1

REGRESJA  LINIOWA 

 

Jeżeli zmierzono obarczone tylko błędami przypadkowymi wartości  ( x

i

,  y

i

 ), i = 1, 2, ..., n dwóch różnych 

wielkości fizycznych X i Y, o których  wiadomo, że są związane ze sobą zależnością liniową  y  =  f(x), to 
najlepszym przybliżeniem współczynników A i B w równaniu y = Ax + B jest 

 

  

A

n

x y

x

y

i i

i

n

i

i

n

i

i

n

=

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟ −

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

⎡
⎣

⎢

⎤
⎦

⎥ ⋅

=

=

=

∑

∑

∑

1

1

1

1

Γ

,

           

B

x

y

x

x y

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

=

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟ −

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

⎡
⎣

⎢

⎤
⎦

⎥ ⋅

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

2

1

1

1

1

1

Γ

,

 

 

gdzie 

 

Γ =

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟ −

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

=

=

∑

∑

n

x

x

i

i

n

i

i

n

2

1

1

2

 

 

 

           Wielkości charakteryzujące zależność liniową zostały obliczone w oparciu o punkty doświadczalne, a te 
obarczone są  niepewnościami związanymi z wykonywanymi pomiarami. Dlatego współczynniki A i B też są 
wyznaczane z pewną dokładnością. Niepewności wielkości A i B obliczamy następująco: 

 

δ

σ

A

n

y

=

Γ

,

            

δ

σ

B

x

y

i

i

n

=

=

∑

2

1

Γ

,

 

 

gdzie 

 

(

)

σ

ε

y

i

i

i

n

i

i

y

Ax

B

n

n

=

−

−

−

=

−

=

∑

∑

2

1

2

2

2

 

 

 
UWAGA: 

 

1.  Aby narysować „prostą regresji liniowej” na papierze milimetrowym wybieramy dowolne ( względnie 

odległe od siebie) współrzędne  x

p

 i x

k 

  ( nie współrzędne punktów pomiarowych ! ), obliczymy 

odpowiadające im współrzędne y

p

 i y

k

 według równania  y = Ax + B  ( A i B już są znane ), nanosimy 

punkty o współrzędnych (x

p

,  y

p

) oraz ( x

k

,  y

k

 ) i  przez te punkty przeprowadzamy prostą. Punkty 

odpowiadające wynikom naszych pomiarów wraz z ich niepewnościami powinny rozkładać się 
równomiernie w pobliżu tej prostej i może się okazać, że żaden z naszych punktów pomiarowych nie 
leży na niej !

  

 

Znaczne odstępstwa ( ponad 30 % ) punktów pomiarowych od linii teoretycznej pozwalają 

przypuszczać,  że mierzone wielkości  nie są liniowo zależne. Wtedy też współczynnik korelacji 
znacznie różni się od jedności.  Jeśli te odstępstwa dotyczą małej ilości punktów pomiarowych  
usytuowanych w różnych częściach wykresu to przyjmujemy, że punkty te obarczone są tzw. błędem 
grubym. Takie punkty  odrzucamy, a dla pozostałych ponownie obliczmy wszystkie parametry prostej 
najlepszego dopasowania tzn. A, 

δ

A, B, 

δ

B oraz współczynnik korelacji R. 

 

 

2

 
 

2.  Wszystkie kalkulatory typu  „ SCIENTIFIC”, które wykonują obliczenia statystyczne jednej 

zmiennej, automatycznie obliczają sumy typu

∑ ∑

i

i

2

i

i

x

,

x

, gdzie i = 1,2,3,...n . Kalkulatory pozwalające 

wykonywać obliczenia statystyczne na dwóch zmiennych, obliczają także sumy typu 

y

y

x y

i

i

i

i

i

i

i

,

,

2

∑

∑

∑

. Możliwe więc jest wyznaczenie wszystkich parametrów prostej najlepszego 

dopasowania metodą regresji liniowej zwanej również metodą najmniejszych kwadratów. Przed 
obliczeniami sprawdzić w instrukcji dołączonej do kalkulatora, czy regresja jest liczona dla równania  
 y = Ax + B  czy dla  y = A + Bx.  Aby wyznaczyć niepewności współczynników   A i B przy pomocy 
kalkulatora wygodniej jest zastosować następujące przybliżenie 

 

ε

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

A

x y

B

y

2

2

≅

−

−

∑

∑

∑

∑

 

zamiast 

ε

i

i

i

i

i

y

Ax

B

2

2

=

−

−

∑

∑

(

)

 

            Procedura ta może wpłynąć na zmianę wartości 

σ

y

, która zależna jest od 

ε

i

i

2

∑

. W  konsekwencji  może  

            to spowodować zmianę wartości 

δA i δB choć wyrażenia pozostają takie same  

 
 

                                

δ

ε

A

n

n

i

i

=

−

∑

2

2

Γ

                         

δ

ε

B

n

x

i

i

i

i

=

−

∑

∑

2

2

2

Γ

 

 

W rozważanym przykładzie  

y

1

= f(x)

  z wzorów „wygodnych”  mamy 

 

ε

i

i

2

∑

 

≅ 469,8796 – 344,0643 – 124,6749 = 1,140437 

ε

i

i

n

2

2

1140437

3

0 6165595

∑

−

=

=

,

,

 

δA = 0,1992366                       δB = 0,6618653 

 

 

Na podstawie  wzorów „dokładnych” otrzymano 

 

(

)

,

,

y

Ax

B

n

i

i

i

−

−

−

=

=

∑

2

2

11404299

3

0 6165576

 

 

δA = 0,1992360                       δB = 0,6618633 

 

Widać,  że zgodność otrzymanych wielkości liczbowych jest bardzo dobra. Celowo zaniechano zaokrągleń.  
Równanie prostej najlepszego dopasowania będzie  

y

1

 = ( 2,1541 

±  0,1993)x + ( 2,707 ± 0,662 )    

               

Ten sposób obliczania niepewności 

δA i δB jest o wiele prostszy i szybszy lecz mniej dokładny. Może 

na przykład zawyżać wartości poszukiwanych wielkości 

δA i δB niezależnie od zaokrągleń

 różnych wielkości 

na poszczególnych etapach obliczeń. Poza tym, schematyczne stosowanie przybliżonej zależności

  

 

3

ε

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

A

x y

B

y

2

2

≅

−

−

∑

∑

∑

∑

  może prowadzić do bezsensownych wartości liczbowych wielkości  

ε

i

i

2

∑

 

( np. wartości ujemne 

!!! )  nawet przy dużej dokładności pomiarów i obliczeń. W przypadku, gdy przy 

obliczaniu   wyrażenia  przybliżonego  

ε

i

i

2

∑

 występuje  różnica  dwóch  dużych,  prawie  jednakowych  liczb,          

 należy koniecznie posłużyć się zależnością definicyjną  

ε

i

i

i

i

i

y

Ax

B

2

2

=

−

−

∑

∑

(

) . 

 

 
 

 

WSPÓŁCZYNNIK  KORELACJI 

 

 

 Współczynnik  korelacji  R jest miarą liczbową korelacji (związku, współzależności) zmiennych x

i

 i y

i

  

(i  = 1, 2, 3,...n) tworzących serie pomiarów wielkości X i Y. Z jednej strony służy do upewnienia się, czy 
mamy wystarczającą ilość n pomiarów wielkości x

i

 i y

i 

 by twierdzić, że zachodzi między nimi korelacja czyli 

zależność np. liniowa, wykładnicza, logarytmiczna. Z drugiej strony R jest miarą prawdopodobieństwa istnienia 
przyjętej (postulowanej) współzależności zmiennych x

i

  i  y

i

. Jeżeli związek między zmiennymi x

i

 i y

i

 jest 

liniowy,  y = f(x), to R nazywamy współczynnikiem korelacji liniowej, a współzależność między dwiema 
seriami pomiarów - korelacją liniową. Korelacja jest tym silniejsza, im większą wartość z przedziału [-1, +1 ] 
osiąga 

⎢R  ⎢. Duża wartość współczynnika  ⏐R⏐  świadczy o dużym prawdopodobieństwie postulowanego 

związku zmiennych x

i

 i y

i 

. W szczególności R = 

±0,95 oznacza prawdopodobieństwo równe 95% dla badanej 

współzależności. Tak więc,  może zachodzić korelacja liniowa pomiędzy punktami doświadczalnymi (x

i 

,  y

i

), 

lecz obarczona jest niepewnością względną wynoszącą 5%.

 

 Jeżeli R = 

± 1 mówimy o korelacji zupełnej, jeżeli 

R = 0 to mówimy o braku korelacji. Mała wartość współczynnika korelacji R może wskazywać na zbyt krótką 
serię pomiarów lub na inną, niż przyjęto, współzależność między wielkościami x

i

 i y

i

. W pierwszym przypadku 

przeprowadzamy pomiary uzupełniające, a w drugim, o ile nie przeczy to prawom rządzącym badanym 
związkiem między seriami pomiarów, sprawdzamy inną  korelację, np. krzywoliniową  zamiast liniowej. 
Informacje dotyczące regresji nieliniowej zawarte są w § 4.2. skryptu „Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, cz.I. 
Podstawy opracowania wyników pomiarów” OWPWr., Wrocław 1999 - P

OPRAWSKI 

R., S

ALEJDA 

W

. 

Jeżeli

 

natomiast wiadomo, że związek między wielkościami  x

i

  i  y

i

 ma charakter wykładniczy, to warto najpierw 

dokonać tzw. linearyzacji badanej zależności a następnie skorzystać z metody regresji liniowej. Więcej na ten 
temat można znaleźć w §3.3. wspomnianego skryptu.           
           Graniczne wartości 

⎢R ⎢w zależności od liczby pomiarów n, od których wzwyż można wnioskować o 

istnieniu współzależności, przedstawia poniższa tabela. 
 

n 

5  10 20 30 40 50 75 100 500 

1000 

10000

⎢R ⎢ 

0,99 0,84 0,64 0,53 0,47 0,42 0,35 0,30 0,14 0,10 0,03 

 
Rozumiemy ją następująco: jeżeli np. dla n = 10 otrzymano wartość współczynnika korelacji | R | nie mniej niż 
0,84, to przyjęty związek między wielkościami x

i

 i y

i 

jest poprawny, ale tylko w 84%. W związku z tym, nie 

można spodziewać się ułożenia wszystkich punktów pomiarowych na linii najlepszego dopasowania. 
 
 
 
 
 
 
 

 

4

 
 
           Wartości  średnie  x  i  y  zmiennych x

i

  i  y

i 

,  standardowe odchylenia pojedynczego pomiaru S

x

 i S

y 

,  

współczynnik korelacji R i parametry  prostej  y = Ax + B spełniają następujące relacje: 
 
 

A

R

S
S

y

x

=

 

 

 

 

B

y

Ax

= −

 

 

 

( )

S

x

n

x

i

i

=

−

∑

Δ

2

1

                       

( )

S

y

n

y

i

i

=

−

∑

Δ

2

1

 

 
 

                gdzie:  S

x

 i S

y 

 –  odchylenia standardowe pojedynczej wartości z serii pomiarów x

i 

i y

i 

,

  

                           

Δx  =  x

i

  -  

x ,       

                           

Δy 

i

 =  y

i

  -  y , 

                           x  i   y – wartości średnie serii x

i

  i  y

i

 , 

                           n – ilość pomiarów w seriach  x

i

  i  y

i

 . 

 
 
           W programie użytkowym  Excel przy wykonywaniu wykresów można określić współczynnik korelacji, 
jednak

 

niepewności współczynników A i B liczymy korzystając ze wzorów regresji liniowej, lub korzystając z 

programów „regresja”. Należy pamiętać,  że w przypadku mianowanych wielkości zmiennych x

i

 i y

i

 również  

współczynniki A, δA, B i δB są wielkościami mianowanymi – należy podawać wartości tych współczynników 
wraz z jednostkami !!!. 

Wskazane jest także podanie faktycznej zależności, dla której zastosowana będzie 

metoda regresji liniowej. Przykładowo rozważmy odkształcenia jednoosiowe (np. rozciąganie drutu), które w 
wąskim zakresie naprężeń podlegają prawu Hooke’a: 
 
                                   

                                       

S

F

L

L

E

0

=

Δ

, 

  
  
 

Jeśli ta zależność zostanie przybliżona funkcją liniową  y = Ax + B  to  x ≡ 

0

L

L

Δ

,  y  ≡ 

S

F

,  A ≡ E oraz  δA ≡ ΔE. 

Jeśli natomiast funkcją liniową przybliży się wyrażenie  E

m

L

g

L

S

0

≡

Δ

 to 

x  ≡  ΔL,  y  ≡  m    oraz    A  ≡ 

g

L

ES

0

.  

W tym przypadku moduł Younga, 

E, należy obliczyć na podstawie wartości liczbowych A, S, L

0

 

 

i  

g, a jego 

niepewność 

ΔE - na podstawie niepewności  δA,  ΔS,  ΔL

0

 

 

i 

  Δg. Obie metody są poprawne, jednak pierwsza 

pozwala bezpośrednio wyznaczyć szukany parametr 

E i niepewność  ΔE. Wymiary współczynników prostej 

regresji

 

( 

A, B ) w każdym z prezentowanych przykładów będą oczywiście różne.  

 
 
 
 
 

gdzie: 

L

O

 i  

S - wielkości stałe dla danego drutu ( długość  

                         początkowa i pole przekroju poprzecznego) 
           

F – siła powodująca naprężenie ( F = mg ), 

           

ΔL – wydłużenie drutu pod wpływem siły F, 

           

E – moduł Younga, poszukiwany parametr drutu.  

 

5

 
Przykład: 

Dokonano pomiarów o różnej precyzji. Wyniki pomiarów wielkości  

x

i

 i 

y

i

  zebrano w tabeli. 

       a)  tabela i wykres wykonane za pomocą programu Excel 
 

 

 

 

Lp

. 

x y

 = 

f

 ( 

x

 )

 

x 

y

1

 = f ( x ) 

 

 

 

 

 

1

 

1,12

 

5,25

 

1,12 5,25 

 

 

 

 

 

2

 

2,02

 

6,80

 

2,02 6,40 

 

 

 

 

 

3

 

2,95

 

8,99

 

2,95 9,49 

 

 

 

 

 

4

 

3,98

 

11,03

 

3,98 11,83 

 

 

 

 

 

5

 

5,03

 

13,09

 

5,03 13,09 

 

 

 
  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jak widać, dla funkcji  

y

1

 = 

f (x) 

 czyli 

y = 2,154 x + 2,707 

współczynnik korelacji  

R = 0,987

 jest za mały 

(dla 

n  = 5, współczynnik  R 

≥  0,99) czyli nie można powiedzieć ,że występuje liniowa zależność 

y  (x  )

. 

Należy  więc wykonać dodatkowe pomiary w innych , lub w tych samych punktach (zagęścić pomiary, 
powtórzyć wątpliwe lub/i rozszerzyć zakres pomiarowy). 
b

)  obliczenia wykonane na podstawie pomiarów 

y = f(x) ujętych w tabeli powyżej  za pomocą programu 

      regresja.zip znajdującego się w sieci internetowej pod adresem: 
                             http://www.if.pwr.wroc.pl/~dydaktyka/LPF/programy/index.htmi 
 

                 Współczynniki:                            

A = 2,036 E + 0 

 

       

B = 2,884 E + 0 

                 Niepewność współczynników: 

δA = 4,534 E – 2 

 

     

δB = 1,506 E – 1 

      c) obliczenia wykonane na podstawie pomiarów ujętych w tabeli w punkcie a) za pomocą programu 
           regresja.exe znajdującego się w komputerze w LPF  pod adresem: C:\UŻYTKI\regresja.exe 
 
                  Równanie prostej: 

               

y = 2,036 x + 2,884 

                  Niepewność współczynników:     

δA ≡ δa = 0,045                         δB ≡ δb = 0,151 

 
      Takie równanie należy przepisać, stosując prawidła zaokrąglenia, w następujący sposób: 
 

y = ( 2,036  

± 0,045 ) x  +  ( 2,88  ± 0,16 )