiście wartości rzeczywistej nigdy nie znamy, ale w praktyce możemy jej wartość utożsamiać z 
wynikiem pomiaru wykonanego za pomocą metody znacznie dokładniejszej niż nasza. Dla przykładu 
wykonując  w  laboratorium  studenckim  pomiar  wartości  jakiejś  stałej  fizycznej, możemy  za  wartość 
rzeczywistą przyjąć wartość tej stałej wziętą z tablic fizycznych.  

Błędy pomiaru mogą mieć charakter systematyczny lub przypadkowy.  

2.1

 

Błędy przypadkowe 

Przyjmuje  się,  ze 

błędy  przypadkowe

  wynikają  z  tego,  że  wielkości  mające  wpływ  na  wynik 

pomiaru  nie  mają  stałych  wartości  w  czasie  wykonywania  pomiaru,  lecz  zmieniają  się  w  sposób 
nieprzewidywalny  (przypadkowy,  stochastyczny).  Czynniki  wywołujące  te  zmiany  nazywamy 

oddziaływaniem przypadkowym

. Efektem działania tych czynników są zmiany wyników powtarzanych 

obserwacji  mierzonej  wielkości  (kolejny  wynik  pomiaru  może  różnić  się  od  poprzedniego).  Innymi 
słowy  błędy  przypadkowe  prowadzą  do  rozrzutu  wyników  pomiaru,  przy  czym  szansa  uzyskania 
wyniku mniejszego niż wartość rzeczywista jest porównywalna z szansą uzyskania wyniku większego. 
A  zatem  wyniki  pomiarów  są  rozrzucone  wokół  wartości  rzeczywistej  (patrz  rysunek  1.1.  a). 
Najczęściej,  najlepszym  oszacowaniem  wartości  wielkości  mierzonej  jest 

średnia  arytmetyczna

 

otrzymanych  wyników  pomiaru,  czyli  suma  tych  wartości  podzielona  przez  ich  liczbę.  Błąd  takiego 
pomiaru jest różnicą między wartością średnią arytmetyczną i wartością rzeczywistą. Wartości tego 
błędu  nie  znamy,  ale  możemy  go  zmniejszyć  poprzez  zwiększenie  liczby  pomiarów.  Błąd  tego  typu 
maleje do zera, gdy liczba pomiarów dąży do nieskończoności.  

x

x

x

0

x

a)

b)

c)

 

Rys.  2.1.  Schematycznie  przedstawione  wyniki  pomiarów  dla  różnych  przypadków  błędów 
pomiaru. Wyniki pomiarów reprezentowane są przez niebieskie krzyżyki. Zielona przerywana linia 
reprezentuje  wartość  rzeczywistą.  a)  rozrzut  wyników  pomiaru  wywołany  błędami 
przypadkowymi.  b)  systematyczny  błąd  pomiaru  w  przypadku  braku  błędów  przypadkowych.  c) 
połączenie błędu systematycznego z błędami przypadkowymi. 

2.2

 

Błędy systematyczne 

W przeciwieństwie do czynników odpowiedzialnych za powstawanie błędów przypadkowych, 

czynnik lub czynniki prowadzące do 

błędu systematycznego

 (tzw. 

oddziaływanie systematyczne

) mają 

w  każdym  pomiarze  taki  sam  wpływ  na  wynik  pomiaru.  Jeśli  podczas  pomiarów  z  oddziaływaniem 
systematycznym  nie  występują  oddziaływania  przypadkowe  (wszystkie  wyniki  pomiaru  są 
jednakowe),  to  różnica  między  wartością  zmierzoną  a  rzeczywistą  jest  stała  i  równa  błędowi 
systematycznemu  (patrz  rysunek  2.1.  b).  Jeśli  na  oddziaływania  systematyczne  nakładają  się 

5 

Niepewność 

pomiaru 

jest 

parametrem 

związanym  z 

rezultatem 

pomiaru, 

charakteryzującym  rozrzut  wartości,  które  można  w  uzasadniony  sposób  przypisać 
wielkości mierzonej. 

oddziaływania przypadkowe, to wyniki pomiarów nie będą rozrzucone wokół wartości rzeczywistej, 
lecz wokół wartości przesuniętej względem wartości rzeczywistej o wartość błędu systematycznego 
(patrz rysunek 2.1. c). Gdybyśmy w tym przypadku wykonali bardzo dużą liczbę pomiarów eliminując 
w  ten  sposób  błąd  przypadkowy,  to  różnica  miedzy  średnią  arytmetyczną  wyników  pomiarów  i 
wartością rzeczywistą byłaby równa błędowi systematycznemu. 

Jeśli znamy przyczynę błędu systematycznego (lub błędów systematycznych), to powinniśmy 

ją  usunąć  lub  jeśli  to  nie  jest  możliwe  określić  ilościowo  wpływ  oddziaływania  systematycznego  na 
wynik  pomiaru  i  skompensować  ten  wpływ  wprowadzając  odpowiednią 

poprawkę

.  Może  to  być 

poprawka  addytywna  (do  wyniki  musimy  dodać  poprawkę)  lub  multiplikatywna  (wynik  musimy 
przemnożyć przez odpowiedni współczynnik) lub obie poprawki jednocześnie.  

2.3

 

Błędy grube 

Oprócz  dwóch  typów  błędów  wymienionych  powyżej  możemy  jeszcze  wyróżnić  tzw. 

błędy 

grube

  zwane  również  pomyłkami.  Powstają  one  głównie  na  skutek  pomyłek w  odczycie  lub  zapisie 

wyników  pomiaru,  niewłaściwego  użycia  przyrządu,  błędach  w  obliczeniach,  stosowaniu 
niewłaściwych jednostek miar itp. Tego typu błędy prowadzą na ogół do bardzo drastycznych różnic 
między wynikiem pomiaru a wartością rzeczywistą przez co są stosunkowo łatwo zauważalne, a tym 
samym łatwe do usunięcia. Dalszy opis nie dotyczy tego typu błędów. 

3.

 

Niepewność pomiaru 

Termin 

niepewność  pomiaru

  jest  używany  w  dwóch  znaczeniach.  W  pierwszym  znaczeniu 

używa  się  go  jako  określenie  ogólnej  cechy  pomiarów  i  oznacza  wątpliwość  co  do  wartości  wyniku 
pomiaru.  W  drugim  znaczeniu  oznacza  on  ilościową  miarę  tej  wątpliwości.  W  dalszej  części  tekstu 
będziemy  używać  tego  pojęcia  w  tym  drugim  znaczeniu.  W  Przewodniku  niepewność  pomiaru 
definiowana jest następująco:  

Nie należy mylić pojęcia niepewności pomiarowej z pojęciem błędu pomiaru. Przypomnijmy, że przez 
błąd pomiaru rozumiemy różnicę między wartością zmierzoną a rzeczywistą. Wartości błędu (na ogół) 
nie  znamy.  Naszym  zadaniem  jest  określenie  stopnia  wiarygodności  naszego  wyniku  pomiaru,  czyli 
określenie 

niepewności pomiaru

. Niepewność pomiaru określa szerokość przedziału, w którym mieści 

się  znaczna  część  wyników  pomiaru  (tych,  które  wykonaliśmy  i  ewentualnych  przyszłych  pomiarów 
wykonanych  tą  samą  metodą  w  tych  samych  warunkach),  co  pozwala  nam  wierzyć,  że  z  dużym 
prawdopodobieństwem przedział ten zawiera również wartość rzeczywistą (oczywiście jeśli udało się 
nam  wyeliminować  błędy  systematyczne).  Jednak  sama  szerokość  tego  przedziału  nie  może  być 
interpretowana  jako  błąd  pomiaru.  Nawet  w  przypadku  dużej  niepewności  pomiaru  wartość 
zmierzona może być bardzo bliska wartości rzeczywistej.  

Określając  niepewność  pomiaru  zakładamy,  że  pomiar  jest  wolny  od  nierozpoznanych 

oddziaływań  systematycznych.  Nierozpoznane  oddziaływania  systematyczne  z  natury  rzeczy  nie 
mogą  być  uwzględnione  przy  szacowaniu  niepewności  pomiaru.  Rozpoznane  oddziaływania 
systematyczne powinniśmy usunąć (jeśli jest to możliwe) lub skompensować odpowiednią poprawką. 

6 

3.1

 

Niepewność standardowa 

Niepewność  pomiarową  podajemy  w  postaci  tzw.  odchylenia  standardowego

5

  i  nazywamy 

niepewnością  standardową

.  Symbolem  niepewności  standardowej  jest  mała  litera 

6

.  Wielkość, 

której dotyczy niepewność standardowa podajemy w postaci symbolu lub opisu słownego w nawiasie 
za literą  , np. 

( ),  ( ),  (poziom hemoglobiny we krwi). W przypadku, gdy rozkład statystyczny 

zmiennej  losowej  jest  tzw.  rozkładem  Gaussa,  niepewność  standardowa  określa  przedział,  który 
obejmuje ok. 68% wszystkich wyników pomiarów. 

Przewodnik opisuje dwie metody szacowania niepewności standardowej: metodę A i metodę 

B. Metoda typu A wykorzystuje statystyczną analizę serii wyników pomiaru. Stosujemy ją w sytuacji, 
gdy  wykonaliśmy  w  tych  samych  warunkach  serię  co  najmniej  5.  pomiarów  i  wyniki  tej  serii  nie  są 
identyczne.  Metodę  B  oceny  niepewności  standardowej  stosujemy  wówczas,  gdy  zastosowanie 
metody A opartej na analizie statystycznej nie jest możliwe, np. wówczas, gdy  

•

 

Dysponujemy zbyt małą liczbą wyników pomiarów (w szczególnym przypadku tylko jednym).  

•

 

Wyniki  pomiarów  nie  wykazują  rozrzutu  (taka  sytuacja  ma  miejsce  wówczas,  gdy  wpływ 
czynników losowych na wyniki pomiaru jest dużo mniejszy od dokładności użytego przyrządu 
pomiarowego). 

W  szczególności  metoda  B  znajduje  zastosowanie  do  oceny  niepewności  wynikającej  z  dokładności 
użytego przyrządu pomiarowego. 

3.2

 

Niepewność rozszerzona 

W  szczególnych  przypadkach,  zwłaszcza  wtedy,  gdy  od  wyniku  pomiaru  zależy  zdrowie  lub 

bezpieczeństwo  ludzi  lub  koszty  popełnienia  błędu  są  duże  z  innych  powodów,  konieczne  jest 
podawanie  niepewności  określającej  przedział  obejmujący  znaczną  (większą  niż  w  przypadku 
niepewności  standardowej)  część  uzyskiwanych  w  wyniku  pomiaru  wartości.  Taką  niepewność 
nazywamy  niepewnością  rozszerzoną  i  oznaczamy  dużą  literą 

%.  Niepewność  rozszerzoną  liczymy 

mnożąc niepewność standardową przez współczynnik rozszerzenia 

&: 

%( ) = & ∙ ( ). 

Współczynnik rozszerzenia zawiera się zwykle w granicach od 2 do 3. Najczęściej przyjmuje się 

& = 2. 

W przypadku, gdy rozkład naszej zmiennej losowej jest rozkładem Gaussa, niepewność rozszerzona 
ze  współczynnikiem  rozszerzenia  równym  2  określa  przedział,  który  obejmuje  ok.  95%  wszystkich 
wyników  pomiarów.  Podając  niepewność  rozszerzoną  powinniśmy  podać  również  wartość 
współczynnika rozszerzenia. 

4.

 

Pomiary bezpośrednie i pośrednie 

Pomiary  możemy  podzielić  na 

bezpośrednie

  i 

pośrednie

.  Wykonując  pomiar  bezpośredni 

porównujemy mierzoną wielkość wprost z jej miarą wzorcową (jednostką) zrealizowaną za pomocą 
przyrządu  pomiarowego  (mówiąc  prościej  odczytujemy  wartość  mierzoną  wprost  z  przyrządu 
pomiarowego).  Przykładem  może  być  pomiar  szerokości  kartki  papieru  za  pomocą  miarki 
milimetrowej (linijki), pomiar czasu trwania jakiegoś zjawiska za pomocą stopera lub pomiar napięcia 
elektrycznego za pomocą woltomierza.  

                                                           

5

 Odchylenie standardowe jest pojęciem statystycznym. Ogólnie mówiąc jest to miara rozrzutu statystycznego 

wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej. 

6

 Od angielskiego słowa uncertainty (niepewność). 

7 

W pomiarze pośrednim wykonujemy pomiary (bezpośrednie lub pośrednie) innych wielkości 

fizycznych,  takich,  które  wiążą  się  z  naszą  wielkością  fizyczną  znaną  nam  zależnością  funkcyjną. 
Przykładem  może  być  pomiar  objętości  V  kuli  poprzez  pomiar  (bezpośredni)  jej  średnicy  d  i 

skorzystanie  ze  wzoru  na  objętość  kuli: 

) =

*+

,

-

,  czy  pomiar  wartości  przyspieszenia  ziemskiego  g 

poprzez  pomiar  długości  l  tzw.  wahadła  prostego  oraz  jego  okresu  T,  a  następnie  skorzystanie  ze 

wzoru  (w  tym  przypadku  przybliżonego)  na  okres  drgań  harmonicznych  tego  wahadła 

. = 2/0

1

2

, 

skąd dostajemy: 

3 =

4*

5

1

6

5

. 

5.

 

Obliczanie niepewności pomiarów bezpośrednich 

5.1

 

Obliczanie niepewności standardowej metodą A  

Załóżmy,  że  wykonaliśmy  serię 

7 ≥ 5  pomiarów  wielkości    i  otrzymaliśmy  wyniki 

:

,

<

, … ,

>

.  Jako 

estymatę

  (oszacowanie)  wartości  wielkości  mierzonej  przyjmujemy  średnią 

arytmetyczną wyników pomiaru: 

̅ =

1

7 A

B

>

BC:

. 

Niepewność standardową wynikającą z zaobserwowanego rozrzutu statystycznego wyników pomiaru 
liczymy ze wzoru

7

: 

D

( ) = E

∑ (

B

− ̅)

<

>

BC:

7(7 − 1) .

 

5.2

 

Obliczanie niepewności standardowej metodą B 

5.2.1

 

 Opis ogólny 

a)

 

Oceniamy  granice  przedziału  (granicznego),  w  których  według  naszej  wiedzy  mieszczą  się 
aktualne  i  ewentualne  przyszłe  wyniki  pomiarów.  Niech 

Δ   oznacza  połowę  szerokości 

przedziału granicznego. 

b)

 

Środek przedziału granicznego jest (najczęściej) estymatą wartości wielkości mierzonej. 

c)

 

Przyjmujemy  uproszczony  rozkład  prawdopodobieństwa  wyników  pomiaru  na  przedziale 
granicznym.  Najczęściej  jest  to  rozkład  prostokątny  lub  trójkątny  symetryczny,  zależnie  od 
sytuacji.  Rozkład  prostokątny  przyjmujemy,  jeśli  według  nas  każdy  wynik  pomiaru  w 
przedziale  granicznym  jest  równie  prawdopodobny,  a  rozkład  trójkątny  wtedy,  gdy 
prawdopodobieństwo wyników w pobliżu środka przedziału jest największe i spada do zera w 
miarę zbliżania się do granic przedziału. 

d)

 

Dla rozkładu prostokątnego, niepewność standardowa wyznaczona metodą B wynosi 

H

( ) =

Δ
√3

. 

                                                           

7

 Jest to estymata wartości tzw. odchylenia standardowego średniej arytmetycznej. 

8 

e)

 

Dla rozkładu trójkątnego, niepewność standardowa wyznaczona metodą B wynosi 

H

( ) =

Δ
√6

. 

5.2.2

 

 

Obliczanie  niepewności  standardowej  wynikającej  z  dokładności  przyrządu 

pomiarowego 

Proste analogowe przyrządy pomiarowe (np. przymiar kreskowy) 

W tym przypadku szacujemy naszą zdolność odczytu wyniku pomiaru ze skali przyrządu, np. 

1/2,  1/4,  1/5  (najczęściej  1/2)  najmniejszej  działki  przyrządu.  Stanowi  to  jednocześnie  połowę 
szerokości przedziału granicznego. Następnie postępujemy tak, jak opisano w punkcie 5.2.1. 

Analogowe elektryczne przyrządy pomiarowe (np. woltomierz analogowy) 

Na niepewność pomiaru składają się dwa czynniki: niepewność odczytu położenia wskazówki 

i niepewność wynikająca z wzorcowania przyrządu przez producenta. Pierwszy wkład do niepewności 
obliczamy  tak  jak  opisano  w  poprzednim  punkcie.  Oznaczmy  ten  składnik  niepewności  przez 

KLMNM

( ). Drugi obliczamy na podstawie znajomości tzw. klasy przyrządu & i zakresu pracy przyrządu 

O. Niepewność standardową związaną z tym czynnikiem liczymy ze wzoru 

P1QRQ

( ) =

& ∙ O

100  ∙ √3

 

Oba  wkłady  do  niepewności  sumujemy  zgodnie  z  regułą  składana  niepewności  standardowych  i 
ostatecznie niepewność pomiaru analogowym, elektrycznym przyrządem pomiarowym wynosi: 

H

( ) = 0

RPQ1Q

<

+

P1QRQ

<

. 

Cyfrowe przyrządy pomiarowe 

Obliczenia rozpoczynamy od wyznaczenia połowy szerokości przedziału granicznego. Robimy 

to  korzystając  ze  wzoru  podanego  przez  producenta  przyrządu.  Wzór  podawany  przez  producenta 
zależy  od:  funkcji  przyrządu  (np.  pomiar  napięcia  stałego  DC  V)  i  zakresu  przyrządu  w  momencie 
pomiaru (np. 2000 mV). Wzór może mieć postać: 

±(0.05%rdg + 3dgt) 

lub 

±0.5% of rdg  ± 2D 

Symbol rdg oznacza odczytaną z wyświetlacza wartość wielkości mierzonej. Symbol dgt lub D oznacza 
rozdzielczość przyrządu, czyli wartość odpowiadającą ostatniej pozycji na wyświetlaczu. Rozdzielczość 
przyrządu  zależy  od  zakresu  na  jakim  pracuje  przyrząd  w momencie  pomiaru. Np.  jeśli  wyświetlacz 
przyrządu może wyświetlać 4 cyfry, to na zakresie 2000 mV – dgt=1 mV, a jeśli może wyświetlać 5 
cyfr, to na zakresie 2000 mV – dgt=0,1 mV). 

Sposób wykorzystania wzorów producenta pokazuje poniższy przykład.  
Wykonano  pomiar  cyfrowym  miernikiem  ustawionym  na  funkcję  pomiaru  oporności  elektrycznej  i 
pracującym na zakresie 2000 Ω. Rozdzielczość przyrządu na tym zakresie wynosi 1 Ω. Z wyświetlacza 
przyrządu odczytano wynik pomiaru: 1562 Ω. Załóżmy, że w warunkach wykonywania pomiaru wzór 
na  dokładność  pomiaru  podany  przez  producenta  ma  postać   

±0.8% of rdg  ± 2D.  Wobec  tego 

połowa szerokości przedziału granicznego wynosi: 

Δ\ =

0,8

100 ∙ 1562 Ω + 2 ∙ 1 Ω ≈ 14,496 Ω.

 

9 

Zakładamy,  że  na  przedziale  granicznym  rozkład  naszej  zmiennej  losowej  jest  rozkładem 
prostokątnym, a zatem niepewność standardowa pomiaru oporności 

\ wynosi 

(\) =

14,496 Ω

√3

≈ 8,4 Ω. 

6.

 

Sumowanie składników niepewności 

Niepewność  wyniku  pomiaru  na  ogół  składa  się  z  szeregu  składników.  Każdy  z  nich 

przedstawiamy w postaci niepewności standardowej. Niektóre z nich mogą być wyznaczone metodą 
A, a inne metodą B. Po ich wyliczeniu musimy je zsumować. Sumowanie niepewności standardowych 
wykonujemy sumując kwadraty tych niepewności, a następnie pierwiastkując otrzymaną sumę. Jeśli 
np.  obliczyliśmy  metodą  A  niepewność 

D

( )  uwzględniającą  rozrzut  statystyczny  wartości 

mierzonych   oraz metodą B, niepewność 

H

( ) wynikającą z dokładności użytego przyrządu i są to 

jedyne składniki niepewności, to ostatecznie niepewność standardowa pomiaru wyniesie 

( ) = 0

D

<

( ) +

H

<

( ). 

7.

 

Obliczanie niepewności pomiarów pośrednich 

Niech  wielkość  fizyczna 

a,  mierzona  pośrednio,  jest  powiązana  z  innymi  wielkościami 

fizycznymi 

b

:

, b

<

, … , b

c

 związkiem 

a = d(b

:

, b

<

, … , b

c

). 

Wykonujemy  pomiary  wielkości 

b

:

, b

<

, … , b

c

  znajdujemy  estymaty  ich  wartości 

:

,

<

, … ,

c

  oraz 

niepewności standardowe tych estymat 

(

:

), (

<

), … (

c

).  

Estymatę  wartości  wielkości 

a  znajdujemy  wstawiając  do  powyższego  związku  estymaty  wartości 

wielkości 

b

:

, b

<

, … , b

c

: 

e = d(

:

,

<

, … ,

c

). 

Niepewność  standardową  pomiaru,  nazywaną  złożona  niepewnością  standardową  wyliczamy  ze 
wzoru

8

: 

f

(e) = gA(h

B

(

B

))

<

c

BC:

, 

gdzie 

h

B

, są tzw. współczynnikami wrażliwości, które są wartościami pochodnych cząstkowych funkcji 

d po poszczególnych zmiennych w punkcie 

:

,

<

, … ,

c

, czyli 

h

B

≡

jd

j

B

k

l

m

,l

5

,…,

n

. 

Przypadki szczególne 

a)

 

 

e = d(

:

,

<

, … ,

c

) =

: :

+

< <

+

o o

+ ⋯ = A

B B

>

BC:

. 

                                                           

8

 Zakładamy, że wszystkie wielkości 

b

:

, b

<

, … , b

c

 są niezależne (nieskorelowane). 

10 

Wówczas 

h

B

=

B

, a zatem 

(e) = gA(

B

(

B

))

<

c

BC:

, 

b)

 

   

e = d(

:

,

<

, … ,

c

) = q ∙

:

r

m

∙

<

r

5

∙ … ∙

c

r

n

= q s

B

r

t

>

BC:

. 

Wówczas 

h

B

= e

r

t

l

t

, a zatem 

(e) = |e| ∙ Evw

:

(

:

)

:

x

<

+ vw

<

(

<

)

<

x

<

+ ⋯ + vw

c

(

c

)

c

x

<

. 

8.

 

Zapis wyników pomiarów 

8.1

 

Zaokrąglanie wyników 

Po  obliczeniu  estymaty  wartości  wielkości  mierzonej  i  niepewności  pomiaru,  musimy 

zaokrąglić  otrzymane  liczby.  Zaokrąglanie  wyniku  pomiaru  zaczynamy  od  zaokrąglenia  niepewności 
pomiaru.  Niepewność  pomiaru  zaokrąglamy  zawsze  do  drugiej  cyfry  znaczącej,  czyli  drugiej  cyfry 
(licząc  od  lewej  strony)  różnej  od  zera.  Następnie  zaokrąglamy  estymatę  wartości  wielkości 
mierzonej.  Zaokrąglamy  ją  do  tego  samego  miejsca  rozwinięcia  dziesiętnego,  do  którego 
zaokrągliliśmy niepewność. 

UWAGA: 

Jeżeli po zaokrągleniu niepewności, jej drugą cyfrą znaczącą jest zero, to należy ją zapisać. 

Podobnie jest z zaokrągleniem wartości mierzonej. Jeśli jej ostatnią cyfrą (lub ostatnimi cyframi) jest 
zero, to należy ją (należy je) zapisać. 

8.2

 

Formy podawania wyniku 

Zapisując wynik pomiaru musimy podać zarówno estymatę wartości wielkości mierzonej, jak i 

niepewność  pomiaru.  Obowiązkowo  musimy  podać  jednostki,  w  jakich  podajemy  obie  wartości. 
Wynik  pomiaru  nie  musi  być  podawany  w  jednostkach  podstawowych  układu  SI.  Jeśli  czytelniejszy 
będzie  zapis  w  jednostkach  wtórnych  np.  w  g/cm

3

  zamiast  w  kg/m

3

  albo  w  μm  zamiast  w  m,  to 

powinniśmy użyć jednostek wtórnych.  

Jeśli podawaną miarą niepewności pomiaru jest niepewność standardowa, to możemy podać 

wynik pomiaru w postaci: 

3 = 9,88  m s

<

⁄ ,  (3) = 0,35  m s

<

⁄  

lub w tzw. postaci skróconej 

3 = 9,88(35) m s

<

⁄ . 

Cyfry zapisane w nawiasie, w skróconej postaci zapisu, są dwiema znaczącymi cyframi niepewności, 
które  pozostały  po  zaokrągleniu.  Pozycje  dziesiętne  tych  cyfr  odpowiadają  pozycjom  dziesiętnym 
ostatnich  cyfr  wartości  wielkości mierzonej  podanej przed  nawiasem. W  nawiasie  nie  umieszczamy 
przecinka. Jeśli np. mamy wynik: 

{ = 533,8 m,  ({) = 1,2 m, 

11 

to zapis skrócony będzie miał postać: 

533,8(12) m. 

UWAGA: 

W zapisie skróconym w nawiasie znajdują się zawsze dwie cyfry, przy czym pierwsza z nich 

nie może być zerem (jest to konsekwencja reguły zaokrąglania niepewności).  

Jeśli podawaną miarą niepewności pomiaru jest niepewność rozszerzona, to możemy podać 

wynik pomiaru w postaci: 

3 = 9,88  m s

<

⁄ , %(3) = 0,70  m s

<

⁄ , & = 2 

lub w postaci 

3 = (9,88 ± 0,70) m s

<

⁄ , & = 2. 

UWAGI:  

1)

 

Zapis  skrócony  z  zapisem  dwóch  cyfr  niepewności  w  nawiasach  stosujemy  tylko  dla 
niepewności standardowej.  

2)

 

Zapis z użyciem symbolu 

± stosujemy tylko dla niepewności rozszerzonej. 

3)

 

Zgodnie  z  Rozporządzeniem  Rady  Ministrów  z  dnia  30  listopada  2006  r.  w  sprawie 
legalnych jednostek miar: 

a.

 

przy zapisywaniu wartości wielkości należy zostawić odstęp między wartością liczbową 
a oznaczeniem jednostki miary. Wyjątkiem są oznaczenia jednostki miary kąta: stopnia, 
minuty i sekundy. 

b.

 

nazwę  jednostki  miary  pisze  się  małą  literą

9

,  jeżeli  ogólne  reguły  pisowni  polskiej  nie 

stanowią inaczej

10

.  

c.

 

w druku jednostki piszemy czcionką prostą. 

d.

 

nazwy  jednostek  miar  odmienia  się  zgodnie  z  zasadami  deklinacji  polskiej,  np.  100 
gramów, a nie 100 gram. 

Oprócz niepewności standardowej lub rozszerzonej dobrze jest podać również bezwymiarową miarę 
niepewności, np. standardową niepewność względną procentową wyliczoną ze wzoru: 

( )

∙ 100. 

Niepewność względną zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących. 

 

                                                           

9

 Np. gram, metr, sekunda, niuton, tesla, amper, ale w skrótach g, m, s, N, T, A. 

10

 Np. w zdaniu „Metr jest jednostką długości w układzie SI” – metr jest napisany z dużej litery, gdyż słowo to 

rozpoczyna zdanie. 

12 

8.3

 

Przykłady zaokrągleń i zapisów wyniku 

Wartość 

zmierzona 

przed 

zaokrągleniem 

Niepewność pomiaru 

Wartość zmierzona 

po zaokrągleniu 

Zapis wyniku w wersji 

skróconej 

przed 

zaokrągleniem 

po zaokrągleniu 

7,34553 V 

0,02876 V 

0,029 V 

7,346 V 

% = 7,346(29) V 

1356,033 mT 

18,761 mT 

19 mT 

1356 mT 

~ = 1356(19) mT 

1000,023 kg/m

3 

0,9952 kg/m

3

 

1,0 kg/m

3

 

1000,0 kg/m

3

 

€ = 1000,0(10) kg/m

o

 

0,0880134 mm 

0,0035872 mm 

0,0036 mm 

0,0880 mm 

= 0,0880(36) mm 

342753,22 Pa 

1388,201 Pa 

14 hPa 

3428 hPa 

= 3428(14) hPa 

34,999 Hz 

0,22345 Hz 

0,22 Hz 

35,00 Hz 

d = 35,00(22) Hz 

9.

 

Uśrednianie wyników 

Czasami  zdarza  się,  że  dysponujemy  kilkoma  wynikami  pomiaru,  tzn.  mamy  kilka  estymat 

wartości  wielkości  mierzonej  oraz  ich  niepewności,  np. 

:

,

:

( ),

<

,

<

( ) … ,

>

,

>

( )  i  chcemy 

uśrednić  te  wyniki,  tzn.  znaleźć  jedną,  uśrednioną  estymatę  wartości  wielkości  mierzonej  i  jej 
niepewność 

, ( ).  Musimy  przy  tym  uwzględnić  fakt,  że  estymaty  o  niższej  niepewności  są 

ważniejsze od tych z większymi niepewnościami. Dlatego zamiast średniej arytmetycznej powinniśmy 
policzyć  tzw.  średnią  ważoną  z  wagami  faworyzującymi  wyniki  pomiarów  o  niższej  niepewności. W 
tym przypadku najodpowiedniejszą będzie średnia ważona liczona według wzoru 

=

∑

B B

…<

( )

>

BC:

∑

B

…<

( )

>

BC:

. 

Niepewność standardowa takiej średniej ważonej wyraża się wzorem 

( ) =

1

0∑

B

…<

( )

>

BC:

. 

10.

 

Opracowywanie wyników pomiaru wielkości zależnych 

10.1

 

Graficzna prezentacja wyników 

Niekiedy  dokonujemy  pomiaru  jakiejś  wielkości  fizycznej  w  funkcji  innej  wielkości,  np.  opór 

elektryczny przewodnika w funkcji temperatury, natężenie oświetlenia w funkcji odległości od źródła 
światła itp. Wyniki takich pomiarów powinniśmy przedstawić za pomocą wykresu. 

W  dobie  komputerów  rzadko  kto  rysuje  jeszcze  wykresy  ręcznie  na  papierze  milimetrowym, 

jednak  nawet  używanie  programów  komputerowych  do  tworzenia  wykresów  nie  zwalnia  nas  z 
obowiązku stosowania zasad rysowania wykresów, zwłaszcza w przypadku używania programów, w 
których  użytkownik  sam  decyduje  o  wielu  elementach  wykresu.  Te  zasady  można  ująć  w 
następujących punktach: 

•

 

Wykres musi mieć opis (tytuł), który wyjaśnia, co ten wykres przedstawia. 

•

 

Każda z osi wykresu musi być opisana. W opisie znajduje się nazwa lub symbol zmiennej, 
której oś dotyczy oraz jednostka, w której oś jest wyskalowana. 

13 

•

 

Należy odpowiednio dobrać skale na osiach oraz początek układu współrzędnych tak, aby 
wykres pokrywał znaczną część kartki w obu kierunkach (osie układu współrzędnych nie 
muszą na wykresie zaczynać się od zera). 

•

 

Na  osiach  nanosimy  skalę  w  postaci  równooddalonych  opisanych  kresek 
odpowiadających czytelnym wartościom (np. 1, 2, 3 itd., a nie np. 1,24; 2,48; 3,62 itd.). 

•

 

Nie nanosimy na osiach kresek odpowiadających współrzędnym punktów pomiarowych! 

•

 

Punkty  pomiarowe  nanosimy  w  postaci  wyraźnych  znaków  graficznych,  takich  jak 
krzyżyki, kółka, kwadraty itp. (punkt pomiarowy powinien leżeć w geometrycznym środku 
danej figury). 

•

 

Jeśli na jednym arkuszu rysujemy kilka wykresów, wówczas punkty należące do każdego z 
nich oznaczamy w inny sposób (innym kolorem lub inną figurą). 

•

 

Wokół punktów pomiarowych (wszystkich lub najbardziej charakterystycznych) nanosimy 
prostokąty niepewności. 

•

 

Ostatnią  czynnością  jest  wykreślenie  krzywej.  Robimy  to  za  pomocą  przeźroczystych 
krzywików  i/lub  linijek)  w taki  sposób,  aby  otrzymać  gładką krzywą  przechodząca  przez 
prostokąty niepewności. Liczby punktów pomiarowych leżących o obu stronach krzywej 
powinny być zbliżone do siebie. 

Przykład źle i poprawnie sporządzonego wykresu pokazano na rysunku 7.1. 

 

 

(a) 

(b) 

Rys. 10.1. Przykład źle (a) i dobrze (b) narysowanego wykresu zależności oporu elektrycznego od 
temperatury. Oba wykresy powstały na tych samych punktach pomiarowych. 

10.2

 

Regresja liniowa 

Załóżmy, że między mierzonymi wielkościami 

, e występuje zależność linowa 

e =

+ . 

Graficznym  obrazem  tej  zależności  jest  prosta  o  współczynniku  nachylenia    przecinająca  oś 

rzędnych  w  punkcie  .  Parametry 

,   mają  na  ogół  interpretację  fizyczną.  Na  przykład  zależność 

napięcia na oporniku 

% od natężenia prądu  , zgodnie z prawem Ohma ma postać % = \ . W tym 

przypadku współczynnik kierunkowy prostej ma łatwą fizyczną interpretację – jest on równy oporowi 
elektrycznemu  opornika  i,  jeśli  napięcie  podamy  w  woltach,  a  prąd  elektryczny  w  amperach,  to 
współczynnik  kierunkowy  naszej  prostej  będzie  wielkością  wyrażoną  w  omach.  W  większości 
przypadków  interpretacja  fizyczna  parametrów  a  i  b  prostej  jest  bardziej  złożona.  Na  przykład 

14 

zależność między niewielkim wydłużeniem drutu o długości początkowej 

{ i średnicy † od wartości 

przyłożonej do drutu siły 

‡ ma zgodnie z prawem Hook’a postać  

Δ{ =

4{

/†

<

ˆ ∙ ‡,

 

gdzie 

ˆ  jest  modułem  Younga  materiału,  z  którego  wykonany  jest  drut.  A  zatem  współczynnik 

kierunkowy   prostej 

‰{ = ‡  jest równy 

=

4{

/†

<

ˆ.

 

Wykonując  pomiary  długości  i  średnicy  drutu  oraz  jego  wydłużenia  dla  różnych  sił,  możemy  po 
wyznaczeniu współczynnika   obliczyć moduł Younga materiału, z którego wykonano drut 

ˆ =

4{

/†

<

. 

Parametry 

,   prostej  dopasowującej  punkty  pomiarowe  dwóch  wielkości  zależnych  od  siebie 

liniowo  możemy  oszacować  metodą  graficzną  rysując  na  oko  prostą  przechodzącą  możliwie  blisko 
punktów pomiarowych (wśród punktów pomiarowych nieleżących bezpośrednio na tej prostej, mniej 
więcej  połowa  z  nich  powinna  znajdować  się  nad,  a  połowa  pod  prostą).  Do  oszacowania 
niepewności  parametrów    i    musimy  na  wykres  nanieść  dwie  skrajne  proste  oparte  na 
wierzchołkach  skrajnych  prostokątów  błędów.  Taka  metoda  da  nam  jednak  bardzo  niedokładne 
oszacowanie  parametrów  prostej  i  ich  niepewności.  Znacznie  lepszą  metodą  szacowania  wartości 
parametrów  funkcji  dopasowywanej  do  punktów  pomiarowych  jest  tzw. 

metoda  najmniejszych 

kwadratów

. Zgodnie z tą metodą najlepszymi parametrami naszej funkcji będą takie parametry, dla 

których suma kwadratów odchyleń wartości tej funkcji i wartości zmierzonych będzie minimalna. W 
przypadku funkcji liniowej staramy się tak dobrać parametry 

, , aby zminimalizować funkcję

11

 

d( , ) = A(

B

+ − e

B

)

<

>

BC:

= minimum. 

Spełnienie tego warunku dostajemy dla wartości 

,  wyliczonych według następujących wzorów 

=

7 ∑

B

e

B

>

BC:

− ∑

B

>

BC:

∑ e

B

>

BC:

7 ∑

B

<

>

BC:

− ‹∑

B

>

BC:

Œ

<

,  = e• − ̅, 

gdzie 

̅ =

:
>

∑

B

>

BC:

  i  

e• =

:
>

∑ e

B

>

BC:

. 

Niepewności standardowe obu parametrów wyliczamy ze wzorów 

( ) = E

7

7 − 2 ∙

∑ (

B

+ − e

B

)

<

>

BC:

∑

B

<

>

BC:

− ‹∑

B

>

BC:

Œ

<

,  ( ) = ( ) ∙ g

1

7 ∙ A

B

<

>

BC:

. 

W  szczególnym  przypadku  zależność  liniowa  ma  postać 

e = .  W  takim  przypadku  wzory  na 

współczynnik   i jego niepewność standardowa przyjmują następującą postać 

                                                           

11

  Kryterium  daje  nam  najlepsze  (w  sensie  metody  najmniejszych  kwadratów)  oszacowanie  parametrów 

dopasowania  przy  założeniu,  że  wszystkie  punkty  pomiarowe  są  obarczone  jednakowymi  błędami 
przypadkowymi o rozkładzie Gaussa, a błędy systematyczne są małe w porównaniu z błędami przypadkowymi. 

15 

=

∑

B

>

BC:

∑ e

B

>

BC:

∑

B

<

>

BC:

,  ( ) = E

1

7 − 1 ∙

∑ e

B

<

− ∑

B

∑ e

B

>

BC:

>

BC:

>

BC:

∑

B

<

>

BC:

. 

W  przypadku  wielu  funkcji  nieliniowych  jesteśmy  w  stanie  dokonać  transformacji,  po  których 
dostaniemy  zależność  liniową,  do  której  będziemy  mogli  zastosować  opisaną  wyżej  metodę.  Na 
przykład Jeśli mamy zależność  

e( ) =

<

+ , 

to po wprowadzeniu pomocniczej zmiennej 

w( ) = 1

<

⁄  dostaniemy zależność liniową 

e(w) = w + . 

Przy  czym  interesujące  nas  parametry 

,   nowej  zależności  są  takie  same  jak  naszej  zależności 

podstawowej. W innych sytuacjach otrzymana po transformacji zależność może mieć inne parametry, 
które jednak będą w prosty sposób wiązać się z naszymi parametrami 

, . 

Musimy  pamiętać,  że  metoda  najmniejszych  kwadratów  wyliczy  parametry  dopasowania  Gaussa 
nawet w przypadku, gdy faktyczna zależność między mierzonymi wielkościami jest inna niż założona 
przez nas. W takim przypadku krzywa „dopasowana” wcale nie musi przebiegać w pobliżu punktów 
pomiarowych. Przykład takiej sytuacji pokazano na Rysunku 10.2 a. 

 

 

(a) 

(b) 

Rys.  10.2.  Przykład  źle  (a)  i  dobrze  (b)  dobranej  zależności  oporu  elektrycznego  termistora  od 
temperatury.  

11.

 

Przykłady obliczeń i zapisu wyników pomiaru 

Przykład 1. 

Wykonano 3 pomiary szerokości 

{ kartki papieru i uzyskano za każdym razem ten sam wynik 

210,5 mm.  Pomiar  wykonywano  przymiarem  kreskowym,  którego  najmniejsza  działka  jest  równa 
1 mm.  Zarówno  liczba  pomiarów,  jak  i  fakt  ich  powtarzalności  sprawia,  że  niepewność  pomiaru  
możemy  obliczyć  jedynie  metodą  B.  W  tym  przypadku  będzie  to  niepewność,  którego  jedynym 
źródłem  jest  dokładność  użytego  przyrządu  i  zdolności  percepcyjnych  osoby  wykonującej  pomiar. 
Załóżmy, że osoba ta uważa, że była w stanie oszacować położenie krawędzi kartki z dokładnością do 
¼  działki  skali  przyrządu,  czyli  0,25  mm.  A  zatem  osoba  ta  uważa,  że  szerokość  kartki  mieści  się 
pomiędzy 210,25 mm, a 210,75 mm, przy czym wynik 210,50 mm jest bardziej prawdopodobny niż 
wartości skrajne. Innymi słowy osoba przyjęła przedział graniczny, którego połowa szerokości wynosi 
0,25  mm,  a  rozkład  prawdopodobieństwa  wewnątrz  tego  przedziału  jest  rozkładem  trójkątnym. 
Wynika stąd, że niepewność standardowa pomiaru wynosi: 

({) =

0,25 mm

√6

≈ 0,102 mm. 

16 

Niepewność zaokrąglamy do 2 cyfr znaczących, czyli 

({) = 0,10 mm. 

Niepewność pomiaru w mm zapisana jest do drugiego miejsca po przecinku. Do tego samego miejsca 
musimy zapisać wartość zmierzoną. Będzie to 210,50 mm. Wynik pomiaru możemy zapisać w postaci: 

{ = 210,50 mm,  ({) = 0,10 mm 

lub w postaci skróconej: 

{ = 210,50(10) mm. 

Zwróćmy  uwagę  na  konieczność  podania  wartości  zmierzonej  w  postaci  210,50  zamiast  210,5.  Ten 
obowiązek jest wyraźnie zrozumiały w zapisie skróconym, gdyż zapis 

{ = 210,5(10) mm oznaczałby, 

że niepewność standardowa wynosi 

({) = 1,0 mm! 

Standardowa niepewność procentowa wynosi: 

Ž

1

=

({)

{ ∙ 100% =

0,10 mm

210,50 mm ∙ 100% ≈ 0,048 %

 

Przykład 2. 

Za pomocą stopera mechanicznego o dokładności 0,2 s, wykonano 5 pomiarów czasu trwania 

10. pełnych wychyleń wahadła. Otrzymane wartości podano w tabeli: 

l.p. 

t=10T [s] 

1 

14,6 

2 

14,4 

3 

14,6 

4 

14,6 

5 

14,2 

 

Wyniki pomiaru różnią między sobą i jest ich 5, a zatem możemy zastosować metodę A oszacowania 
niepewności pomiaru. Średnia arytmetyczna wynosi: 

•̅ = 14,480 s. 

Niepewność standardowa liczona metodą A wynosi 

D

(•) = 0,0800 s. 

Drugim składnikiem niepewności jest niepewność związana z dokładnością przyrządu pomiarowego. 
W naszym przypadku był to stoper mechaniczny. Wskazówka takiego stopera przeskakuje co 0,2 s. 
Ponieważ przez ok. 0,2 s wskazówka jest nieruchoma, to odczyt czasu np. 14,6 s oznacza, że mierzony 
odcinek czasu mieści się w przedziale o szerokości 0,2 s. Ponadto możemy założyć, że środkiem tego 
przedziału jest odczytana przez nas wartość oraz, że każda z wartości w tym przedziale jest równie 
prawdopodobna. Wynika z tego że połowa szerokości przedziału granicznego wynosi 

0,2 s 2

⁄ = 0,1 s, 

a rozkład prawdopodobieństwa na tym przedziale jest rozkładem prostokątnym. A zatem niepewność 
standardowa wyznaczona metodą B, związana z dokładnością przyrządu pomiarowego wynosi: 

17 

H

(•) =

0,1 s

√3

≈ 0,0577 s. 

Sumując oba składniki niepewności pomiaru dostajemy 

(•) = •0,0800

<

+ 0,0577

<

s ≈ 0,0879 s. 

Po zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących niepewność pomiaru jest równa 

(•) = 0,088 s. 

Skrócony zapis wyniku pomiaru ma postać 

•̅ = 14,480(88)s. 

Jeśli w tym przykładzie interesuje nas czas pojedynczego okresu, to musimy skorzystać ze związku 

. =

•

10.

 

Stąd  

.• =

14,480 s

10

= 1,4480 s. 

Zaś  niepewność  standardową  wyliczymy  ze  wzoru  (patrz  przypadek  (a)  w  rozdziale  Pomiary 
pośrednie): 

(.) = Ev

1

10 ∙ (•)x

<

=

(•)

10 = 0,0088 s.

 

Ostatecznie 

.• = 1,4480(88)s. 

Standardowa niepewność procentowa wynosi: 

Ž

6

=

0,0088 s

1,4480 s ∙ 100% = 0,61%.

 

Literatura 

[1]  Guide  to  the  Expression  of  Uncertainty  Measurement,  Pierwsze  wydanie  1993,  poprawione  w 

1995. International Organization for Standarization 1993. 

[2] Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik, Główny Urząd Miar 1999. 
[3] A. Zięba, Natura niepewności pomiaru a jego nowa kodyfikacja. Postępy Fizyki 52, z. 5 (2001). 
[4]  H.  Szydłowski,  Międzynarodowe  normy  oceny  niepewności  pomiarów.  Postępy  Fizyki  51,  z.  2 

(2000). 

[5] J. Kurzyk, Obliczanie niepewności i wyrażanie niepewności pomiaru – wersja dłuższa.  Dokument 

wewnętrzny IFPK, 2013.