Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 3)
P
RZYKŁADY FUNKCJONAŁÓW DWULINIOWYCH
1.
Które z wymienionych funkcji s ˛
a formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych:
(a)
β
(x, y) = x
T
· y, gdzie x, y ∈ K
n
za´s K jest ciałem;
(b)
β
(x, y) = x · y
T
, gdzie x, y ∈ K
n
za´s K jest ciałem;
(c)
β
(A, B) = tr (AB), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(d)
β
(A, B) = tr (AB − BA), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(e)
β
(A, B) = AB, gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(f)
β
(A, B) = tr (A + B), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(g)
β
(A, B) = tr (AB
T
), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(h)
β
(x, y) = Re (xy), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛
a nad R;
(i)
β
(x, y) = Re (x ¯
y), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛
a nad R;
(j)
β
(x, y) = Im (x ¯
y), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛
a nad R;
(k)
β
(x, y) = |xy|, gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛
a nad R;
(l)
β
( f , g) =
R
b
a
f gdx, gdzie f , g s ˛
a funkcjami ci ˛
agłymi na przedziale [a, b];
(m)
β
( f , g) =
R
b
a
( f + g)
2
dx, gdzie f , g s ˛
a funkcjami ci ˛
agłymi na przedziale [a, b];
(n)
β
( f , g) =
R
b
a
f g
0
dx, gdzie f , g s ˛
a funkcjami ró˙zniczkowalnymi oraz f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0;
(o)
β
( f , g) = ( f g)(a), gdzie f , g ∈ K[X ] oraz a ∈ K;
(p)
β
( f , g) = deg( f g), gdzie f , g ∈ K[X ].
W przypadku, gdy
β
jest funkcjonałem dwuliniowym zbadaj, czy jest on symetryczny, sko´snie symetryczny lub
alternuj ˛
acy.
2.
W sko´nczenie wymiarowych przestrzeniach dwuliniowych z poprzedniego zadania wybra´c baz˛e i znale´z´c macierz
funkcjonału dwuliniowego w tej bazie.
3.
Niech C(a, b) b˛edzie przestrzeni ˛
a funkcji ci ˛
agłych na odcinku (a, b) za´s G(x) b˛edzie ustalon ˛
a funkcj ˛
a na odcinku
(a, b) na C(a, b). Wykaza´c, ˙ze odwzorowanie
β
( f , g) =
R
b
a
G(x) f (x)g(x) dx jest form ˛
a dwuliniow ˛
a.
4.
Wykaza´c, ˙ze wielomiany Legendre’a
P
0
(x) = 1,
P
k
(x) =
1
2
k
k!
d
k
dx
k
[(x
2
− 1)
k
],
k = 1, 2, . . . , n
tworz ˛
a baz˛e ortogonaln ˛
a w przestrzeni euklidesowej (R
n
[X ],
β
), gdzie
β
( f , g) =
R
1
−1
(x)g(x) dx.
5.
W przestrzeni liniowej C(0, 2
π
) wszystkich funkcji ci ˛
agłych okre´slonych na przedziale (0, 2
π
) funkcjonał dwuli-
niowy okre´slony jest wzorem
β
( f , g) =
Z
2
π
0
f g dx.
Niech
F
b˛edzie podprzestrzeni ˛
a przestrzeni C(0, 2
π
) generowan ˛
a przez zbiór {cos nx, sin nx : n ∈ Z} (elementy
przestrzeni
F
nazywamy wielomianami Fouriera).
Wyka˙z, ˙ze układ funkcji
(
1
√
2
π
,
1
√
π
cos nx,
1
√
π
sin nx : n ∈ N)
jest baz ˛
a ortonormaln ˛
a przestrzeni
F
oraz, ˙ze współrz˛edne a
0
, a
1
, b
1
, a
2
, b
2
, . . . funkcji f ∈
F
w tej bazie wyra˙zaj ˛
a
si˛e wzorami:
a
0
=
1
√
2
π
Z
2
π
0
f (x) dx, a
n
=
1
√
π
Z
2
π
0
f (x) cos nx dx, b
n
=
1
√
π
Z
2
π
0
f (x) sin nx dx, n = 1, 2, . . .
(współrz˛edne te nazywamy współczynnikami Fouriera tej funkcji).
6.
Niech (
Ω
, P) b˛edzie przestrzeni ˛
a probabilistyczn ˛
a oraz F(
Ω
) przestrzeni ˛
a zmiennych losowych okre´slonych na tej
przestrzeni. Wykaza´c, ˙ze funkcja
β
(X ,Y ) = E(XY ) jest funkcjonałem dwuliniowym na F(
Ω
) (tutaj E(Z) oznacza
warto´s´c oczekiwan ˛
a zmiennej losowej Z). W przypadku, gdy
Ω
jest zbiorem sko´nczonym znale´z´c WKW na to aby
funkcjonał
β
był dodatnio okre´slony.
7.
Wykaza´c, ˙ze rodzina P(X ) podzbiorów zbioru X z ró˙znic ˛
a symetryczn ˛
a (jako dodawaniem) i naturalnym mno˙ze-
niem przez elementy ciała F
2
jest przestrzeni ˛
a liniow ˛
a nad F
2
. Sprawd´z, ˙ze odwzorowanie
β
(A, B) = |A ∩ B| mod 2
jest funkcjonałem dwuliniowym na tej przestrzeni.
3