www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM ROZSZERZONY
16
KWIETNIA
2011
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
Z
ADANIE
1
(4
PKT
.)
Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli a
∈ (
0, 1
)
i b
>
1 to prawdziwa jest nierówno´s´c
log
a
b
+
1
4
log
b
a
+
1
6
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształcamy w sposób równowa ˙zny dan ˛
a nierówno´s´c (korzystamy ze wzoru na zmian˛e
podstawy logarytmu).
log
a
b
+
1
4
·
log
a
a
log
a
b
+
1
6
0
4
(
log
a
b
)
2
+
1
+
4 log
a
b
4 log
a
b
6
0
(
2 log
a
b
+
1
)
2
4 log
a
b
6
0.
Teraz wystarczy zauwa ˙zy´c, ˙ze mianownik jest ujemny (bo a
<
1 i b
>
1), a licznik jest
nieujemny. Powy ˙zsza nierówno´s´c jest wi˛ec spełniona, a przekształcali´smy w sposób równo-
wa ˙zny, wi˛ec wyj´sciowa nierówno´s´c te ˙z musi by´c spełniona.
Z
ADANIE
2
(5
PKT
.)
Ci ˛
ag
(
a
n
)
, gdzie n
>
1 dany jest wzorem rekurencyjnym
(a
1
=
√
6
(
√
2
+
1
)
a
n
+
1
=
a
n
−
√
2
√
2
−
1
a) Oblicz sum˛e 21 pocz ˛
atkowych wyrazów tego ci ˛
agu.
b) Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, dla których spełniona jest nierówno´s´c
7a
n
6
3
− (
n
−
1
)
2
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształ´cmy podany warunek rekurencyjny
(
√
2
+
1
)
a
n
+
1
=
a
n
−
√
2
√
2
−
1
/
· (
√
2
−
1
)
(
√
2
+
1
)(
√
2
−
1
)
a
n
+
1
=
a
n
−
√
2
a
n
+
1
=
a
n
−
√
2.
Mamy wi˛ec do czynienia z ci ˛
agiem arytmetycznym, w którym a
1
=
√
6 i r
= −
√
2.
a) Korzystamy ze wzoru na sum˛e pocz ˛
atkowych wyrazów ci ˛
agu arytmetycznego.
S
21
=
2a
1
+
20r
2
·
21
= (
a
1
+
10r
) ·
21
=
= (
√
6
−
10
√
2
)
21
=
21
√
6
−
210
√
2.
Odpowied´z: S
21
=
21
√
6
−
210
√
2
b) Ze wzoru na n-ty wyraz ci ˛
agu arytmetycznego wiemy, ˙ze
a
n
=
√
6
− (
n
−
1
)
√
2
=
√
2
(
√
3
− (
n
−
1
))
.
Musimy wi˛ec rozwi ˛
aza´c nierówno´s´c
7
√
2
(
√
3
− (
n
−
1
)) 6
3
− (
n
−
1
)
2
7
√
2
(
√
3
− (
n
−
1
)) 6 (
√
3
− (
n
−
1
))(
√
3
+ (
n
−
1
))
0
6 (
√
3
− (
n
−
1
))(
√
3
+ (
n
−
1
) −
7
√
2
)
/
· (−
1
)
0
> (
n
− (
1
+
√
3
))(
n
− (
7
√
2
−
√
3
+
1
))
n
∈ h
1
+
√
3, 7
√
2
−
√
3
+
1
i
.
Poniewa ˙z
1
+
√
3
≈
2, 7
7
√
2
−
√
3
+
1
≈
9, 2
otrzymujemy st ˛
ad n
∈ {
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
}
.
Odpowied´z: n
∈ {
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
}
Z
ADANIE
3
(3
PKT
.)
Dwa okr˛egi przecinaj ˛
a si˛e w punktach K i L. Przez punkty K i L poprowadzono proste, które
przecinaj ˛
a dane okr˛egi w punktach A, B, C, D tak, jak pokazano to na poni ˙zszym rysunku.
Wyka ˙z, ˙ze AC
k
BD.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
A
B
D
C
K
L
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy odcinek KL i oznaczmy
]
A
=
α
.
A
B
D
C
K
L
α
α
α
Zauwa ˙zmy, ˙ze czworok ˛
at AKLC jest wpisany w okr ˛
ag, wi˛ec
]
KLC
=
180
◦
− ]
A
=
180
◦
−
α
.
Zatem
]
KLD
=
180
◦
− (
180
◦
−
α
) =
α
.
Teraz korzystamy z tego, ˙ze czworok ˛
at KBDL jest wpisany w okr ˛
ag.
]
KBD
=
180
◦
−
KLD
=
180
◦
−
α
.
To z kolei oznacza, ˙ze proste AC i BD przecinaj ˛
a prost ˛
a AB pod tym samym k ˛
atem. S ˛
a wi˛ec
równoległe.
Z
ADANIE
4
(5
PKT
.)
Wyznacz reszt˛e z dzielenia wielomianu P
(
x
)
przez trójmian x
2
−
3x
−
28 je´sli P
(
7
) =
24 i
P
(−
4
) = −
31.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozłó ˙zmy trójmian x
2
−
3x
−
28 na czynniki.
x
2
−
3x
−
28
=
0
∆
=
9
+
112
=
121
=
11
2
x
=
3
−
11
2
= −
4
∨
x
=
3
+
11
2
=
7
x
2
−
3x
−
28
= (
x
+
4
)(
x
−
7
)
.
Reszta R
(
x
)
z dzielenia wielomianu P
(
x
)
przez ten trójmian b˛edzie wielomianem liniowym
(bo reszta zawsze ma stopie ´n mniejszy od stopnia wielomianu, przez który dzielimy) takim,
˙ze
P
(
x
) = (
x
+
4
)(
x
−
7
)
Q
(
x
) +
R
(
x
) = (
x
+
4
)(
x
−
7
)
Q
(
x
) +
ax
+
b.
Współczynniki a i b wyliczamy podstawiaj ˛
ac w tej równo´sci x
= −
4 i x
=
7.
(
−
31
=
P
(−
4
) = −
4a
+
b
24
=
7a
+
b
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze ( ˙zeby zredukowa´c b) i mamy
55
=
11a
⇐⇒
a
=
5.
Zatem b
=
24
−
7a
= −
11.
Odpowied´z: 5x
−
11
Z
ADANIE
5
(5
PKT
.)
Prosta o równaniu x
+
2y
=
5 zawiera przek ˛
atn ˛
a BD rombu ABCD, którego bok ma długo´s´c
5. Wyznacz współrz˛edne wierzchołków rombu je ˙zeli A
= (
5, 1
)
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
-1
+1
+5
+10
x
-5
-1
+1
+5
y
A
B
C
D
S
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Aby wyznaczy´c współrz˛edne wierzchołków B i D szukamy punktów wspólnych poda-
nej prostej i okr˛egu o ´srodku A i promieniu 5, czyli okr˛egu o równaniu
(
x
−
5
)
2
+ (
y
−
1
)
2
=
25.
Podstawiamy w tym równaniu x
=
5
−
2y.
(
5
−
2y
−
5
)
2
+ (
y
−
1
)
2
=
25
4y
2
+
y
2
−
2y
+
1
=
25
5y
2
−
2y
−
24
=
0
∆
=
4
+
480
=
484
=
22
y
=
2
−
22
10
= −
2
∨
y
=
2
+
22
10
=
2, 4.
St ˛
ad odpowiednio x
=
5
−
2y
=
9 i x
=
5
−
2y
=
0, 2. Zatem B
= (
0, 2; 2, 4
)
i D
= (
9;
−
2
)
.
Współrz˛edne wierzchołka C obliczymy korzystaj ˛
ac z tego, ˙ze przek ˛
atne rombu dziel ˛
a si˛e na
połowy. Punkt S przeci˛ecia si˛e przek ˛
atnych ma współrz˛edne
S
=
B
+
D
2
=
0, 2
+
9
2
,
2, 4
−
2
2
= (
4, 6; 0, 2
)
.
Z drugiej strony punkt S to tak ˙ze ´srodek odcinka AC, wi˛ec
S
= (
4, 6; 0, 2
) =
A
+
C
2
=
5
+
x
c
2
,
1
+
y
c
2
(
5
+
x
c
=
9, 2
1
+
y
c
=
0, 4
(
x
c
=
4, 2
y
c
= −
0, 6.
Zatem C
= (
4, 2;
−
0, 6
)
.
Odpowied´z: A
= (
5; 1
)
, B
= (
0, 2; 2, 4
)
, C
= (
4, 2;
−
0, 6
)
, D
= (
9;
−
2
)
Z
ADANIE
6
(6
PKT
.)
Dla jakich warto´sci parametru m równanie x
2
+ (
2m
−
1
)
x
−
6m
+
3
=
0 ma dwa ró ˙zne
pierwiastki x
1
<
x
2
spełniaj ˛
ace nierówno´s´c x
1
x
2
>
x
2
−
x
1
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sprawd´zmy najpierw kiedy równanie ma dwa ró ˙zne rozwi ˛
azania.
0
<
∆
= (
2m
−
1
)
2
+
4
(
6m
−
3
) = (
2m
−
1
)
2
+
12
(
2m
−
1
) =
= (
2m
−
1
)(
2m
−
1
+
12
) = (
2m
−
1
)(
2m
+
11
) =
=
4
m
−
1
2
m
+
11
2
m
∈
−
∞,
−
11
2
∪
1
2
,
+
∞
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób I
Popatrzmy teraz na dan ˛
a nierówno´s´c: x
1
x
2
>
x
2
−
x
1
. Nierówno´s´c ta nie jest symetryczna
ze wzgl˛edu na x
1
i x
2
, wi˛ec nie mo ˙zemy bezpo´srednio zastosowa´c wzorów Viète’a, ale b˛e-
dziemy mogli to zrobi´c gdy podniesiemy nierówno´s´c do kwadratu. Aby to zrobi´c musimy
jednak wiedzie´c, ˙ze obie strony nierówno´sci s ˛
a dodatnie. Prawa strona jest dodatnia z za-
ło ˙zenia, wi˛ec je ˙zeli lewa strona jest ujemna to nierówno´s´c jest sprzeczna. Na mocy wzorów
Viète’a musi wi˛ec by´c spełniony warunek
0
<
x
1
x
2
= −
6m
+
3
6m
<
3
m
<
1
2
.
Przy tym zało ˙zeniu mo ˙zemy podnie´s´c nierówno´s´c stronami do kwadratu.
(
x
1
x
2
)
2
> (
x
2
−
x
1
)
2
= (
x
1
+
x
2
)
2
−
4x
1
x
2
(−
6m
+
3
)
2
> (−(
2m
−
1
))
2
−
4
(−
6m
+
3
)
9
(
2m
−
1
)
2
> (
2m
−
1
)
2
+
12
(
2m
−
1
)
8
(
2m
−
1
)
2
−
12
(
2m
−
1
) >
0
/ : 4
2
(
2m
−
1
)
2
−
3
(
2m
−
1
) >
0
/ : 4
(
2m
−
1
)(
2
(
2m
−
1
) −
3
) >
0
(
2m
−
1
)(
4m
−
5
) >
0
m
∈
−
∞,
1
2
∪
5
4
,
+
∞
.
W poł ˛
aczeniu z poprzednimi ograniczeniami otrzymujemy wi˛ec m
∈
−
∞,
−
11
2
.
Sposób II
Skoro x
1
<
x
2
to
x
2
−
x
1
=
−
b
+
√
∆
2
−
−
b
−
√
∆
2
=
√
∆.
Na mocy wzorów Viète’a mo ˙zemy wi˛ec dan ˛
a nierówno´s´c zapisa´c w postaci
−
6m
+
3
>
√
∆.
Je ˙zeli lewa strona jest ujemna to nierówno´s´c jest sprzeczna, wi˛ec załó ˙zmy, ˙ze
−
6m
+
3
>
0
⇐⇒
m
<
1
2
.
Przy tym zało ˙zeniu mamy
(−
6m
+
3
)
2
>
∆
= (
2m
−
1
)
2
−
4
(−
6m
+
3
)
9
(
2m
−
1
)
2
> (
2m
−
1
)
2
+
12
(
2m
−
1
)
8
(
2m
−
1
)
2
−
12
(
2m
−
1
) >
0.
Dalej liczymy jak w I sposobie.
Odpowied´z: m
∈
−
∞,
−
11
2
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
7
(6
PKT
.)
W trapez prostok ˛
atny ABCD wpisano okr ˛
ag, przy czym punkt S jest ´srodkiem tego okr˛egu,
a punkt T jest punktem styczno´sci okr˛egu wpisanego z dłu ˙zszym ramieniem BC. Oblicz
pole tego trapezu, je´sli
|
SC
| =
10 i
|
BT
| =
8
√
5.
A
B
C
D
S
T
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy odcinki ł ˛
acz ˛
ace punkt S z punktami styczno´sci z podstawami trapezu, oraz od-
cinek SB.
A
B
C
D
S
T
r
r
r
α
α
β
β
10
8 5
Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛
aty prostok ˛
atne, których jeden bok jest promieniem okr˛egu wpisane-
go, a przeciwprostok ˛
atn ˛
a jest SB, s ˛
a przystaj ˛
ace. Zatem prosta SB jest dwusieczn ˛
a k ˛
ata ABC.
Oznaczmy k ˛
aty na jakie dzieli ona k ˛
at ABC przez α. Podobnie niech
]
SCB
= ]
SCD
=
β
. Z
równoległo´sci prostych AB i CD mamy
2α
+
2β
=
180
◦
α
+
β
=
90
◦
.
Oznacza to, ˙ze trójk ˛
at SBC jest prostok ˛
atny. Prostok ˛
atny jest te ˙z trójk ˛
at TSC i jest on podobny
do trójk ˛
ata SBC. Je ˙zeli oznaczymy CT
=
x to z tego podobie ´nstwa mamy
CT
SC
=
SC
BC
x
10
=
10
x
+
8
√
5
x
2
+
8
√
5x
=
100
x
2
+
8
√
5x
−
100
=
0
∆
=
320
+
400
=
720
= (
12
√
5
)
2
x
=
−
8
√
5
−
12
√
5
2
<
0
∨
x
=
−
8
√
5
+
12
√
5
2
=
2
√
5.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zatem BC
=
8
√
5
+
2
√
5
=
10
√
5 i na mocy twierdzenia Pitagorasa
r
=
ST
=
p
SC
2
−
TC
2
=
√
100
−
20
=
√
80
=
4
√
5.
To oznacza, ˙ze wiemy jaka jest długo´s´c wysoko´sci trapezu
h
=
AD
=
2r
=
8
√
5.
Teraz korzystamy z tego, ˙ze w czworok ˛
acie opisanym na okr˛egu sumy długo´sci przeciwle-
głych boków s ˛
a równe. Zatem
AB
+
CD
=
AD
+
BC
=
8
√
5
+
10
√
5
=
18
√
5.
Zatem pole jest równe
P
=
AB
+
CD
2
·
h
=
9
√
5
·
8
√
5
=
360.
Odpowied´z: 360
Z
ADANIE
8
(4
PKT
.)
Dla jakich liczb naturalnych n, liczba n
2
+
12n
+
17 jest kwadratem liczby naturalnej?
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze
n
2
+
12n
+
17
= (
n
+
6
)
2
−
19.
To oznacza, ˙ze je ˙zeli liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej, to maksymalnie mo ˙ze to by´c
kwadrat liczby
(
n
+
5
)
. Z drugiej strony,
(
n
+
4
)
2
=
n
2
+
8n
+
16
<
n
2
+
12n
+
17,
wi˛ec dana liczba nie mo ˙ze by´c kwadratem liczby mniejszej ni ˙z
(
n
+
5
)
. Zatem jedyna mo ˙z-
liwo´s´c to równo´s´c
n
2
+
12n
+
17
= (
n
+
5
)
2
n
2
+
12n
+
17
=
n
2
+
10n
+
25
2n
=
8
n
=
4.
Odpowied´z: n
=
4
Z
ADANIE
9
(6
PKT
.)
Podstaw ˛
a ostrosłupa ABCDS jest czworok ˛
at wypukły ABCD, w którym
|
AB
| =
7,
|
AD
| =
5 oraz cos
]
DAB
=
4
5
. Ka ˙zda z kraw˛edzi bocznych ostrosłupa ma długo´s´c
3
√
6
2
. Oblicz wy-
soko´s´c ostrosłupa.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
A
B
C
D
S
O
h
7
5
A
B
C
D
α
R
R
R
R
Zauwa ˙zmy, ˙ze je ˙zeli SO jest wysoko´sci ˛
a ostrosłupa to ka ˙zdy z trójk ˛
atów SOA, SOB, SOC
i SOD jest prostok ˛
atny i ka ˙zde dwa z nich maj ˛
a t˛e sam ˛
a długo´s´c przeciwprostok ˛
atnej oraz
jednej z przyprostok ˛
atnych (dokładnie: SO). To oznacza, ˙ze trójk ˛
aty te s ˛
a przystaj ˛
ace, wi˛ec
AO
=
BO
=
CO
=
DO.
To z kolei oznacza, ˙ze na czworok ˛
acie ABCD mo ˙zna opisa´c okr ˛
ag i punkt O jest ´srodkiem
tego okr˛egu. W takim razie do obliczenia wysoko´sci (np. z trójk ˛
ata SOA) brakuje nam dłu-
go´sci promienia okr˛egu opisanego na czworok ˛
acie ABCD.
Zauwa ˙zmy, ˙ze okr ˛
ag opisany na czworok ˛
acie ABCD jest te ˙z okr˛egiem opisanym na trój-
k ˛
acie ABD, wi˛ec jego promie ´n mo ˙zemy wyliczy´c stosuj ˛
ac twierdzenie sinusów w tym trój-
k ˛
acie. Tak si˛e szcz˛e´sliwie składa, ˙ze mamy nawet podany cos
]
A, wi˛ec do pełni szcz˛e´scia
brakuje nam długo´sci przek ˛
atnej BD. T˛e długo´s´c mo ˙zemy jednak wyliczy´c stosuj ˛
ac twier-
dzenie cosinusów.
Wszystko wiemy, wi˛ec liczymy – na pocz ˛
atek długo´s´c przek ˛
atnej BD.
BD
2
=
AB
2
+
AD
2
−
2AB
·
AD cos
]
A
BD
2
=
49
+
25
−
2
·
7
·
5
·
4
5
=
49
+
25
−
56
=
18
BD
=
3
√
2.
Teraz obliczamy sin
]
A
sin
]
A
=
p
1
−
cos
2
]
A
=
r
1
−
16
25
=
3
5
(sinus jest dodatni dla k ˛
atów wypukłych). Teraz piszemy twierdzenie sinusów w trójk ˛
acie
ABD.
BD
sin
]
A
=
2R
R
=
BD
2 sin
]
A
=
3
√
2
2
·
3
5
=
5
√
2
2
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Teraz piszemy twierdzenie Pitagorasa w trójk ˛
acie SOA.
h
=
SO
=
p
AS
2
−
AO
2
=
v
u
u
t
3
√
6
2
!
2
−
5
√
2
2
!
2
=
=
1
2
q
(
3
√
6
)
2
− (
5
√
2
)
2
=
1
2
√
54
−
50
=
1.
Odpowied´z: h
=
1
Z
ADANIE
10
(6
PKT
.)
Ile jest liczb dziewi˛eciocyfrowych, w których suma ka ˙zdych trzech kolejnych cyfr jest równa
10?
R
OZWI ˛
AZANIE
Powiedzmy, ˙ze kolejne cztery cyfry liczby, o jakiej mowa w tre´sci zadania to a, b, c, d. W
takim razie musimy mie´c
a
+
b
+
c
=
10
=
b
+
c
+
d
⇒
a
=
d.
W takim razie cyfry takiej liczby musz ˛
a si˛e cyklicznie powtarza´c - cyfry 1,4 i 7 musz ˛
a by´c
identyczne, podobnie dla cyfr o numerach 2,5,8 i 3,6,9. To oznacza, ˙ze liczba musi mie´c po-
sta´c
abcabcabc.
Zauwa ˙zmy, ˙ze w liczbie tej postaci suma dowolnych trzech kolejnych cyfr jest równa a
+
b
+
c, wi˛ec wystarczy zagwarantowa´c, aby a
+
b
+
c
=
10, a wtedy automatycznie liczba ta
b˛edzie spełnia´c warunki zadania.
Policzmy na ile sposobów mo ˙zna wybra´c cyfry a
6=
0, b, c, tak aby a
+
b
+
c
=
10.
Oczywi´scie tylko jedna spo´sród cyfr a, b, c mo ˙ze by´c równa zero i nie mo ˙ze to by´c a.
Policzmy ile jest mo ˙zliwo´sci z jednym zerem. Liczb˛e a mo ˙zemy wybra´c na 9 sposobów,
drug ˛
a niezerow ˛
a liczb˛e mamy ju ˙z wyznaczon ˛
a jednoznacznie (bo suma ma by´c równa 10),
ale musimy jeszcze ustali´c, czy jest to b, czy c. Jest wi˛ec
9
·
2
=
18
takich liczb.
Dalej załó ˙zmy ju ˙z, ˙ze mamy tylko niezerowe cyfry.
Policzmy teraz ile jest mo ˙zliwo´sci z dwoma równymi cyframi (nie mog ˛
a by´c trzy równe
cyfry). S ˛
a 4 sposoby rozpisania 10-ki w ten sposób:
10
=
1
+
1
+
8
10
=
2
+
2
+
6
10
=
3
+
3
+
4
10
=
4
+
4
+
2
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
i ka ˙zdy z tych rozkładów daje 3 mo ˙zliwe trójki liczb
(
a, b, c
)
– wystarczy bowiem ustali´c,
które dwie z liczb a, b, c maj ˛
a by´c równe i wtedy trzecia liczba jest ju ˙z jednoznacznie wyzna-
czona. Jest wi˛ec
3
·
4
=
12
układów z dwoma równymi cyframi.
Pozostało policzy´c liczb˛e trójek
(
a, b, c
)
, w których ˙zadne dwie cyfry nie s ˛
a równe. Mo-
˙zemy 10 rozpisa´c w ten sposób na 4 sposoby
10
=
7
+
2
+
1
10
=
6
+
3
+
1
10
=
5
+
4
+
1
10
=
5
+
3
+
2
i ka ˙zdy z tych rozkładów daje 3!
=
6 mo ˙zliwych trójek liczb
(
a, b, c
)
. S ˛
a wi˛ec
4
·
6
=
24
liczby tej postaci.
W sumie s ˛
a wi˛ec
18
+
12
+
24
=
54
liczby spełniaj ˛
ace warunki zadania.
Odpowied´z: 54
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
11