Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody
elementów skończonych (MES)
Opracowała: dr inŜ. Jolanta Zimmerman
1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych
Działanie
rzeczywistych
obiektów,
przebieg
zjawisk
fizycznych,
procesów
technologicznych sprawdza się często na modelach tych zjawisk lub obiektów. Pozwala to
uniknąć kosztownych, a niekiedy trudnych lub niemoŜliwych do przeprowadzenia prób
doświadczalnych. Gdy chcemy otrzymać wielkości, tworzymy opis matematyczny dla
przyjętego modelu. Model matematyczny jest układem równań (najczęściej róŜniczkowych)
opisujących dane zjawisko, obiekt lub proces. Równania te oparte są na podstawowych
prawach – zasadach zachowania (np. energii, pędu, masy). W większości technicznie
waŜnych zagadnień brak jest ścisłych, analitycznych rozwiązań tych równań. Powodem jest
potrzeba uwzględnienia duŜej liczby czynników takich jak: złoŜona geometria
rozpatrywanych obiektów, złoŜoność obciąŜenia, niespręŜystość, zaleŜność właściwości
materiału od temperatury, anizotropia i inne. Trudności tych nie sprawiają rozwiązania
numeryczne. Mają one ogromne znaczenie, gdyŜ dzięki wykorzystaniu szybo rozwijających
się technik komputerowych, umoŜliwiają rozwiązywanie z duŜą dokładnością bardzo
złoŜonych problemów. Metoda elementów skończonych jest jedną z metod numerycznych
często wykorzystywanych do rozwiązań róŜnorodnych problemów inŜynierskich. Metoda ta
pozwala na określenie pewnych wielkości fizycznych takich jak: pól napręŜeń w elementach
wywołanych przyłoŜonym obciąŜeniem, amplitudy drgań, zmian temperatury w czasie
nagrzewania materiału, prędkości przepływu płynu itp.
Metoda elementów skończonych wykorzystuje koncepcję dyskretyzacji ciągłego
ośrodka. Polega ona na podziale rozwaŜanego obszaru o objętości (V) i brzegu (S) na
skończoną liczbę podobszarów o prostym kształcie, zwanych elementami skończonymi. Po
dokonaniu podziału obszaru ciała staje się ono obszarem nieciągłym, złoŜonym z „kawałków”
połączonych są ze sobą w punktach zwanych węzłami jak przedstawiono na Rys.1. Zaletą
procesu dyskretyzacji jest to, Ŝe dalsza analiza zagadnień występujących w danym ciele
dotyczy poszczególnych elementów mających skończoną geometrię. PoniewaŜ model ma juŜ
skończoną liczbę elementów, to proces dyskretyzacji umoŜliwił przejście od problemu
zawierającego nieskończoną liczbę stopni swobody do problemu zawierającego skończoną
liczbę stopni swobody, co daje moŜliwość uzyskania rozwiązania w badanym obszarze.
Rys. 1 Dyskretyzacja ośrodka ciągłego
2
Zgodnie z powyŜszym rysunkiem ciało o skończonym kształcie i objętości V, podparte
na brzegu S
u
, zostaje poddane obciąŜeniu np. ciśnieniem na brzegu S
p
. W odpowiedzi na
działanie tych czynników w materiale powstają reakcje: przemieszczenia, odkształcenia,
napręŜenia.
Posługując się profesjonalnym programem MES uŜytkownik musi:
•
ustalić klasę zagadnienia (płaskie, przestrzenne, symetria, liniowe lub nie, z kontaktem
itp.)
•
zdefiniować model geometryczny (przy skomplikowanej geometrii moŜliwy jest
transport geometrii z programów CAD),
•
wybrać rodzaj elementu skończonego (2D, 3D, powłoka, belka, ptęt …) oraz dokonać
podziału na elementy skończone (waŜne jest zagęszczenie siatki w obszarach, gdzie
spodziewana jest koncentracja napręŜeń),
•
wprowadzić właściwości mechaniczne i fizyczne materiałów, z których wykonana jest
konstrukcja oraz dokonać podziału na grupy elementowe (do danej objętości
przyporządkowany jest rodzaj materiału),
•
zadać warunki brzegowe (miejsce podparcia i obciąŜenia),
•
ustalić parametry obliczeń (n.p. ilość kroków obliczeniowych, gdy rozpatrywane
zagadnienie jest nieliniowe),
•
przeprowadzić obliczenia, które wykonywane są automatycznie przez program
komputerowy,
•
przeprowadzić analizę wyników obliczeń.
Wyniki otrzymane z obliczeń MES są dostępne z reguły postaci liczb, którymi są
poszukiwane wielkości w węzłach i elementach. Obliczenia mogą być przedstawiane
w postaci graficznej n.p. w postaci pasm reprezentujących linie stałego napręŜenia. Obraz taki
pomaga w analizie obliczeń, pozwala szybko zlokalizować miejsca występowania np.
spiętrzeń napręŜeń w konstrukcji.
Przykładowe profesjonalne programy MES: ANSYS, ADINA, CATIA, COSMOS –
uŜywane do obliczeń wytrzymałościowych elementów konstrukcji, zagadnień cieplnych,
przepływów oraz: AUTODYNA, LSDYNA - uŜywane w przypadku duŜych odkształceń i
przemieszczeń np. symulacji zderzeń (crash testów), procesów obróbki plastycznej.
Dostępne są przykłady rozwiązań np. na stronie
http://www.adina.com/
2
. Temat ćwiczenia:
Obliczanie pól napręŜeń w elementach z karbem geometrycznym
Analizie będzie poddany wałek o zmiennym przekroju o trzech róŜnych geometriach
(przedstawionych na rys.2 a), b), c), obciąŜonych siłą rozciągającą, a dla przypadku c) siłą i
momentem skręcającym.
2.1 Klasa zagadnienia
- 2D osiowo-symetryczne (przypadek a), b), c)
- 3D (przypadek c)
3
2.2 Geometria
Rys.2 Trzy przypadki geometrii wałka oraz topologia punktów dla a), b)
2.3. Modele materiału
Obliczenia będą przeprowadzone dla dwóch modeli materiału:
- spręŜysty
- plastyczny
Wałek wykonany ze stali 45 ulepszanej cieplnie, dla której wykres ze statycznej próby
rozciągania przedstawiono na rys.3, a właściwości mechaniczne zamieszczono w tabeli1.
0
100
200
300
400
500
600
700
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
podł. [%]
[MPa]
σ
ε
Rys. 3. Krzywa rozciągania dla stali 45 ulepszonej cieplnie
Tabela 1. Właściwości mechaniczne stali 45 otrzymane z próby rozciągania
E = 200000 MPa
A = 25 %
R
005
= 380 MPa
ε
005
= 0,26 %
R
02
= 427 MPa
ε
02
= 0,44 %
R
u
= 553 MPa
ε
u
= 54,36 %
R
m nom
= 607 MPa
ε
m nom
= 38,50 %
4
Opracowana krzywa do obliczeń na podstawie próby jednoosiowego rozciągania pokazana
jest na rys.4, a wartości napręŜeń i odpowiadających im odkształceń zamieszczone poniŜej.
MATERIAL PLASTIC-MULTILINEAR NAME=1 HARDENIN=ISOTROPIC,
E=200000[MPa] NU=0.32 liczba Poison’a ALPHA=12 e-6(współczynnik rozszerzalności cieplnej stali),
(odkształcenie
napręŜenie [MPa])
0.001750000
350.0000000
0.002183325
373.1129470
0.002582455
391.1729098
0.003294385
411.8719932
0.004376962
427.8686723
0.005414064
435.8848448
0.007460010
447.4163357
0.012501838
466.3800753
0.022435354
490.8621792
0.032235871
508.9982350
0.135501130
635.7909206
0.228948540
735.5134274
Rys. 4 Krzywa rozciągania przyjęta do obliczeń (1- odniesiona do przekroju bieŜącego,
2-odniesiona do przekroju początkowego) dla stali 45 ulepszonej cieplnie
2.4 Geometria modelu z siatką MES oraz przyjętymi warunkami brzegowymi
a)
b)
c)
Rys.5 Siatka MES dla trzech geometrii oraz przyjęte warunki brzegowe (model 2D)
5
Rys.6 Geometria modelu 3D (kreowana w programie Solid Works) oraz siatka MES modelu z
zaznaczonym sposobem podparcia i obciąŜenia
3. Obliczenia
Sprawozdanie powinno zawierać:
•
obliczone rozkłady napręŜeń składowych i zredukowanych wg hipotezy Hubera w
postaci pasm dla trzech przypadków geometrii 2D (napisać zaleŜność na hipotezę
Hubera),
•
obliczyć współczynnik kształtu α
k
(karb geometryczny) dla trzech geometrii 2D,
•
obliczone rozkłady napręŜeń zredukowanych wg hipotezy Hubera w postaci pasm dla
zadania 3D oraz obliczyć wartość napręŜenia zredukowanego w punktach P4, P5, P1 i
porównać z obliczeniami numerycznymi,
•
wnioski